ポンチャギン語クラス
Characteristic class for real vector bundles

数学において、ポントリャーギン類はレフ・ポントリャーギンにちなんで名付けられた、実ベクトル束の特定の特性類です。ポントリャーギン類は、次数が4の倍数の コホモロジー群に属します

定義

上の実ベクトル束が与えられたとき、その- 次ポンチャギン類は次のように定義されます E {\displaystyle E} M {\displaystyle M} k {\displaystyle k} p k ( E ) {\displaystyle p_{k}(E)}

p k ( E ) = p k ( E , Z ) = ( − 1 ) k c 2 k ( E ⊗ C ) ∈ H 4 k ( M , Z ) , {\displaystyle p_{k}(E)=p_{k}(E,\mathbb {Z} )=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in H^{4k}(M,\mathbb {Z} ),}

ここで：

  • c 2 k ( E ⊗ C ) {\displaystyle c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )} は複素化の- 番目のチャーン類を表します 2 k {\displaystyle 2k} E ⊗ C = E ⊕ i E {\displaystyle E\otimes \mathbb {C} =E\oplus iE} E {\displaystyle E}
  • H 4 k ( M , Z ) {\displaystyle H^{4k}(M,\mathbb {Z} )} は整数係数を持つの-コホモロジー群です。 4 k {\displaystyle 4k} M {\displaystyle M}

有理ポンチャギン類は、有理係数を持つの -コホモロジー群におけるの像として定義されます。 p k ( E , Q ) {\displaystyle p_{k}(E,\mathbb {Q} )} p k ( E ) {\displaystyle p_{k}(E)} H 4 k ( M , Q ) {\displaystyle H^{4k}(M,\mathbb {Q} )} 4 k {\displaystyle 4k} M {\displaystyle M}

性質

ポンチャギン類全体は

p ( E ) = 1 + p 1 ( E ) + p 2 ( E ) + ⋯ ∈ H ∗ ( M , Z ) , {\displaystyle p(E)=1+p_{1}(E)+p_{2}(E)+\cdots \in H^{*}(M,\mathbb {Z} ),}

ベクトル束の ホイットニー和に関して（2-捩れを法として）乗法的である 。すなわち、

2 p ( E ⊕ F ) = 2 p ( E ) ⌣ p ( F ) {\displaystyle 2p(E\oplus F)=2p(E)\smile p(F)}

2つのベクトル束と以上の場合には となる。個々のポンチャギン類に関しては、 E {\displaystyle E} F {\displaystyle F} M {\displaystyle M} p k {\displaystyle p_{k}}

2 p 1 ( E ⊕ F ) = 2 p 1 ( E ) + 2 p 1 ( F ) , {\displaystyle 2p_{1}(E\oplus F)=2p_{1}(E)+2p_{1}(F),}
2 p 2 ( E ⊕ F ) = 2 p 2 ( E ) + 2 p 1 ( E ) ⌣ p 1 ( F ) + 2 p 2 ( F ) {\displaystyle 2p_{2}(E\oplus F)=2p_{2}(E)+2p_{1}(E)\smile p_{1}(F)+2p_{2}(F)}

等々。

ベクトル束のポンチャギン類とスティフェル・ホイットニー類が消滅することは、ベクトル束が自明であることを保証するものではありません。例えば、ベクトル束同型を除けば、 9次元球面上には階数10の非自明なベクトル束が1つだけ存在します。（のクラッチング関数はホモトピー群から生じます。）ポンチャギン類とスティフェル・ホイットニー類はすべて消滅します。ポンチャギン類は次数9には存在せず、 のスティフェル・ホイットニー類はウー公式によって消滅します。さらに、このベクトル束は安定的に非自明です。つまり、と任意の自明な束のホイットニー和は非自明のままです。（Hatcher 2009, p. 76） E 10 {\displaystyle E_{10}} E 10 {\displaystyle E_{10}} π 8 ( O ( 10 ) ) = Z / 2 Z {\displaystyle \pi _{8}(\mathrm {O} (10))=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } w 9 {\displaystyle w_{9}} E 10 {\displaystyle E_{10}} w 9 = w 1 w 8 + S q 1 ( w 8 ) {\displaystyle w_{9}=w_{1}w_{8}+Sq^{1}(w_{8})} E 10 {\displaystyle E_{10}}

次元ベクトル束が与えられると、 2 k {\displaystyle 2k} E {\displaystyle E}

p k ( E ) = e ( E ) ⌣ e ( E ) , {\displaystyle p_{k}(E)=e(E)\smile e(E),}

ここで、は のオイラー類、 はコホモロジー類の カップ積を表します。 e ( E ) {\displaystyle e(E)} E {\displaystyle E} ⌣ {\displaystyle \smile }

