ポアソン核

数学、特にポテンシャル理論において、ポアソン核（ポアソンかく）は積分核の一種であり、単位円板上のディリクレ境界条件が与えられた2次元ラプラス方程式を解く際に用いられる。この核は、ラプラス方程式のグリーン関数の微分として理解できる。シメオン・ポアソンにちなんで名付けられた。

ポアソンカーネルは、制御理論や静電気学における2次元問題によく応用されます。実際には、ポアソンカーネルの定義はn次元問題に拡張されることがよくあります。

2次元ポアソン核

ユニットディスク上

複素平面において、単位円板^{[ 1 ]}のポアソン核は次のように与えられる。 $${\displaystyle P_{r}(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}e^{in\theta }={\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}=\operatorname {Re} \left({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i\theta }}}\right),\ \ \ 0\leq r<1.}$$

これは 2 つの方法で考えることができます。rとθの関数として、またはrでインデックス付けされたθの関数のファミリとしてです。

がC内の開単位円板、T が円板の境界、fがL ¹ ( T )にあるT上の関数である場合、によって与えられる 関数u はDに関して調和的 であり、円板の境界T上のほぼすべての場所でfと一致する放射極限を持ちます。 ${\displaystyle D=\{z:|z|<1\}}$ $${\displaystyle u(re^{i\theta })={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }P_{r}(\theta -t)f(e^{it})\,\mathrm {d} t,\quad 0\leq r<1}$$

uの境界値がf であることは、 r → 1のとき、関数P _r ( θ )が畳み込み代数L ¹ ( T )において近似単位を形成するという事実を用いて論じることができる。線型作用素として、それらはL ^p ( T )上の各点においてディラックのデルタ関数に近づく。最大原理により、uはD上の唯一のそのような調和関数である。

この近似単位を用いた畳み込みは、L ¹ ( T )の関数のフーリエ級数に対する総和可能性カーネルの例となる（ Katznelson 1976）。f ∈ L ¹ ( T ) がフーリエ級数 { f _k } を持つとする。フーリエ変換後、P _r ( θ ) との畳み込みは、数列 { r ^|k| } ∈ ℓ ¹ ( Z ) の乗算となる。結果の積 { r ^|k| f _k } の逆フーリエ変換を行うと、 fのアーベル平均A _r fが得られる 。 $${\displaystyle A_{r}f(e^{2\pi ix})=\sum _{k\in \mathbb {Z} }f_{k}r^{|k|}e^{2\pi ikx}。}$$

この絶対収束級数を整理すると、 f がg + hの境界値であることがわかります。ここで、g (またはh ) はD上の正則(または反正則) 関数です。

調和拡大が正則であることを求めると、解はハーディ空間の元となる。これは、 fの負のフーリエ係数がすべてゼロになるときに真となる。特に、ポアソン核は単位円上のハーディ空間と単位円上のハーディ空間の同値性を示すためによく用いられる。

H ^p ( z )の関数のT上の極限となる関数の空間は、H ^p ( T ) と呼ばれることがある。これはL ^p ( T ) の閉部分空間である（少なくともp  ≥ 1 の場合）。L p ( T ) はバナッハ空間（1 ≤  p  ≤ ∞ の場合）であるため、H ^p ( T ) もバナッハ^空間である。

上半面

単位円板は、特定のメビウス変換によって上半平面に等角写像することができる。調和関数の等角写像も調和写像となるため、ポアソン核は上半平面にも持ち越される。この場合、ポアソン積分方程式は以下の形をとる。 $${\displaystyle u(x+iy)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{y}(xt)f(t)\,dt,\qquad y>0.}$$

カーネル自体は次のように与えられる。 $${\displaystyle P_{y}(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}.}$$

関数、つまり実数直線上の積分可能関数のL ^p空間が与えられたとき、 u はfの上半平面への調和拡張として理解できる。円板の場合と同様に、u が上半平面において正則なとき、uはハーディ空間の元となり、特に、 ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H^{p},}$ $${\displaystyle \|u\|_{H^{p}}=\|f\|_{L^{p}}}$$

