数学において、プラクティックモノイド（plactic monoid）とは、クヌース同値性 を法とする正整数のアルファベットのすべての単語からなるモノイド である。その元は、半標準ヤング・タブローと同一視できる。これはドナルド・クヌース （1970年）によって発見され（彼はこれをタブロー代数と呼んだ）、クレイグ・シェンステッド（1961年）が順列の 最長増加部分列 の研究において示した演算を用いて行われた。
これはラスクーとシュッツェンベルガー（1981）によって「モノイデ・プラクシーク（monoïde plaxique）」と名付けられ、定義において任意の全順序アルファベットを許容しました。「プラクシーク」という語の語源は明確ではありませんが、プレートテクトニクス（フランス語で「tectonique des plaques」）を指している可能性があります。同値性を生成する基本関係は、生成記号の条件付き交換を許容するためです。生成記号は、（プレートテクトニクスに類似して）互いに滑ることもありますが、自由には滑らないことがあります。
意味
完全に順序付けられたアルファベット（多くの場合、正の整数）上のプラクティックモノイドは、次の表現を持つモノイドです。
- ジェネレータはアルファベットの文字です
- この関係は、x < y ≤ zの場合はyzx ≡ yxz、x ≤ y < zの場合はxzy ≡ zxyという基本的な Knuth 変換 です。
クヌース同値
2 つの単語がプラクティックモノイドの同じ要素を表す場合、または言い換えると、一連の基本的な Knuth 変換によって一方が他方から得られる場合、それらの単語 はKnuth 同値と呼ばれます。
いくつかの特性は Knuth 同値によって保持されます。
- ある単語が逆格子単語である場合、それと等価な Knuth 単語も逆格子単語になります。
- 2 つの単語が Knuth 等価である場合、その右端の最大要素を削除することによって得られる単語も Knuth 等価であり、左端の最小要素を削除することによって得られる単語も Knuth 等価です。
- クヌース同値は、最長の非減少部分列の長さを保存し、より一般的には、任意の固定されたkに対して、 k個の互いに素な非減少部分列の長さの合計の最大値を保存します。
セミスタンダード・ヤング・タブローとの通信
• プラクティック関係を用いると、(1257)*4 = 5*(1247)
• (38)*5 = 8*(35)となるので、(5)は2行目の(8)に置き換わり
、(8)は3行目を生成する
。• 積は表形式(8)(35)(1247)となる。
各単語は、同じ順序付きアルファベット上の一意の半標準ヤング・タブロー（各行が非減少で各列が正則増加であることを意味する）の単語とクヌース同値であり、タブローは行単位でも列単位でも読み取ることができる。したがって、プラクティック・モノイドの元は半標準ヤング・タブローと同一視することができ、したがってこれもモノイドを形成する。
準標準ヤング・タブローのワードを右に生成子で乗算することは、ヤング・タブローへのシェンステッド挿入と等価です。行順序において、タブローのワードは、生成子の非減少列が徐々に長くなる積と等価です。新しい生成子は、生成子が大きい場合は追加し、そうでない場合は、可塑性関係を繰り返し適用して順序外の要素を次の行に移動させることで、適切な場所に挿入できます。後者の場合、順序外の要素は、各行においてそれよりも大きい左端の要素を置き換え、移動した要素が次の行に挿入されます。
シェンステッド挿入はヤングのタブローを保存するので、プラクティックモノイドの要素はヤングのタブローに対応する標準形式で記述できることが帰納的に証明され、その構成は半標準タブローの自然積を定義します。
タカン遊び
2つの歪んだヤング・タブローは、それらの単語の読みがクヌース同値、すなわちプラクティック群の同値な要素に対応する場合に限り、 Jeu de taquinと同値である。これは、プラクティック群の積をヤング・タブローを用いて直接定義する別の方法である。2つのタブローを掛け合わせるには、2つを空の長方形の周りに描いて歪んだタブローを作り、Jeu de taquin スライドを使ってそれを修正する。
タブローリング
タブロー環はプラクティックモノイドのモノイド環であるため、プラクティックモノイドの要素からなる Z基底を持ち、その積はプラクティックモノイドの場合と同じになります。
アルファベット上のプラクティック環から、任意のタブローをそのエントリの変数の積にとる多項式環（変数はアルファベットでインデックス付けされている）への準同型性があり、これはプラクティック半群のアーベル化に対応します。
成長
n個のアルファベット上のプラクティックモノイドの生成関数は
次元の多項式増加があることを示しています。
参照
参考文献
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- クヌース、ドナルド・E.（1970）「順列、行列、および一般化ヤング表」、パシフィック・ジャーナル・オブ・マスマティクス、34（3）：709–727、doi：10.2140/pjm.1970.34.709、ISSN 0030-8730、MR 0272654
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- アラン・ラスクー。シュッツェンベルガー、マルセル-P. (1981)、「Le monoïde plaxique」(PDF)、代数および幾何学的組み合わせ論における非可換構造 (Naples、1978)、Quaderni de La Ricerca Scientifica、vol. 109、ローマ: CNR、 129–156ページ 、MR 0646486
- ロテール, M. (2011),語の代数的組合せ論, 数学とその応用百科事典, 第90巻, ジャン・ベルステルとドミニク・ペランによる序文付き（2002年ハードカバー版の再版）, ケンブリッジ大学出版局, ISBN 978-0-521-18071-9、Zbl 1221.68183
- シェンステッド, C. (1961)、「最長増加部分列と最長減少部分列」、カナダ数学ジャーナル、13 : 179– 191、doi : 10.4153/CJM-1961-015-3、ISSN 0008-414X、MR 0121305、S2CID 247197258
- Schützenberger、Marcel-Paul (1997)、「Pour le monoïde plaxique」、数学、情報科学、人間科学(140): 5–10、doi : 10.4000/msh.2764、ISSN 0995-2314、MR 1627563
さらに読む
- Green, James A. (2007)、 「GL nの多項式表現」、数学講義ノート、第830巻、K. Erdmann、JA Green、M. SchockerによるSchensted対応とLittelmann経路に関する付録付き（第2版訂正増補版）、ベルリン：Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-46944-5、Zbl 1108.20044
