位置の4次、5次、6次導関数

位置の時間微分

物理学では、位置の4次、5次、6次微分は、位置ベクトルの時間に関する微分として定義されます。1次、2次、3次微分はそれぞれ速度、加速度、ジャークです。高次の微分は最初の3つほど一般的ではありません。^{[1] [2]そのため、それらの名称は標準化されていませんが、}最小スナップ軌道の概念はロボット工学で使用されています。^[3]

4番目の導関数はスナップと呼ばれ、5番目と6番目の導関数は「時々冗談めかして」クラックルとポップと呼ばれることがあります[ ^4]。これはライスクリスピーの同名のマスコットにちなんで名付けられました^[5] 。4番目の導関数はジョウンスとも呼ばれます。^[4]

応用

スナップとジャークを最小限に抑えることは、振動を低減し、よりスムーズな動作遷移を保証するため、機械工学や土木工学において有用です。土木工学では、鉄道の線路や道路は、特に曲率半径が変化するカーブ周辺でスナップを制限するように設計されています。スナップが一定の場合、ジャークは直線的に変化し、ラジアル加速度が徐々に増加します。スナップがゼロの場合、加速度は直線的に変化します。これらのプロファイルは、多くの場合、数学的なクロソイド関数を用いて実現されます。同じ原理がジェットコースターの設計者にも応用されており、ループやヘリックスにおけるスムーズな遷移を利用して乗り心地を向上させています。^[1]

機械工学において、スナップとジャークの制御は、自動車設計においてカムフォロワーがカムシャフトから外れることを防ぐ上で重要であり、また製造業においては切削工具の急激な加速度変化が早期摩耗や表面仕上げの不均一性を引き起こす可能性があるため重要です。^{[1]最小スナップ軌道と最小ジャーク軌道は、}ロボット工学における軌道生成にも用いられます。クアッドローターの最小スナップ軌道は制御労力を軽減することができ、^{[6]ロボットマニピュレーターの最小ジャーク軌道は予測可能な動作を生成することで制御性能を向上させ、}人間とロボットのインタラクションを容易にします。

四階微分（スナップ/ジャウンス）

スナップ^[6]またはジャウンス^[2]は、位置ベクトルの時間に対する4次導関数、または時間に対するジャークの変化率です。 ^{[4]同様に、これは}加速度の2次導関数または速度の3次導関数であり、次のいずれかの式で定義されます。

$${\displaystyle \mathbf {s} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {j} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {a} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{3}}}={\frac {\mathrm {d} ^{4}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{4}}}.}$$ 定数スナップには次の式が使用されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} &=\mathbf {j} _{0}+\mathbf {s} t,\\\mathbf {a} &=\mathbf {a} _{0}+\mathbf {j} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {s} t^{2},\\\mathbf {v} &=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {j} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {s} t^{3},\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {j} _{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}\mathbf {s} t^{4},\end{aligned}}}$$

ここで

• ${\displaystyle \mathbf {s} }$ は一定のスナップ、
• ${\displaystyle \mathbf {j} _{0}}$ は最初のジャーク、
• ${\displaystyle \mathbf {j} }$ は最後のジャーク、
• ${\displaystyle \mathbf {a} _{0}}$ 初期加速度は、
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 最終加速度は
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ 初速度は
• ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 最終速度は
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ 初期位置は、
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 最終位置は、
• ${\displaystyle t}$ 初期状態と最終状態の間の時間です。

この表記法（Visser ^[4]が使用）は、一般的に同様に表記される変位ベクトルと混同しないでください。 ${\displaystyle \mathbf {s} }$

スナップの次元は、距離/時間の4乗 [LT ⁻⁴ ] です。対応するSI単位系はメートル毎秒の4乗、m/s ⁴、m⋅s ⁻⁴です。

五次微分

位置ベクトルの時間に関する五次微分は、クラックルと呼ばれることもあります。^[5]これは、スナップの時間に対する変化率です。^{[5] [4]}クラックルは、次のいずれかの等価な式で定義されます $${\displaystyle \mathbf {c} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {s} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {j} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {a} }{\mathrm {d} t^{3}}}={\frac {\mathrm {d} ^{4}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{4}}}={\frac {\mathrm {d} ^{5}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{5}}}}$$

一定のクラックルには次の式が使用されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {s} &=\mathbf {s} _{0}+\mathbf {c} t\\[1ex]\mathbf {j} &=\mathbf {j} _{0}+\mathbf {s} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {c} t^{2}\\[1ex]\mathbf {a} &=\mathbf {a} _{0}+\mathbf {j} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {s} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {c} t^{3}\\[1ex]\mathbf {v} &=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {j} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {s} _{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}\mathbf {c} t^{4}\\[1ex]\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {j} _{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}\mathbf {s} _{0}t^{4}+{\tfrac {1}{120}}\mathbf {c} t^{5}\end{aligned}}}$$

