ペンローズのグラフィカル記法

多重線形代数計算のグラフィカル表記

5粒子の行列積状態のペンローズグラフィカル表記（テンソル図表記）

数学と物理学において、ペンローズグラフィカル表記法またはテンソル図表記法は、 1971年にロジャー・ペンローズによって提案された多重線形関数またはテンソルの（通常は手書きの）視覚的表現である。 ^[1]この表記法の図は、線で結ばれた複数の図形で構成される。

この表記法は現代の量子論、特に行列積状態と量子回路において広く用いられている。特に、圏論的量子力学（ ZX計算を含む）は、ペンローズ図を用いて量子論を完全に包括的に再定式化したものである。

この表記法はプレドラグ・ツヴィタノヴィッチによって広く研究されており、彼はこれをファインマンの図やその他の関連表記法とともに、群論的な図である「バードトラック」の開発に使用して、古典的なリー群を分類しました。^[2]ペンローズの表記法は、表現論を使用して物理学におけるスピンネットワークに、また行列群の存在を利用して線型代数における図をトレースするためにも一般化されています。

解釈

多重線形代数

多重線型代数の言語では、それぞれの図形は多重線型関数を表します。図形に付随する線は関数の入力または出力を表し、何らかの方法で図形を連結することは、本質的に関数の合成です。

テンソル

テンソル代数の言語では、特定のテンソルは、上向きと下向きに伸びる多数の直線を持つ特定の図形に関連付けられ、これらの直線はそれぞれテンソルの抽象的な上限と下限の添え字に対応する。2つの図形を結ぶ直線は、添え字の縮約に対応する。この記法の利点の一つは、新しい添え字のために新しい文字を発明する必要がないことである。また、この記法は明示的に基底に依存しない。^[3]

行列

それぞれの図形は行列を表し、水平方向にテンソル乗算が行われ、垂直方向に行列乗算が行われます。

特殊テンソルの表現

計量テンソル

計量テンソルは、使用されるテンソルの種類に応じて、U 字型ループまたは逆 U 字型ループで表されます。

計量テンソル $g^{ab}$

{\displaystyle g^{ab}} — 計量テンソル $g^{ab}$

計量テンソル $g_{ab}$

{\displaystyle g_{ab}} — 計量テンソル $g_{ab}$

レヴィ・チヴィタテンソル

レヴィ・チヴィタ反対称テンソルは、使用されるテンソルの種類に応じて、下向きまたは上向きの棒が付いた太い水平バーで表されます。

$\varepsilon _{ab\ldots n}$

{\displaystyle \varepsilon _{ab\ldots n}} — $\varepsilon _{ab\ldots n}$

$\varepsilon ^{ab\ldots n}$

{\displaystyle \varepsilon ^{ab\ldots n}} — $\varepsilon ^{ab\ldots n}$

$\varepsilon _{ab\ldots n}\,\varepsilon ^{ab\ldots n}$ $=n!$

{\displaystyle \varepsilon _{ab\ldots n}\,\varepsilon ^{ab\ldots n}} — $\varepsilon _{ab\ldots n}\,\varepsilon ^{ab\ldots n}$ $=n!$

構造定数

構造定数 ${\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }$

{\displaystyle {\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }} — 構造定数 ${\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }$

リー代数の構造定数 ( ) は、1 本の線が上向き、2 本の線が下向きの小さな三角形で表されます。 ${\gamma_{ab}}^{c}$

テンソル演算

インデックスの縮小

インデックスの縮小は、インデックスラインを結合することによって表されます。

クロネッカーデルタ $\delta_{b}^{a}$

{\displaystyle \delta_{b}^{a}} — クロネッカーデルタ $\delta_{b}^{a}$

ドット積 $\beta _{a}\,\xi ^{a}$

{\displaystyle \beta _{a}\,\xi ^{a}} — ドット積 $\beta _{a}\,\xi ^{a}$

$g_{ab}\,g^{bc}=\delta _{a}^{c}=g^{cb}\,g_{ba}$

{\displaystyle g_{ab}\,g^{bc}=\delta _{a}^{c}=g^{cb}\,g_{ba}} — $g_{ab}\,g^{bc}=\delta _{a}^{c}=g^{cb}\,g_{ba}$

