メッシュ生成
空間をセルに分割する
曲線領域の四辺形の有限要素メッシュ

メッシュ生成は、メッシュ、つまり連続した幾何学的空間を離散的な幾何学的および位相的なセルに分割する手法です。 [1] これらのセルは多くの場合、単体複合体を形成します。通常、セルは幾何学的入力領域を分割します。メッシュ セルは、より大きな領域の離散的な局所的近似として使用されます。メッシュは、領域の複雑さと必要なメッシュの種類に応じて、多くの場合GUIを介した人間の指示の下で、コンピュータ アルゴリズムによって作成されます。一般的な目標は、入力領域のジオメトリを正確に捉え、高品質 (形状がきれい) なセルを持ち、以降の計算が扱いにくくなるほどセルが多すぎないメッシュを作成することです。また、以降の計算に重要な領域ではメッシュが細かく (要素が小さく) なっている必要があります。

メッシュは、コンピュータ画面へのレンダリングや、有限要素解析や数値流体力学などの物理シミュレーションに使用されます。[2]メッシュは三角形などの単純なセルで構成されています。これは、例えば、有限要素計算（工学）やレイトレーシング（コンピュータグラフィックス）などの操作を三角形に対して実行する方法を知っているからです。しかし、道路橋のような複雑な空間や形状に対してこれらの操作を直接実行する方法はわかりません。各三角形に対して計算を実行し、三角形間の相互作用を計算することで、橋の強度をシミュレートしたり、コンピュータ画面に描画したりすることができます。

メッシュには、構造化メッシュと非構造化メッシュという大きな違いがあります。構造化メッシュでは、メッシュは配列のような規則的な格子であり、要素間の接続は暗黙的に示されます。非構造化メッシュでは、要素が不規則なパターンで互いに接続され、より複雑な領域を捉えることができます。このページでは主に非構造化メッシュについて説明します。メッシュは三角形分割の一種ですが、メッシュ化のプロセスは、入力に存在しない頂点を自由に追加できるという点で、点集合三角形分割とは異なります。製図用のCADモデルを「ファセット」（三角形分割）する場合も、同様に頂点を追加できますが、その目的はできるだけ少ない三角形を使って形状を正確に表現することであり、個々の三角形の形状は重要ではありません。テクスチャやリアルな照明条件をコンピュータグラフィックスでレンダリングする場合は、代わりにメッシュが使用されます。

多くのメッシュ生成ソフトウェアは、入力を定義するCADシステムと、出力を取得するシミュレーションソフトウェアと連携しています。入力形式は多岐にわたりますが、一般的な形式はソリッドモデリング、ジオメトリモデリング、NURBS、B-rep、STL 、または点群です。

用語

「メッシュ生成」「グリッド生成」「メッシング」「グリッディング」という用語は、しばしば同じ意味で使用されますが、厳密に言えば、後者2つはより広義であり、メッシュの改善、つまりメッシュ上で実行される数値計算の速度または精度を向上させることを目的としてメッシュを変更することを含みます。コンピュータグラフィックスレンダリングや数学では、メッシュはテッセレーションと呼ばれることもあります。

メッシュ面（セル、エンティティ）は、その次元とメッシュが使用されるコンテキストに応じて異なる名称を持ちます。有限要素法では、最高次元のメッシュエンティティは「要素」、1次元は「エッジ」、0次元は「ノード」と呼ばれます。要素が3次元の場合、2次元エンティティは「面」と呼ばれます。計算幾何学では、0次元点は頂点と呼ばれます。四面体はしばしば「tets」、三角形は「tris」、四辺形は「quad」、六面体（位相立方体）は「hexes」と略されます。

テクニック

曲面のCatmull-Clark分割
暗黙的な表面の三角形分割

多くのメッシュ作成技術は、ドローネ三角形分割の原理と、ルパートのアルゴリズムなどの頂点の追加規則に基づいて構築されています。際立った特徴は、空間全体の最初の粗いメッシュが形成され、次に頂点と三角形が追加されることです。対照的に、アドバイジング フロント アルゴリズムはドメイン境界から開始し、内部を徐々に埋めていく要素を追加します。ハイブリッド技術は両方を行います。アドバイジング フロント技術の特別なクラスは、流体の流れのための要素の薄い境界レイヤーを作成します。構造メッシュ生成では、メッシュ全体が正方形の規則的なグリッドなどの格子グラフです。ブロック構造メッシュ作成では、ドメインは大きなサブ領域に分割され、各サブ領域が構造メッシュになります。いくつかの直接的な方法は、ブロック構造メッシュから開始し、入力に適合するようにメッシュを移動します。「ポリキューブに基づく自動ヘックスメッシュ生成」 [3]を参照してください。別の直接的な方法は、構造化セルをドメイン境界で切断することです。「マーチングキューブに基づくスカルプト」を参照してください。[4]

