摂動量子色力学

摂動量子色力学（摂動QCDとも呼ばれる）は、高エネルギーまたは短距離相互作用では強い結合定数が小さいという事実を利用して、摂動論の手法を適用できるという強い相互作用の理論である量子色力学（QCD）を研究する素粒子物理学の分野である。ほとんどの場合、QCDで検証可能な予測を行うことは、位相的に等価でない相互作用が無数に存在する可能性があるため、極めて困難である。短距離では結合は十分に小さいため、この無限数の項は有限数の項で正確に近似することができる。高エネルギーでのみ適用可能であるが、このアプローチにより、現在までに最も正確なQCDの検証が実現している^[要出典]。 ${\displaystyle \alpha _{s}}$

摂動論的QCDの重要な検証は、との生成率の比の測定である。総生成率のみが考慮されるため、すべての終状態ハドロンの総和は特定のハドロンの種類への依存性を打ち消し、この比は摂動論的QCDで計算できる。 ${\displaystyle e^{+}e^{-}\to {\text{ハドロン}}}$ ${\displaystyle e^{+}e^{-}\to \mu ^{+}\mu ^{-}}$

ほとんどの強い相互作用プロセスは、色の閉じ込めのために自由クォークとグルーオンを観測できないため、摂動QCDで直接計算することはできません。たとえば、ハドロンの構造は非摂動的な性質を持っています。これを説明するために、物理学者^{[誰？ ]}はQCD因数分解定理を開発しました。これは、断面積を2つの部分に分離します。プロセスに依存する摂動計算可能な短距離パートン断面積と、普遍的な長距離関数です。これらの普遍的な長距離関数は、実験へのグローバルフィッティングで測定でき、パートン分布関数、フラグメンテーション関数、マルチパートン相関関数、一般化パートン分布、一般化分布振幅、および多くの種類の形状因子が含まれます。各種類の普遍的な長距離関数ごとにいくつかの共同研究があります。それらは現代の素粒子物理学の重要な部分になっています。

QCDの数学的定式化

量子色力学はラグランジアン密度の観点から定式化される

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=-{\frac {1}{4}}{\text{tr}}(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu })+{\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m\right)\psi }$

ラグランジアンにおける表現

物質の内容

ラグランジアンの内容物質はスピノル場とゲージ場（グルーオン場とも呼ばれる）です。 ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle A_{\mu}}$

スピノル場は、ガンマ行列が 作用するスピン指数と、共変微分が作用するカラー指数を持ちます。形式的には、スピノル場はスピンベクトルとカラーベクトルのテンソル積として評価される時空の関数です。 ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle D_{\mu}}$ ${\displaystyle \psi (x)}$

量子色力学はゲージ理論であり、それに伴うゲージ群 はコンパクトリー群である。色ベクトルは の表現空間の元である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

ゲージ場は のリー代数で値を持つ。スピノル場と同様に、ゲージ場も時空指数 を持つため、 の要素を持つテンソル化されたコベクトルとして値を持つ。リー理論では、となるようなの基底を常に見つけることができる。微分幾何学では、 は接続として知られている。 ${\displaystyle A_{\mu}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle t^{a}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\text{tr}}(t^{a}t^{b})=\delta^{ab}}$ ${\displaystyle A_{\mu}}$

QCDにおける伝播関数と相互作用のファインマン図

ゲージ場はラグランジアンには明示的に現れず、定義される 曲率を通して現れる。これはグルーオン場強度テンソル、あるいは幾何学的には曲率形式として 知られる。パラメータはQCDの 結合定数である。${\displaystyle F_{\mu \nu },}$ $${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+ig[A_{\mu },A_{\nu }].}$$ ${\displaystyle g}$

ファインマンスラッシュ記法に展開して使用することで、ラグランジアンはよりエレガントな形で図式的に記述できる。 ${\displaystyle F_{\mu \nu}}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu }^{a})^{2}+{\bar {\psi }}\left(iD\!\!\!\!/-m\right)\psi }$

ゲージ固定ラグランジアン

この表現は数学的には簡潔で、ゲージ変換に対して明白な不変性を持つが、摂動法計算ではゲージを固定する必要がある。ゲージ固定の手順はファデーエフとポポフによって開発された。この手順では、ゴースト場 を導入する必要がある。このゴースト場は、ゲージ固定手順の後、ラグランジアンは次のように書ける。 ${\displaystyle c(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu }^{a})^{2}-{\frac {1}{2\xi }}(\partial ^{\mu }A_{\mu })^{2}+{\bar {\psi }}\left(iD\!\!\!\!/-m\right)\psi -{\bar {c}}^{a}\partial ^{\mu }(D_{\mu }c)^{a}}$

ここで、 はゲージ固定パラメータです。 を選択することはファインマンゲージとして知られています。 ${\displaystyle \xi}$ ${\displaystyle \xi =1}$

曲率と共変微分を展開した後、経路積分法を通じて QCD のファインマン規則を導くことができます。

QCDにおける、クォークまたはグルーオンの自己エネルギーに寄与するすべての1PI（相互作用する1粒子）1ループダイアグラム。各ダイアグラムに対応するループ積分は、ファインマン則を用いて求めることができる。そして、積分は次元正則化などの正則化スキームを用いて評価される。

繰り込み

ゲージ理論とQCDの再正規化技術は、トホーフトによって開発・実行された。少数の粒子種（クォークフレーバー）については、QCDは負のベータ関数を持ち、したがって漸近的自由性を示す。

1ループ再正規化

QCD が 1 ループ順序で繰り込み可能であることを示すには、ループ積分の評価が必要です。ループ積分は、ファインマン規則から導出でき、次元正規化を使用して評価できます。

外部リンク

• QCDにおけるハードプロセスの因数分解

参考文献

• Peskin, ME, Schroeder, DV (1995). 『場の量子論入門』ウェストビュー出版.