パドヴァポイント

2変数の多項式補間において、パドヴァ点は、ルベーグ定数の増加が最小でであることが証明された、一溶媒点集合（つまり、補間多項式が一意）の最初の例（そして今のところ唯一の例）です。^[1] その名前は、発見されたパドヴァ大学に由来しています。 ^[2]${\displaystyle O(\log^{2}n)}$

点は定義域 で定義されます。これらの点を4つの方向で用いることができ、その後90度回転させることによって、4つの異なるパドヴァ点群が得られます。 ${\displaystyle [-1,1]\times [-1,1]\subset \mathbb {R} ^{2}}$

4つの家族

第 1 族および次数 5 のパドヴァ点を、その生成曲線とともにプロットします。

第 1 族および次数 6 のパドヴァ点を、その生成曲線とともにプロットします。

パドヴァ点は、生成曲線と呼ばれるパラメトリック曲線の「サンプリング」として見ることができます。これは4つのファミリーごとにわずかに異なるため、補間次数とファミリーの点は次のように定義できます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\text{Pad}}_{n}^{s}=\lbrace \mathbf {\xi } =(\xi _{1},\xi _{2})\rbrace =\left\lbrace \gamma _{s}\left({\frac {k\pi }{n(n+1)}}\right),k=0,\ldots ,n(n+1)\right\rbrace .}$

実際、パドヴァ点は曲線の自己交差上、および曲線と正方形の境界との交点上に存在します。集合の濃度は です。さらに、パドヴァ点の各族について、2つの点は正方形の連続する頂点上に、点は正方形の辺上に、残りの点は正方形内の生成曲線の自己交差上にあります。^{[3] [4]}${\displaystyle [-1,1]^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Pad} _{n}^{s}}$ ${\textstyle |\operatorname {パッド} _{n}^{s}|={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$ ${\displaystyle [-1,1]^{2}}$ ${\displaystyle 2n-1}$

4 つの生成曲線は、区間 内の閉じたパラメトリック曲線であり、リサジュー曲線の特殊なケースです。 ${\displaystyle [0,2\pi ]}$

最初の家族

第1族のパドヴァ点の生成曲線は

${\displaystyle \gamma_{1}(t)=[-\cos((n+1)t),-\cos(nt)],\quad t\in [0,\pi ].}$

上記のようにサンプリングすると、次のようになります。

${\displaystyle \operatorname {Pad} _{n}^{1}=\lbrace \mathbf {\xi } =(\mu _{j},\eta _{k}),0\leq j\leq n;1\leq k\leq \lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor +1+\delta _{j}\rbrace ,}$

が偶数または奇数の場合、が偶数で、 とが両方とも奇数の 場合${\displaystyle \delta _{j}=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \delta _{j}=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

と

${\displaystyle \mu _{j}=\cos \left({\frac {j\pi }{n}}\right),\eta _{k}={\begin{cases}\cos \left({\frac {(2k-2)\pi }{n+1}}\right)&j{\mbox{ odd}}\\\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{n+1}}\right)&j{\mbox{ even.}}\end{cases}}}$

このことから、第 1 ファミリーのパドヴァ ポイントは、 が偶数の場合は下に 2 つの頂点があり、 が奇数の場合は左に 2 つの頂点があることがわかります。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

第二の家族

第2族のパドヴァ点の生成曲線は

${\displaystyle \gamma _{2}(t)=[-\cos(nt),-\cos((n+1)t)],\quad t\in [0,\pi ],}$

これにより、が偶数の場合は頂点が左側に、が奇数の場合は頂点が下部に存在することになります。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

3番目の家族

第3族のパドヴァ点の生成曲線は

${\displaystyle \gamma _{3}(t)=[\cos((n+1)t),\cos(nt)],\quad t\in [0,\pi ],}$

これにより、が偶数の場合は頂点が上に、が奇数の場合は頂点が右側に存在することになります。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

第4の家族

第4族のパドヴァ点の生成曲線は

${\displaystyle \gamma _{4}(t)=[\cos(nt),\cos((n+1)t)],\quad t\in [0,\pi ],}$

これにより、が偶数の場合は頂点が右側に、が奇数の場合は頂点が上部に存在することになります。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