メッシュの種類によっては、他のメッシュよりも作成がはるかに難しいものがあります。単体メッシュは、立方体メッシュよりも簡単な傾向があります。重要なカテゴリの 1 つは、固定された四角形表面メッシュに準拠する六角形メッシュの生成です。研究サブ領域では、正方台形などの特定の小さな構成のメッシュの存在と生成を研究しています。この問題の難しさのため、組み合わせ六角形メッシュの存在は、優れた幾何学的実現を生成する問題とは別に研究されてきました。六面体メッシュ生成の組み合わせ手法を参照してください。既知のアルゴリズムでは最低品質が保証された単体メッシュが生成されますが、立方体メッシュではそのような保証はまれであり、多くの一般的な実装では、いくつかの入力から反転した (裏返しの) 六角形が生成されます。

メッシュは、後続の計算がスーパーコンピュータ上で並列処理される場合でも、ワークステーション上ではシリアルに作成されることがよくあります。これは、ほとんどのメッシュジェネレータが対話型であるという制約と、メッシュ生成の実行時間がソルバーの実行時間に比べて通常は重要ではないという制約の両方によるものです。しかし、メッシュが大きすぎて単一のシリアルマシンのメモリに収まらない場合、またはシミュレーション中にメッシュを変更（適応）する必要がある場合は、メッシュ生成は並列に行われます。

代数的手法

ノズル形状
物理空間における計算メッシュ

代数的手法による格子生成は、数学的補間関数に基づいています。これは、任意の形状の領域をとる1次元、2次元、または3次元の既知の関数を用いて行われます。計算領域は長方形ではない場合もありますが、簡単のため、ここでは長方形とします。この手法の主な利点は、物理的な格子の形状と間隔を明示的に制御できることです。境界適合計算メッシュを生成するために使用できる最も単純な手順は、正規化変換です。[5]
ノズルの場合、記述関数を用いて、x方向に等間隔の増分を持つy方向の一様分割で格子を簡単に生成できます。x方向の増分は次のように記述されます 。 y ＝ × 2 {\displaystyle y=x^{2}}

ξ ＝ × {\displaystyle \xi =x\,}
η ＝ y y 最大 {\displaystyle \eta ={\frac {y}{y_{\max }}}\,}

ここで、はノズル壁のy座標を表します。( , )の値が与えられれば、( , )の値は簡単に復元できます。 y max {\displaystyle y_{\max }} ξ {\displaystyle \xi } η {\displaystyle \eta } x {\displaystyle x} y {\displaystyle y}

微分方程式法

代数的手法と同様に、微分方程式法もグリッド生成に用いられます。偏微分方程式（PDE）を使用する利点は、グリッド生成方程式の解をメッシュ生成に利用できることです。グリッド構築は、偏微分方程式の3つのクラスすべてを用いて行うことができます。

楕円スキーム

楕円偏微分 方程式は一般に非常に滑らかな解を持ち、滑らかな等高線となる。その滑らかさを利点として、調和関数の最大原理の結果としてヤコビ行列が正であることが分かっているため、ラプラス方程式を好適に用いることができる。Crowley (1962)とWinslow (1966) [6]がポアソン方程式を用いてマッピングしながら物理領域を計算平面に変換する偏微分方程式に関する広範な研究を行った後、Thompsonら (1974) [7]は楕円偏微分方程式を用いてグリッドを生成するための広範な研究を行った。ポアソングリッドジェネレータでは、マッピングは物理領域の境界上に所望のグリッド点をマークすることによって達成され、内部の点分布は以下に示す方程式の解によって決定される。 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)}

ξ x x + ξ y y = P ( ξ , η ) {\displaystyle \xi _{xx}+\xi _{yy}=P(\xi ,\eta )}
η x x + η y y = Q ( ξ , η ) {\displaystyle \eta _{xx}+\eta _{yy}=Q(\xi ,\eta )}

ここで、は計算領域における座標であり、PとQはD内の点間隔を担う。上記の方程式を計算空間で変換すると、次の形式の 2つの楕円偏微分方程式が得られる。 ( ξ , η ) {\displaystyle (\xi ,\eta )}

α x ξ ξ − 2 β x ξ η + γ x η η = − I 2 ( P x ξ + Q x η ) {\displaystyle \alpha x_{\xi \xi }-2\beta x_{\xi \eta }+\gamma x_{\eta \eta }=-I^{2}(Px_{\xi }+Qx_{\eta })}
α y ξ ξ − 2 β y ξ η + γ y η η = − I 2 ( P y ξ + Q y η ) {\displaystyle \alpha y_{\xi \xi }-2\beta y_{\xi \eta }+\gamma y_{\eta \eta }=-I^{2}(Py_{\xi }+Qy_{\eta })}

