ポリャコフループ

場の量子論において、ポリヤコフループはウィルソンループの熱的類似物であり、非零温度での純粋ゲージ理論における閉じ込めの秩序パラメータとして働く。特に、これは熱的量子場の理論のコンパクト化されたユークリッド時間方向に巻き付くウィルソンループである。中心ゲージ変換に対する非不変性のため、閉じ込め相ではその真空期待値が必ず消滅するため、これは閉じ込めを示す。これはまた、期待値がこの相で発散する個々のクォークの自由エネルギーに関係しているという事実からも導かれる。1975年にアレクサンダー・M・ポリヤコフによって導入され、^{[1]非零温度でのクォーク対間の}ポテンシャルの研究にも使用できる。

意味

熱量子場理論は、長さの虚時間方向がコンパクト化されたユークリッド時空において定式化される。この長さは、場の温度の逆数に対応する。コンパクト化は、ポリアコフループとして知られる、コンパクト方向を囲む位相的に非自明なウィルソンループの特別なクラスをもたらす。 ^[2]理論的には、空間座標上の直線ポリアコフループは次のように与えられる 。${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \beta \propto 1/T}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$

${\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{N}}{\text{tr}}\ {\mathcal {P}}\exp {\bigg [}\int _{0}^{\beta }dx_{4}A_{4}({\boldsymbol {x}},x_{f}){\bigg ]},}$

ここで、は経路順序付け演算子であり、はゲージ場のユークリッド時間成分である。格子場理論では、この演算子は空間位置における時間リンク場を用いて次のように再定式化される^[3]。${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle A_{4}}$ ${\displaystyle U_{4}({\boldsymbol {m}},j)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$

${\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {m}})={\frac {1}{N}}{\text{tr}}{\bigg [}\prod _{j=0}^{N_{T}-1}U_{4}({\boldsymbol {m}},j){\bigg ]}.}$

格子の連続極限は、コンパクト方向が一定の広がりを持つことを保証するために注意深く考慮する必要がある。これは、格子間隔がゼロに近づくにつれて、時間格子点の有限数が一定となるようにすることで実現される。 ${\displaystyle N_{T}}$ ${\displaystyle \beta =N_{T}a}$ ${\displaystyle a}$

注文パラメータ

閉じ込め相転移近傍におけるゲージ理論のシミュレーションにおけるポリアコフ線の期待値の散布図。赤い円は閉じ込め相を示し、青と緑の円は非閉じ込め相における非ゼロの期待値を示す。ゲージ群の群中心に起因する非閉じ込め相には3つのクラスターが存在する。^[4]${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$

ゲージ場は、コンパクト化された方向で周期性条件を満たす必要がある。一方、ゲージ変換は、の群中心項までこれをとして満たすだけでよい。基底の変更により、これを常に対角化できるため、複素数 に対してとなる。ポリアコフループは時間方向で位相的に自明ではないため、他のウィルソンループとは異なり、これらの変換によって のように変換される。^[5]これにより、ループゲージは に対して依存するため、エリツァーの定理により、の非ゼロの期待値は中心群が自発的に破れなければならないことを意味し、純粋ゲージ理論での閉じ込めを意味する。これにより、ポリアコフループは、熱的純粋ゲージ理論での閉じ込めの秩序パラメータとなり、 のときに閉じ込め相が発生し、 のときに脱閉じ込め相が発生する。^[6]たとえば、理論から分離した無限に重いクォークを含む量子色力学の格子計算は、脱閉じ込め相転移が MeV の温度付近で発生することを示している。^{[7]一方、クォークを含むゲージ理論では、クォークは中心群を破るため、代わりに漸近状態、つまりカラー中性}ハドロンのスペクトルから閉じ込めを推論する必要があります。 ${\displaystyle A_{\mu }({\boldsymbol {x}},x_{4}+\beta )=A_{\mu }({\boldsymbol {x}},x_{4})}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \Omega ({\boldsymbol {x}},x_{4}+\beta )=h\Omega ({\boldsymbol {x}},x_{4})}$ ${\displaystyle h=zI}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {x}})\rightarrow z\Phi ({\boldsymbol {x}})}$ ${\displaystyle z\neq 1}$ ${\displaystyle \langle \Phi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \Phi \rangle =0}$ ${\displaystyle \langle \Phi \rangle \neq 0}$ ${\displaystyle 270}$

閉じ込め相で破れる可能性のある非自明な群中心を持たないゲージ理論の場合、ポリアコフループの期待値はこの相においても非ゼロとなる。しかしながら、ポリアコフループの期待値は、相転移において一般に急激な変化を経験するため、閉じ込め状態の良好な指標となる。これは、例えば例外ゲージ群を持つ ヒッグス模型の場合に当てはまる。^[8] ${\displaystyle G_{2}}$

ナンブ・ジョナ・ラシニオ模型は局所的な色対称性を欠いているため、閉じ込め効果を捉えることができません。しかし、ポリアコフループを用いることで、ポリアコフループ拡張ナンブ・ジョナ・ラシニオ模型を構築することができます。この模型では、カイラル凝縮体とポリアコフループの両方を、量子色力学の対称性と対称性の破れのパターンに従ってクォークと結合する古典的な均質場として扱います。^{[9] [10] [11]}

クォークの自由エネルギー

クォークと反クォークの自由エネルギーは真空エネルギーを差し引いたもので、ポリアコフループの相関関数で与えられる^[12]。${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\bar {N}}}$

${\displaystyle e^{-\beta F}=\langle \Phi ({\boldsymbol {x}}_{1})\dots \Phi ({\boldsymbol {x}}_{N_{q}})\Phi ^{\dagger }({\boldsymbol {x}}'_{1})\cdots \Phi ^{\dagger }({\boldsymbol {x}}_{\bar {N}}')\rangle .}$

この自由エネルギーは、ポリアコフループが閉じ込めの秩序パラメータとして作用することを示す別の方法です。単一クォークの自由エネルギーは で与えられるからです。^[13]クォークの閉じ込めとは、単一の自由クォークを含む構成を作成するために無限の量のエネルギーが必要になることを意味し、したがってその自由エネルギーは無限大でなければならず、そのため中心対称性の破れの議論と一致して、この段階でポリアコフループの期待値は必ずゼロになります。 ${\displaystyle e^{-\beta \Delta F}=\langle \Phi ({\boldsymbol {x}})\rangle }$

自由エネルギーの式は、空間的に離れた無限質量のクォーク対間のポテンシャルを計算するのにも使えます。ここで、ポテンシャルは自由エネルギーの最初の項なので、2つのポリアコフループの相関関数は ${\displaystyle r=|{\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}|}$ ${\displaystyle V(r)}$

${\displaystyle \langle \Phi ({\boldsymbol {x}}_{1})\Phi ({\boldsymbol {x}}_{2})\rangle \propto e^{-\beta V(r)}(1+{\mathcal {O}}(e^{-\beta \Delta E(r)})),}$

ここで、はポテンシャルと第一励起状態との間のエネルギー差である。閉じ込め相ではポテンシャルは線形であり、比例定数は弦の張力として知られている。ポリアコフループから得られる弦の張力は、常にウィルソンループから得られる弦の張力によって上方から制限される。^[14]${\displaystyle \Delta E}$ ${\displaystyle V(r)=\sigma r}$

参照

• クォーク・グルーオン・プラズマ
• 't Hooft ループ

参考文献

1. Polyakov, AM (1975). 「コンパクトゲージ場と赤外線カタストロフィー」. Physics Letters B. 59 ( 1): 82– 84. doi :10.1016/0370-2693(75)90162-8.
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