ここで

• ${\displaystyle \mathbf {c} }$  ：一定のパチパチ音
• ${\displaystyle \mathbf {s} _{0}}$  ：最初のパチパチ音
• ${\displaystyle \mathbf {s} }$  ：最後のパチパチ音
• ${\displaystyle \mathbf {j} _{0}}$  ：最初のジャーク音
• ${\displaystyle \mathbf {j} }$  ：最終ジャーク
• ${\displaystyle \mathbf {a} _{0}}$  ：初期加速
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$  ：最終加速
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$  ：初速度
• ${\displaystyle \mathbf {v} }$  ：最終速度
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$  ：初期位置
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$  ：最終位置
• ${\displaystyle t}$  : 初期状態と最終状態の間の時間。

クラックルの寸法は[LT ⁻⁵ ]である。対応するSI単位はm/s ⁵である。

六階微分

位置ベクトルの時間に関する六階微分は、ポップと呼ばれることもあります。^[5]これは、パチパチという音の時間に対する変化率です。^{[5] [4]}ポップは、以下の同等の式のいずれかで定義されます

$${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {c} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {s} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {j} }{\mathrm {d} t^{3}}}={\frac {\mathrm {d} ^{4}\mathbf {a} }{\mathrm {d} t^{4}}}={\frac {\mathrm {d} ^{5}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{5}}}={\frac {\mathrm {d} ^{6}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{6}}}}$$

定数ポップには次の式が使用されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {c} &=\mathbf {c} _{0}+\mathbf {p} t\\\mathbf {s} &=\mathbf {s} _{0}+\mathbf {c} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {p} t^{2}\\\mathbf {j} &=\mathbf {j} _{0}+\mathbf {s} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {c} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {p} t^{3}\\\mathbf {a} &=\mathbf {a} _{0}+\mathbf {j} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {s} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {c} _{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}\mathbf {p} t^{4}\\\mathbf {v} &=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {j} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {s} _{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}\mathbf {c} _{0}t^{4}+{\tfrac {1}{120}}\mathbf {p} t^{5}\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} _{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}\mathbf {j} _{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}\mathbf {s} _{0}t^{4}+{\tfrac {1}{120}}\mathbf {c} _{0}t^{5}+{\tfrac {1}{720}}\mathbf {p} t^{6}\end{aligned}}}$$

ここで

• ${\displaystyle \mathbf {p} }$  ：一定のポップ音
• ${\displaystyle \mathbf {c} _{0}}$  ：初期のパチパチ音
• ${\displaystyle \mathbf {c} }$  ：最後のパチパチ音
• ${\displaystyle \mathbf {s} _{0}}$  ：最初のパチパチ音
• ${\displaystyle \mathbf {s} }$  ：最後のパチパチ音
• ${\displaystyle \mathbf {j} _{0}}$  ：最初のジャーク音
• ${\displaystyle \mathbf {j} }$  ：最終ジャーク
• ${\displaystyle \mathbf {a} _{0}}$  ：初期加速
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$  ：最終加速
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$  ：初速度
• ${\displaystyle \mathbf {v} }$  ：最終速度
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$  ：初期位置
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$  ：最終位置
• ${\displaystyle t}$  : 初期状態と最終状態の間の時間。

ポップ音の大きさは[LT ⁻⁶ ]です。対応するSI単位はm/s ⁶です

参考文献

1. Eager, David; Pendrill, Ann-Marie; Reistad, Nina (2016-10-13). 「速度と加速度を超えて：ジャーク、スナップ、そして高次微分」. European Journal of Physics . 37 (6) 065008. Bibcode :2016EJPh...37f5008E. doi : 10.1088/0143-0807/37/6/065008 . hdl : 10453/56556 . ISSN  0143-0807. S2CID  19486813.
2. Gragert, Stephanie; Gibbs, Philip (1998年11月). 「位置の3次導関数を表す用語は何ですか？」Usenet物理学と相対性理論に関するFAQ .カリフォルニア大学リバーサイド校数学科. 2015年10月24日閲覧。
3. 「MATLABドキュメント: minsnappolytraj」。
4. Visser, Matt (2004年3月31日). 「ジャーク、スナップ、そして宇宙論的状態方程式」.古典重力と量子重力. 21 (11): 2603– 2616. arXiv : gr-qc/0309109 . Bibcode :2004CQGra..21.2603V. doi :10.1088/0264-9381/21/11/006. ISSN  0264-9381. S2CID  250859930.スナップ（4次微分）は、ジャウンス（jounce）と呼ばれることもあります。5次と6次微分は、やや冗談めかしてクラックル（crackle）やポップ（pop）と呼ばれることもあります。
5. Thompson, Peter M. (2011年5月5日). 「スナップ、クラックル、ポップ」(PDF) . AIAA Info . ホーソーン、カリフォルニア州: システムテクノロジー. p. 1. 2018年6月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2017年3月3日閲覧。最初の3つの導関数の一般的な名称は、速度、加速度、ジャークです。次の3つの導関数のあまり一般的ではない名称は、スナップ、クラックル、ポップです。
6. Mellinger, Daniel; Kumar, Vijay (2011).クアッドローターの最小スナップ軌道生成と制御. 2011 IEEE 国際ロボティクス・オートメーション会議. 上海, 中国: IEEE. pp.  2520– 2525. doi :10.1109/ICRA.2011.5980409. ISBN 978-1-61284-386-5 S2CID  18169351

外部リンク

• ウィクショナリーの「jounce」の辞書定義