ポンチャギン類と曲率

1948年頃にシー・シェン・チェンとアンドレ・ヴェイユによって示されたように、有理ポンチャギン類は

p k ( E , Q ) ∈ H 4 k ( M , Q ) {\displaystyle p_{k}(E,\mathbf {Q} )\in H^{4k}(M,\mathbf {Q} )}

はベクトル束の曲率形式に多項式的に依存する微分形式として表すことができる。このチャーン＝ヴェイユ理論は、代数位相幾何学と大域微分幾何学の間に重要なつながりを明らかにした。

接続を備えた次元微分可能多様体上のベクトル束 に対して、全ポンチャギン類は次のように表される。 E {\displaystyle E} n {\displaystyle n} M {\displaystyle M}

p = [ 1 − T r ( Ω 2 ) 8 π 2 + T r ( Ω 2 ) 2 − 2 T r ( Ω 4 ) 128 π 4 − T r ( Ω 2 ) 3 − 6 T r ( Ω 2 ) T r ( Ω 4 ) + 8 T r ( Ω 6 ) 3072 π 6 + ⋯ ] ∈ H d R ∗ ( M ) , {\displaystyle p=\left[1-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})}{8\pi ^{2}}}+{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{2}-2{\rm {Tr}}(\Omega ^{4})}{128\pi ^{4}}}-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{3}-6{\rm {Tr}}(\Omega ^{2}){\rm {Tr}}(\Omega ^{4})+8{\rm {Tr}}(\Omega ^{6})}{3072\pi ^{6}}}+\cdots \right]\in H_{dR}^{*}(M),}

ここで、は曲率形式、 はド・ラームコホモロジー群を表す。[引用が必要] Ω {\displaystyle \Omega } H d R ∗ ( M ) {\displaystyle H_{dR}^{*}(M)}

多様体のポンチャギン類

滑らかな多様体のポントリャーギン類は、その接束のポントリャーギン類として定義されます。

ノビコフは1966年に、2つのコンパクトで有向性のある滑らかな多様体が同相である場合、それらの有理ポンチャギン類は同一であることを証明した。次元が5以上の場合、与えられたホモトピー型とポンチャギン類を持つ滑らかな多様体は最大で有限個しか存在しない。 [1] p k ( M , Q ) {\displaystyle p_{k}(M,\mathbf {Q} )} H 4 k ( M , Q ) {\displaystyle H^{4k}(M,\mathbf {Q} )}

チャーン類からのポンチャギン類

複素ベクトル束のポンチャギン類は、そのチャーン類によって完全に決定される。これは、 という事実、ホイットニー和公式、そしてその複素共役束のチャーン類の性質から導かれる。つまり、であり、 である。そして、この関係から、 π : E → X {\displaystyle \pi :E\to X} E ⊗ R C ≅ E ⊕ E ¯ {\displaystyle E\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \cong E\oplus {\bar {E}}} c i ( E ¯ ) = ( − 1 ) i c i ( E ) {\displaystyle c_{i}({\bar {E}})=(-1)^{i}c_{i}(E)} c ( E ⊕ E ¯ ) = c ( E ) c ( E ¯ ) {\displaystyle c(E\oplus {\bar {E}})=c(E)c({\bar {E}})}

1 − p 1 ( E ) + p 2 ( E ) − ⋯ + ( − 1 ) n p n ( E ) = ( 1 + c 1 ( E ) + ⋯ + c n ( E ) ) ⋅ ( 1 − c 1 ( E ) + c 2 ( E ) − ⋯ + ( − 1 ) n c n ( E ) ) {\displaystyle 1-p_{1}(E)+p_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}p_{n}(E)=(1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E))\cdot (1-c_{1}(E)+c_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}c_{n}(E))} [2]

例えば、この式を適用して、曲線と曲面上の複素ベクトル束のポンチャギン類を求めることができます。曲線の場合、

( 1 − c 1 ( E ) ) ( 1 + c 1 ( E ) ) = 1 + c 1 ( E ) 2 {\displaystyle (1-c_{1}(E))(1+c_{1}(E))=1+c_{1}(E)^{2}}

したがって、複素ベクトル束のポンチャギン類はすべて自明である。一般に、積の最初の2項を見ると、

( 1 − c 1 ( E ) + c 2 ( E ) + … + ( − 1 ) n c n ( E ) ) ( 1 + c 1 ( E ) + c 2 ( E ) + … + c n ( E ) ) = 1 − c 1 ( E ) 2 + 2 c 2 ( E ) + … {\displaystyle (1-c_{1}(E)+c_{2}(E)+\ldots +(-1)^{n}c_{n}(E))(1+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\ldots +c_{n}(E))=1-c_{1}(E)^{2}+2c_{2}(E)+\ldots }