したがって、上半平面上のハーディ空間H ^pはバナッハ空間であり、特に、実軸への制限は の閉じた部分空間です。状況は単位円の場合と類似しているだけです。単位円のルベーグ測度は有限ですが、実数直線のルベーグ測度は有限ではありません。 ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ).}$

ボールの上

半径 の球の場合、ポアソン核は の形をとります。 ここで、 （ の表面）であり、は単位 ( n  − 1) 球の表面積です。 ${\displaystyle r,B_{r}\subset \mathbb {R} ^{n},}$ $${\displaystyle P(x,\zeta )={\frac {r^{2}-|x|^{2}}{r\omega _{n-1}|x-\zeta |^{n}}}}$$ ${\displaystyle x\in B_{r},\zeta \in S}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle \omega _{n-1}}$

このとき、u ( x ) がS上で定義された連続関数である場合、対応するポアソン積分は次のように定義される関数P [ u ]( x ) である。$${\displaystyle P[u](x)=\int _{S}u(\zeta )P(x,\zeta )\,d\sigma (\zeta ).}$$

P [ u ]( x ) は球面上で調和関数であり、P [ u ]( x ) は半径rの閉球面上の連続関数に拡張され、境界関数は元の関数uと一致することが示されます 。 ${\displaystyle B_{r}}$

上半分のスペース

上半空間のポアソン核の式も得られる。 の標準直交座標を と表記する。上半空間は で定義される集合である。H n ⁺¹ のポアソン核は で与えられる。 ^ここ で ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ $${\displaystyle (t,x)=(t,x_{1},\dots ,x_{n}).}$$ $${\displaystyle H^{n+1}=\left\{(t;x)\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid t>0\right\}.}$$ $${\displaystyle P(t,x)=c_{n}{\frac {t}{\left(t^{2}+\left\|x\right\|^{2}\right)^{(n+1)/2}}}}$$ $${\displaystyle c_{n}={\frac {\Gamma [(n+1)/2]}{\pi ^{(n+1)/2}}}.}$$

上半空間のポアソン核は、t が補助パラメータの役割を果たす アーベル変換のフーリエ変換 として自然に現れる。 特に、フーリエ変換の性質から、少なくとも形式的には、畳み込みは上半平面におけるラプラス方程式の解であることが分かる 。また、 t → 0 のとき、適切な意味でP [ u ]( t , x ) → u ( x ) となることも示すことができる。 $${\displaystyle P(t,x)={\mathcal {F}}(K(t,\cdot ))(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi t|\xi |}e^{-2\pi i\xi \cdot x}\,d\xi .}$$ $${\displaystyle P[u](t,x)=[P(t,\cdot )*u](x)}$$

参照

• シュワルツの積分公式

参考文献

1. 「複素解析 - コーシー積分公式からポアソン積分公式を導出する」 Mathematics Stack Exchange . 2022年8月21日閲覧。

• カツネルソン、イツハク（1976）『調和解析入門』ドーバー、ISBN 0-486-63331-4
• コンウェイ、ジョン・B.（1978）、一変数複素関数I、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-90328-3。
• Axler, S. ; Bourdon, Paul; Ramey, Wade (1992), Harmonic Function Theory , Springer-Verlag, ISBN 0-387-95218-7。
• キング、フレデリック・W.（2009年）、ヒルベルト変換第1巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-88762-5。
• スタイン、エリアス、ワイス、グイド（1971年）、ユークリッド空間におけるフーリエ解析入門、プリンストン大学出版局、ISBN 0-691-08078-X。
• Weisstein, Eric W. 「ポアソン核」。MathWorld 。
• ギルバーグ、D.;トゥルーディンガー、N.（2001年1月12日）「楕円偏微分方程式の2次」、シュプリンガー、ISBN 3-540-41160-7。