補間式

それらの基本的なラグランジュ多項式の明示的な表現は、内積を備えた空間の再生核 、およびに基づいている。${\displaystyle K_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2})}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{2}([-1,1]^{2})}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int _{[-1,1]^{2}}f(x_{1},x_{2})g(x_{1},x_{2}){\frac {dx_{1}}{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}}{\frac {dx_{2}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}}}$

定義

${\displaystyle K_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\sum _{k=0}^{n}\sum _{j=0}^{k}{\hat {T}}_{j}(x_{1}){\hat {T}}_{k-j}(x_{2}){\hat {T}}_{j}(y_{1}){\hat {T}}_{k-j}(y_{2})}$

は次数 の正規化チェビシェフ多項式を表す（つまり、およびは次数の第一種古典チェビシェフ多項式）。^[3]、 で表すことができる4つのパドヴァ点族に対して、一般目標点上の関数の次数 の補間式は、 ${\displaystyle {\hat {T}}_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{0}=T_{0}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{p}={\sqrt {2}}T_{p}}$ ${\displaystyle T_{p}(\cdot )=\cos(p\arccos(\cdot ))}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {Pad} _{n}^{s}=\lbrace \mathbf {\xi } =(\xi _{1},\xi _{2})\rbrace }$ ${\displaystyle s=\lbrace 1,2,3,4\rbrace }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f\colon [-1,1]^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in [-1,1]^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}^{s}f(\mathbf {x} )=\sum _{\mathbf {\xi } \in \operatorname {Pad} _{n}^{s}}f(\mathbf {\xi } )L_{\mathbf {\xi } }^{s}(\mathbf {x} )}$

基本ラグランジュ多項式は どこにあるか${\displaystyle L_{\mathbf {\xi } }^{s}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle L_{\mathbf {\xi } }^{s}(\mathbf {x} )=w_{\mathbf {\xi } }(K_{n}(\mathbf {\xi } ,\mathbf {x} )-T_{n}(\xi _{i})T_{n}(x_{i})),\quad s=1,2,3,4,\quad i=2-(s\mod 2).}$

重みは次のように定義される。 ${\displaystyle w_{\mathbf {\xi } }}$

${\displaystyle w_{\mathbf {\xi } }={\frac {1}{n(n+1)}}\cdot {\begin{cases}{\frac {1}{2}}{\text{ if }}\mathbf {\xi } {\text{ is a vertex point}}\\1{\text{ if }}\mathbf {\xi } {\text{ is an edge point}}\\2{\text{ if }}\mathbf {\xi } {\text{ is an interior point.}}\end{cases}}}$

参考文献

1. Caliari, Marco; Bos, Len; de Marchi, Stefano ; Vianello, Marco; Xu, Yuan (2006)「パドヴァ点における二変量ラグランジュ補間：生成曲線アプローチ」、J. approx. Theory、143 (1): 15– 25、arXiv : math/0604604、doi :10.1016/j.jat.2006.03.008
2. デ・マルキ、ステファノ;カリアリ、マルコ。 Vianello、Marco (2005)、「新しい節点セットでの二変量多項式補間」、Appl.数学。計算します。、165 (2): 261–274、土井:10.1016/j.amc.2004.07.001
3. Caliari, Marco; de Marchi, Stefano ; Vianello, Marco (2008)、「アルゴリズム886: Padua2D—二変数領域上のパドヴァ点におけるラグランジュ補間」、ACM Transactions on Mathematical Software、35 (3): 1– 11、doi :10.1145/1391989.1391994
4. ボス、レン;ステファノ・デ・マルキ;ヴィアネッロ、マルコ。 Xu、Yuan (2007)、「パドヴァ点での二変量ラグランジュ補間: 理想理論アプローチ」、Numerische Mathematik、108 (1): 43–57、arXiv : math/0604604、doi :10.1007/s00211-007-0112-z

外部リンク

• パドヴァ ポイントに関連する出版物といくつかの補間ソフトウェアのリスト。