となることがわかります。特に線束の場合、次元上の理由により、これはさらに単純化されます。 p 1 ( E ) = c 1 ( E ) 2 − 2 c 2 ( E ) {\displaystyle p_{1}(E)=c_{1}(E)^{2}-2c_{2}(E)} c 2 ( L ) = 0 {\displaystyle c_{2}(L)=0}

四次K3曲面上のポンチャギン類

消失軌跡が滑らかな部分多様体である4次多項式はK3曲面であることを思い出してください。正規列を用いると C P 3 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}

0 → T X → T C P 3 | X → O ( 4 ) → 0 {\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {CP} ^{3}}|_{X}\to {\mathcal {O}}(4)\to 0}

見つけることができます

c ( T X ) = c ( T C P 3 | X ) c ( O ( 4 ) ) = ( 1 + [ H ] ) 4 ( 1 + 4 [ H ] ) = ( 1 + 4 [ H ] + 6 [ H ] 2 ) ⋅ ( 1 − 4 [ H ] + 16 [ H ] 2 ) = 1 + 6 [ H ] 2 {\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {c({\mathcal {T}}_{\mathbb {CP} ^{3}}|_{X})}{c({\mathcal {O}}(4))}}\\&={\frac {(1+[H])^{4}}{(1+4[H])}}\\&=(1+4[H]+6[H]^{2})\cdot (1-4[H]+16[H]^{2})\\&=1+6[H]^{2}\end{aligned}}}

とを示しています。は4点に対応するので、ベズーの補題により、2番目のチャーン数は となります。この場合、 c 1 ( X ) = 0 {\displaystyle c_{1}(X)=0} c 2 ( X ) = 6 [ H ] 2 {\displaystyle c_{2}(X)=6[H]^{2}} [ H ] 2 {\displaystyle [H]^{2}} 24 {\displaystyle 24} p 1 ( X ) = − 2 c 2 ( X ) {\displaystyle p_{1}(X)=-2c_{2}(X)}

p 1 ( X ) = − 48 {\displaystyle p_{1}(X)=-48} この数は球面の3番目の安定ホモトピー群を計算するのに使えます。[3]

ポンチャギン数

ポンチャギン数は、滑らかな多様体における特定の位相不変量です。多様体の各ポンチャギン数は、その次元が4で割り切れない場合に0になります。ポンチャギン数は、多様体のポンチャギン類を用いて次のように 定義されます M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} M {\displaystyle M}

滑らかな次元多様体と自然数の集合 が与えられると 4 n {\displaystyle 4n} M {\displaystyle M}

k 1 , k 2 , … , k m {\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}} となる。 k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n {\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}

ポンチャギン数は次のように定義される。 P k 1 , k 2 , … , k m {\displaystyle P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}}

P k 1 , k 2 , … , k m = p k 1 ⌣ p k 2 ⌣ ⋯ ⌣ p k m ( [ M ] ) {\displaystyle P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}=p_{k_{1}}\smile p_{k_{2}}\smile \cdots \smile p_{k_{m}}([M])}

ここで、 は- 番目のポンチャギン類と の基本類を表します。 p k {\displaystyle p_{k}} k {\displaystyle k} [ M ] {\displaystyle [M]} M {\displaystyle M}

性質

  1. ポンチャギン数は有向コボルディズム不変であり、スティーフェル・ホイットニー数とともに、有向多様体の有向コボルディズム類を決定します
  2. 閉じたリーマン多様体（およびポンチャギン類）のポンチャギン数は、リーマン多様体の曲率テンソルから特定の多項式の積分として計算できます。
  3. 符号や種数などの不変量はポンチャギン数で表現できます。ポンチャギン数の線形結合が符号を与えることを記述する定理については、ヒルツェブルッフの符号定理を参照してください。 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}}

一般化

四元数構造 を持つベクトル束に対する四元数ポンチャギン類も存在します

参照

参考文献

  1. ^ ノヴィコフ、SP (1964)。 「ホモトピカルに等価な滑らかな多様体。I」。イズベスティア・アカデミ・ナウクSSSR。セリヤ・マテマチェスカヤ。28 : 365–474 . MR  0162246。
  2. ^ マクリーン、マーク。「ポンチャギンの階級」（PDF） 。 2016年11月8日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。[自費出版ソース? ]
  3. ^ 「球面とコボルディズムのホモトピー群の計算の概説」（PDF） 16ページ。2016年1月22日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。[自費出版ソース? ]
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