どこ

α = x η 2 + y η 2 β = x η x ξ + y ξ y η γ = x ξ 2 + y ξ 2 I = δ ( x , y ) δ ( ξ , η ) = y η x ξ − y ξ x η {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=x_{\eta }^{2}+y_{\eta }^{2}\\\beta &=x_{\eta }x_{\xi }+y_{\xi }y_{\eta }\\\gamma &=x_{\xi }^{2}+y_{\xi }^{2}\\I&={\frac {\delta (x,y)}{\delta (\xi ,\eta )}}=y_{\eta }x_{\xi }-y_{\xi }x_{\eta }\end{aligned}}}

これらの連立方程式は、計算平面上において等間隔の格子上で解かれ、物理空間における各点の座標が得られます。楕円型偏微分方程式を使用する利点は、それらにリンクされた解が滑らかであり、結果として得られる格子も滑らかになることです。しかし、PとQの指定が困難になり、これが欠点の一つとなります。さらに、各時間ステップごとに格子を計算する必要があり、計算時間が長くなります。[8] ( x , y ) {\displaystyle (x,y)}

双曲型スキーム

このグリッド生成法は、物理問題を記述する偏微分方程式のタイプと一致する開領域を持つ問題に一般的に適用できる。双曲型偏微分方程式の利点は、グリッドを生成するために支配方程式を一度解くだけでよいことである。初期点分布と近似境界条件が必要な入力となり、解は外側に展開される。StegerとSorenson (1980) [9]は、メッシュ生成に双曲型偏微分方程式を用いる体積直交法を提案した。2次元問題の場合、計算空間を とすると、ヤコビ行列の逆行列は と与えられる。 Δ ξ = Δ η = 1 {\displaystyle \Delta \xi =\Delta \eta =1}

x ξ y η − x η y ξ = I {\displaystyle x_{\xi }y_{\eta }-x_{\eta }y_{\xi }=I}

ここで、 は計算空間における与えられた領域に対する物理空間における面積を表す。2番目の式は、物理空間の境界におけるグリッド線の直交性を結び付けており、次のように表される。 I {\displaystyle I}

d ξ = 0 = ξ x d x + ξ y d y . {\displaystyle d\xi =0=\xi _{x}\,dx+\xi _{y}\,dy.}

面と面が垂直であるための方程式は次のようになる。 ξ {\displaystyle \xi } η {\displaystyle \eta }

x ξ x η + y ξ y η = 0. {\displaystyle x_{\xi }x_{\eta }+y_{\xi }y_{\eta }=0.}

このような方程式系に伴う問題は、 の指定にあります。 を適切に選択しないと、衝撃が生じ、メッシュ全体にわたってこの情報が不連続に伝播する可能性があります。一方、直交メッシュは非常に高速に生成されるため、この手法の利点として現れます。 I {\displaystyle I} I {\displaystyle I}

放物線状のスキーム

解法は双曲型偏微分方程式の解法に似ており、解を初期データ面から離して進め、最終的に境界条件を満たすようにする。放物型格子生成の基本的な考え方は、中村（1982）とエドワーズ（1985）によって開発された。この考え方では、ラプラス方程式またはポアソン方程式のいずれかを用い、特に楕円挙動を制御する部分を取り扱う。初期値は面上の点の座標として与えられ、解はエッジに沿った境界条件を満たすオブジェクトの外面へと進む。 η = 0 {\displaystyle \eta =0} ξ {\displaystyle \xi }

格子間隔の制御はこれまで提案されていませんでした。NakamuraとEdwardsは、非均一な格子間隔を用いて格子制御を実現しました。放物線格子生成は、双曲線格子生成に比べて、衝撃や不連続性が生じず、格子が比較的滑らかになるという利点があります。しかしながら、初期値の指定や格子点を制御するためのステップサイズの選択には時間がかかりますが、これらの手法は、慣れと経験を積めば効果的になる可能性があります。

変分法

この手法には、格子の滑らかさ、直交性、体積変化を最小化する手法が含まれています。この手法は、格子生成問題を解決するための数学的な基盤となります。この手法では、各反復処理後に新しいメッシュによって代替格子が生成され、後退差分法を用いて格子速度が計算されます。この手法は強力なものですが、格子に関連する方程式を解くのに労力を要するという欠点があります。CPU時間を短縮するために積分を最小化する更なる研究が必要です。

