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代数学において、可換環R上の加群Mの自由表現は、 R加群の正確な列である。

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}R\ {\overset {f}{\to }}\ \bigoplus _{j\in J}R\ {\overset {g}{\to }}\ M\to 0.}$

標準基底のgによる像はM を生成することに注意されたい。特に、Jが有限ならば、Mは有限生成加群である。IとJが有限集合ならば、その表示は有限表示と呼ばれる。加群が有限表示を許容する場合、その加群は有限に表示されていると呼ばれる。

fは自由加群間の加群準同型なので、 RとMの要素を余核とする (無限)行列として視覚化できます。

自由表示は常に存在する。任意の加群は自由加群の商である：であるが、gの核もまた自由加群の商である：である。 fとgの組み合わせはMの自由表示である。さて、このようにして核を「解決」し続けることは明らかであり、その結果は自由解決と呼ばれる。したがって、自由表示は自由解決の初期部分である。 ${\displaystyle F\ {\overset {g}{\to }}\ M\to 0}$ ${\displaystyle F'\ {\overset {f}{\to }}\ \ker g\to 0}$

プレゼンテーションは計算に役立ちます。例えば、テンソル化は右完全であるため、上記のプレゼンテーションをモジュールNでテンソル化すると、次のようになります。

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}N\ {\overset {f\otimes 1}{\to }}\ \bigoplus _{j\in J}N\to M\otimes _{R}N\to 0.}$

これはが の余核であることを示しています。N も環（したがって R 代数 ）である場合、これはN加群の表現です。つまり、表現は基底拡大によって拡張されます。 ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle f\otimes 1}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

左完全関数の場合、例えば

命題— F , Gを可換環R上の加群の圏からアーベル群への左完全反変関数とし、θをFからGへの自然変換とする。が任意の自然数nに対して同型ならば、 は任意の有限提示加群Mに対して同型である。 ${\displaystyle \theta :F(R^{\oplus n})\to G(R^{\oplus n})}$ ${\displaystyle \theta :F(M)\to G(M)}$

証明：有限表現にFを適用すると、 ${\displaystyle R^{\oplus n}\to R^{\oplus m}\to M\to 0}$

${\displaystyle 0\to F(M)\to F(R^{\oplus m})\to F(R^{\oplus n}).}$

これは簡単に次のように拡張できる。

${\displaystyle 0\to 0\to F(M)\to F(R^{\oplus m})\to F(R^{\oplus n}).}$

についても同じことが成り立ちます。次に、5番目の補題を適用します。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \square }$

参照

• コヒーレントモジュール
• 有限関連モジュール
• 理想的なフィッティング
• 準コヒーレント層

参考文献

• アイゼンバッド、デイヴィッド『代数幾何学を視野に入れた可換代数』、大学院数学テキスト、150、シュプリンガー・フェアラーク、1995年、ISBN 0-387-94268-8。