パラメトリックス

Concept in the solution of linear partial differential equations

数学、特に偏微分方程式(PDE)の分野において、パラメトリックスはPDE の基本解の近似であり、本質的には微分演算子の近似逆演算子です。

微分作用素の媒介変数は、多くの場合、基本解よりも構築が容易であり、多くの用途においてほぼ同等に有効です。媒介変数を反復的に改善することで、基本解を構築できる場合もあります。

概要と非公式な定義

定数係数の微分作用素 $P (D)$ の基本解とは何かを復習しておくと役に立つ。それは $u$ 上の分布であって、 $\mathbb {R} ^{n}$

P(D){u(x)}=\delta (x)~,

弱い意味で、 $δ$ はディラックのデルタ分布です。

同様に、変数係数微分作用素 $P$ $($ $x,D$ $)の$ パラメトリックスは $、$

P(x,D){u(x)}=\delta (x)+\omega (x)~,

ここで $ω$ $は$ コンパクトなサポートを持つ $C\infty$ 関数です。

パラメトリックスは、楕円微分作用素、より一般的には可変係数を持つ準楕円擬微分作用素の研究において有用な概念である。なぜなら、適切な領域上のそのような作用素に対しては、パラメトリックスが存在することが示され、ある程度簡単に構成することができ^[1]、原点から離れたところでは滑らかな関数となるからである^{[2] 。}

パラメトリックスの解析的表現がわかれば、関連するフレドホルム積分方程式を解くことによって、関連するかなり一般的な楕円偏微分方程式の解を計算することができます。また、パラメトリックスの構造自体が、計算しなくても問題の解の特性、例えば滑らかさ^[3]やその他の質的特性を明らかにします。

擬微分演算子の媒介変数

より一般的には、 $Lが$ $p$ $位$ の擬微分作用素であるとき、別の $-p$ 位の擬微分作用素 $L +$ は、 作用素が

L\circ L^{+}-I,\quad L^{+}\circ L-I

はどちらも負の位数の擬微分作用素である。作用素 $L$ と $L +は$ 、ソボレフ空間 $H s$ と $H s + k$ の間の写像への連続拡張を許容する。

コンパクト多様体上では、上記の差分はコンパクト作用素である。この場合、元の作用素 $L$ はソボレフ空間間のフレドホルム作用素を定義する。 ^[4]

アダマールパラメトリックス構築

ジャック・アダマールは、冪級数展開に基づく二階偏微分作用素の媒介変数行列の明示的な構成を発見した。これはラプラス作用素、波動方程式、熱方程式に適用できる。

熱方程式または波動方程式において、時間パラメータ $tが明確に定義されている場合、アダマール法は、定数係数の微分作用素の基本解を係数を固定点に固定して求め、その点が変化したときのこの解と$ $t$ における形式的な冪級数の積として一般解を求めるというものである。定数項は1であり、高次の係数は一変数の積分として再帰的に決定される関数である。

一般に、冪級数は収束せず、厳密解の漸近展開のみを与える。冪級数を適切に切り捨てると、媒介変数行列が得られる。^[5]^[6]

パラメトリックスからの基本解の構築

十分に優れたパラメトリックスを使用すると、次のような収束反復手順によって正確な基本解を構築できることが多い (Berger、Gauduchon、Mazet 1971)。

$L$ が乗法*を持つ環の元であり、

L*P=1+R

ある近似右逆元 $P$ と「十分に小さい」剰余項 $R$ に対して、少なくとも形式的には、

L*P*(1-R+R*R-R*R*R+\cdots )=1

つまり、無限級数が意味を成すならば、 $L$ は右逆級数を持つ。

P-P*R+P*R*R-P*R*R*R+\cdots

。

$L$ が擬似微分演算子であり、 $P$ がパラメトリックスである場合、 $Rが「十分に小さい」ことを条件として、$ $L$ の右逆、つまり基本解が得られます。これは、実際には十分に優れた平滑化演算子であることを意味します。

$P$ と $R が$ 関数で表される場合、擬似微分演算子の乗算 * は関数の畳み込みに対応するため、 $Lの基本解を与える無限和の項には、$ $Pと$ $R$ のコピーの畳み込みが含まれます。

注記

^ 定数係数微分演算子の基本解に関する既知の事実を使用することにより。
^ ヘルマンダー 1983, p. 170
^ 偏微分演算子の正則性問題については、こちらの項目を参照してください。
^ ヘルマンダー 1985
^ ヘルマンダー、1985、30–41 ページ
^ アダマール 1932

参考文献

Bejancu, A. (2001) [1994]、「パラメトリックス法」、数学百科事典、EMS Press
マルセル・バーガー;ポール・ゴーデュション。 Mazet、Edmond (1971)、Le Spectre d'une Variété Riemannienne、Lecture Notes in Mathematics (フランス語)、vol. 194、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. VII、251、doi :10.1007/BFb0064643、ISBN 978-3-540-05437-5、MR 0282313、Zbl 0223.53034
アダマール、ジャック（2003）[1923]、線形偏微分方程式におけるコーシーの問題に関する講義、ドーバー・フェニックス・エディションズ、ニューヨーク：ドーバー・パブリケーションズ、ISBN 978-0-486-49549-1、JFM 49.0725.04、MR 0051411、Zbl 0049.34805
Hadamard, J. (1932)、Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées Partielles linéaires hyperboliques (フランス語)、パリ: Herman、JFM 58.0519.16、Zbl 0006.20501。
Hörmander, L. (1983)、線形偏微分演算子の分析 I、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft、vol. 256、ハイデルベルク – ベルリン – ニューヨーク: Springer Verlag、doi :10.1007/978-3-642-96750-4、ISBN 3-540-12104-8、MR 0717035、Zbl 0521.35001。
Hörmander, L. (1985)、線形偏微分演算子の分析 III、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft、vol. 274、ハイデルベルク – ベルリン – ニューヨーク: Springer Verlag、ISBN 3-540-13828-5、MR 0781536、Zbl 0601.35001。
Levi、Eugenio Elia (1907)、「Sulle equazioni lineari alle derivate parziali totalmente ellittiche」、Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei、Classe di Scienze Fisiche、Matematiche、Naturali、Serie V、16 (12): 932–938、JFM 38.0403.01（イタリア語）。
Levi、Eugenio Elia (1907)、「Sulle equazioni lineari totalmente ellittiche alle derivate parziali」、Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo、24 (1): 275–317、doi :10.1007/BF03015067、JFM 38.0402.01、S2CID 121688042（イタリア語）。
ウェルズ・ジュニア、RO（1986）、複素多様体上の微分解析、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90419-1

[1] 定数係数微分演算子の基本解に関する既知の事実を使用することにより。

[2] ヘルマンダー 1983, p. 170

[3] 偏微分演算子の正則性問題については、こちらの項目を参照してください。

[4] ヘルマンダー 1985

[5] ヘルマンダー、1985、30–41 ページ

[6] アダマール 1932