パプス構成

9点と9本の線の幾何学的構成

幾何学において、パップス配置はユークリッド平面上の9つの点と9つの直線の配置であり、直線ごとに3つの点があり、各点を通る直線は3本である。^[1]

歴史と建設

この配置はアレクサンドリアのパップスにちなんで名付けられました。パップスの六角形定理は、6本の直線 Ab 、 $aB 、 Ac$ 、aC $、$ Bc $、$ bC $と$ 、それらの3つの交点 $X$ $= Ab \cdot aB$ $、 Y =$ $Ac$ $\cdot$ $aC$ 、 $Z$ $=$ $Bc$ $\cdot$ $bC$ を加えることで、共線上の点 $ABC$ と $abc （いずれも2本の直線の交点上にはない）の2つの3点をパップス配置として完成させること$ $が$ $できる$ と $述べ$ $て$ $います。これらの3点は$ $、$ $六角形AbCaBc$ の「反対側」の辺の交点です。パップスの定理によれば、結果として得られる9点8直線の系には、必ず3つの交点 $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ を含む9本目の直線が含まれ、これはパップス直線と呼ばれます。^[2]

パップス配置は、互いに遠近法で交わる（対応する点のペアを通る3本の直線が1つの交点で交わる） 2つの三角形 $△ XcC$ と $△ YbB$ と、それらの3つの遠近法の中心 $Z$ 、 $a$ 、 $A$ から、3つの異なる方法で導出することもできます。配置の点は三角形の点と遠近法の中心であり、配置の直線は対応する点のペアを通る直線です。

関連する構成

パップス配置のレヴィグラフはパップスグラフとして知られています。これは18個の頂点と27個の辺を持つ二部対称立方グラフです。 ^[3]

パップス配置に、配置の線で結ばれていない3つの点を通る3本の平行線をさらに追加すると、ヘッセ配置が生成されます。^[4]

パピュス構成と同様に、デザルグ構成は透視三角形の観点から定義することができ、ライ構成は、4 つの異なる方法で相互に透視されている 2 つの四面体から同様に定義でき、四面体のデスミックシステムを形成します。

ユークリッド平面上の任意の非特異三次平面曲線、曲線の3つの実変曲点、および曲線上の4番目の点に対して、これら4つの点を完成させて、9つの点すべてが曲線上にあるようなパップス配置を形成する唯一の方法があります。^[5]

アプリケーション

パップス配置の変形は、果樹園植え付け問題（ 3点を通る直線の本数が最大となる点の集合を求める問題）の解法を提供する。パップス配置の9点は、わずか9本の3点直線しか形成しない。しかし、それらをもう1本の3点直線となるように配置することで、合計10本の3点直線を形成する。これは、9点を通る3点直線の最大本数である。^[6]

参考文献

^ Grünbaum, Branko (2009), 「点と線の構成」 , Graduate Studies in Mathematics , vol. 103, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4308-6、MR 2510707。
^ Grünbaum (2009)、9ページ。
^ Grünbaum (2009)、28ページ。
^ Coxeter, HSM (1950)、「自己双対構成と正則グラフ」、アメリカ数学会報、56 (5): 413– 455、doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09407-5
^ Mendelsohn, NS; Padmanabhan, R.; Wolk, Barry (1987)「三次曲線上のnクラスターに関する若干の考察」Colbourn, Charles J.; Mathon, RA (eds.), Combinatorial Design Theory , Annals of Discrete Mathematics, vol. 34, Elsevier, pp. 371– 378, doi :10.1016/S0304-0208(08)72903-7, ISBN 9780444703286、MR 0920661。
^ Sloane, N. J. A. (編)、「シーケンス A003035」、整数シーケンスのオンライン百科事典、OEIS Foundation

外部リンク

Weisstein、Eric W.、「Pappus Configuration」、MathWorld

[1] Grünbaum, Branko (2009), 「点と線の構成」 , Graduate Studies in Mathematics , vol. 103, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4308-6、MR 2510707。

[2] Grünbaum (2009)、9ページ。

[3] Grünbaum (2009)、28ページ。

[4] Coxeter, HSM (1950)、「自己双対構成と正則グラフ」、アメリカ数学会報、56 (5): 413– 455、doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09407-5

[5] Mendelsohn, NS; Padmanabhan, R.; Wolk, Barry (1987)「三次曲線上のnクラスターに関する若干の考察」Colbourn, Charles J.; Mathon, RA (eds.), Combinatorial Design Theory , Annals of Discrete Mathematics, vol. 34, Elsevier, pp. 371– 378, doi :10.1016/S0304-0208(08)72903-7, ISBN 9780444703286、MR 0920661。

[6] Sloane, N. J. A. (編)、「シーケンス A003035」、整数シーケンスのオンライン百科事典、OEIS Foundation