ポアソン超代数

数学において、ポアソン超代数（ポアソンこうかだん、英: Poisson superalgebra）は、ポアソン代数のZ ₂次一般化である。具体的には、ポアソン超代数は、（結合的）超代数Aと、2番目の積であるリー超括弧を組み合わせたものである。

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:A\otimes A\to A}$

（A ,[·,·]）はリー超代数であり、演算子

${\displaystyle [x,\cdot ]:A\to A}$

はAの超微分である:

${\displaystyle [x,yz]=[x,y]z+(-1)^{|x||y|}y[x,z].}$

ここでは、（純粋な）要素の分類を示します。 ${\displaystyle |a|=\deg a}$ ${\displaystyle a}$

超可換ポアソン代数は、（結合的）積が超可換となる代数です。

これはポアソン代数を「超」化する2つの方法のうちの1つです。これにより、フェルミオン場と古典スピン1/2粒子の古典力学が得られます。もう1つの方法は、BRST形式およびバタリン-ヴィルコヴィスキー形式で使用される反括弧代数またはゲルステンハーバー代数を定義することです。これら2つの違いは、リー括弧の次数にあります。ポアソン超代数では、括弧の次数は0です。

${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|}$

一方、ゲルステンハーバー代数では、括弧によって評価が1つ減ります。

${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|-1}$

例

• が任意の結合的なZ ₂次数代数である場合、任意の純粋な次数 x、yに対して、スーパー交換子と呼ばれる新しい積 を定義すると、ポアソン超代数になります。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle [x,y]:=xy-(-1)^{|x||y|}yx}$ ${\displaystyle A}$

参照

• ポアソン超多様体

参考文献

• Y. Kosmann-Schwarzbach (2001) [1994]、「ポアソン代数」、Encyclopedia of Mathematics、EMS Press