対称化

インデックスの対称化は、インデックスラインを水平に横切る太いジグザグまたは波状のバーによって表されます。

対称化（）
$Q^{(ab\ldots n)}$
${}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}$

{\displaystyle Q^{(ab\ldots n)}} — 対称化（）
$Q^{(ab\ldots n)}$
${}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}$

反対称化

インデックスの反対称化は、インデックスの線を水平に横切る太い直線で表されます。

反対称化（）
$E_{[ab\ldots n]}$
${}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}$

{\displaystyle E_{[ab\ldots n]}} — 反対称化（）
$E_{[ab\ldots n]}$
${}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}$

行列式

行列式は、指数に反対称化を適用することによって形成されます。

行列式 $\det \mathbf {T} =\det \left(T_{\ b}^{a}\right)$

{\displaystyle \det \mathbf {T} =\det \left(T_{\ b}^{a}\right)} — 行列式 $\det \mathbf {T} =\det \left(T_{\ b}^{a}\right)$

逆行列 $\mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}$

{\displaystyle \mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}} — 逆行列 $\mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}$

共変微分

共変微分（）は、微分するテンソルの周りの円と、その円から下向きに結ばれた線で表され、その線は微分の下限指数を表します。 $\nabla$

共変微分 $12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)$ $=12\left(\xi ^{f}(\nabla _{a}\lambda _{fb[c}^{(d})\,D_{gh]}^{e)b}+(\nabla _{a}\xi ^{f})\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}+\xi ^{f}\lambda _{fb[c}^{(d}\,(\nabla _{a}D_{gh]}^{e)b})\right)$

{\displaystyle 12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)} — 共変微分 $12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)$ $=12\left(\xi ^{f}(\nabla _{a}\lambda _{fb[c}^{(d})\,D_{gh]}^{e)b}+(\nabla _{a}\xi ^{f})\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}+\xi ^{f}\lambda _{fb[c}^{(d}\,(\nabla _{a}D_{gh]}^{e)b})\right)$

テンソル操作

図式的記法はテンソル代数の操作に便利です。通常、テンソル操作におけるいくつかの単純な「恒等式」が用いられます。

たとえば、nが次元数であるは共通の「恒等式」です。 $\varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!$

リーマン曲率テンソル

リーマン曲率テンソルで与えられたリッチ恒等式とビアンキ恒等式は、次の記法の威力を示している。

リーマン曲率テンソルの表記

リッチテンソル $R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}$

{\displaystyle R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}} — リッチテンソル $R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}$

リッチ恒等式 $(\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}$ $=R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf {\xi } ^{c}$

{\displaystyle (\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}} — リッチ恒等式 $(\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}$ $=R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf {\xi } ^{c}$

ビアンキのアイデンティティ $\nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0$

{\displaystyle \nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0} — ビアンキのアイデンティティ $\nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0$

拡張機能

この表記法はスピノルとツイスターをサポートするように拡張されている。^[4]^[5]

参照

ウィキメディア・コモンズには、ペンローズのグラフィカル記法に関連するメディアがあります。

注記

^ ロジャー・ペンローズ、「負次元テンソルの応用」『組合せ数学とその応用』、アカデミック・プレス（1971年）。簡潔な解説については、ウラジミール・トゥラエフ著『結び目と3次元多様体の量子不変量』（1994年）、De Gruyter、p. 71を参照。
^ Predrag Cvitanović (2008). 群論：バードトラック、リー群、例外群. プリンストン大学出版局.
^ ロジャー・ペンローズ、『現実への道：宇宙の法則完全ガイド』、2005年、ISBN 0-09-944068-7、n次元多様体の章。
^ ペンローズ, R.; リンドラー, W. (1984). スピノルと時空: 第1巻 2スピノル計算と相対論的場. ケンブリッジ大学出版局. pp. 424– 434. ISBN 0-521-24527-3。
^ ペンローズ, R.; リンドラー, W. (1986). スピノルと時空: 第2巻, 時空幾何学におけるスピノル法とツイスト法. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-25267-9。

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