非構造化グリッド生成

この方式の主な重要性は、グリッドを自動生成する手法を提供していることです。この手法では、グリッドは要素の面に応じてブロックに分割され、適切な接続性を確保するための構造が提供されます。データフローを解釈するためにソルバーが使用されます。非構造化方式が採用される場合、主な関心事はユーザーの要求を満たすことであり、このタスクを達成するためにグリッドジェネレータが使用されます。構造化方式では、情報はグリッド間ではなくセル間で保存されるため、より多くのメモリ空間が必要になります。セルの配置がランダムであるため、非構造化方式のソルバー効率は構造化方式に比べて低くなります。[10]

格子構築の際には、いくつか留意すべき点があります。高解像度の格子点は、構造格子と非構造格子の両方において問題を引き起こします。例えば、境界層の場合、構造格子では流れ方向に細長い格子が生成されます。一方、非構造格子では、誤差を避けるためにセルを可能な限り正三角形にする必要があるため、境界層ではより高いセル密度が必要となります。[11]

計算メッシュ内のセルとその近傍セルすべてを識別するために必要な情報を特定する必要があります。非構造グリッドでは、任意の点を任意の場所に配置できます。点挿入スキームを使用して点を個別に挿入し、セルの接続性を決定します。これは、点が挿入される際に点が識別されることを意味します。

ポイントが挿入されると、新たな接続を確立するためのロジックが決定されます。グリッドセルを識別するグリッドポイントを形成するデータが必要です。各セルが形成されると、番号が付けられ、ポイントがソートされます。さらに、隣接セルの情報も必要です。

適応グリッド

従来の手法を用いて偏微分方程式を解く際の問題は、解の詳細が明らかになる前にグリッドが構築され、物理領域に点が分布してしまうことである。そのため、グリッドは与えられた問題に対して最適なものとなる場合もあれば、そうでない場合もある。[12]

適応型法は、解の精度を向上させるために使用されます。適応型法は、メッシュ細分化を使用する場合は「h」法、グリッドポイントの数が固定で再配分されない場合は「r」法、有限要素法において解法の次数を増やす場合は「p」法と呼ばれます。等分布法を用いた多次元問題は、いくつかの方法で解決できます。最も理解しやすいのは、拡散を所望のセル体積の倍数として設定し、重み関数の等分布に基づく制御機能を備えたポアソン格子生成器です。等分布法は非構造問題にも適用できます。問題は、メッシュポイントの移動が非常に大きい場合、接続性が阻害されることです。

この適応法を用いることで、定常流と時間精度の高い流れ計算を解くことができます。格子は、定常流問題に適応するために、所定の反復回数後に細分化されます。解が収束すると、格子は変化への適応を停止します。時間精度の高い計算では、物理問題の偏微分方程式と格子の挙動を記述する 偏微分方程式を連成させる必要があります。

画像ベースのメッシュ

イメージベースメッシングとは、 3D画像データ（磁気共鳴画像（MRI）、コンピュータ断層撮影（CT） 、マイクロトモグラフィーなど）から、数値流体力学（CFD）および有限要素解析（FEA）用のコンピュータモデルを自動作成するプロセスです。現在、様々なメッシュ生成技術が利用可能ですが、これらは主にコンピュータ支援設計（CAD）からモデルを生成するために開発されたため、3D画像データからのメッシュ生成には困難が伴います。

メッシュ生成における機械学習

人工知能（AI）と機械学習（ML）の最近の進歩はメッシュ生成に大きな影響を与え、従来は労働集約的なプロセスを自動化し、計算シミュレーションの精度を向上させています。[13]ニューラルネットワークや強化学習などのAI駆動型技術は、最適なメッシュ構成を予測し、メッシュを適応的に改良し、有限要素解析（FEA）や数値流体力学（CFD）における手動介入を減らすことができます。[14] [15]

NVIDIA、Ansys、Siemensなどの企業は、AIベースのメッシュ生成ツールをシミュレーションソフトウェアに統合し、航空宇宙、自動車、生物医学工学のワークフローを加速しています。[16] [17]

細胞トポロジー

通常、セルは多角形または多面体であり、領域を分割するメッシュを形成します。 [18] 2次元要素の重要なクラスには、三角形（単体）と四辺形（位相的正方形）が含まれます。3次元では、最も一般的なセルは四面体（単体）と六面体（位相的立方体）です。 単体メッシュは任意の次元にすることができ、重要な例として三角形（2D）と四面体（3D）が含まれます。 立方体メッシュは全次元カテゴリであり、四面体（2D）と六面体（3D）が含まれます。3Dでは、4面ピラミッドと3面プリズムが、混合セルタイプのコンフォーマルメッシュに現れます。

セルの寸法

メッシュは、通常2次元または3次元の幾何学的空間に埋め込まれますが、時間次元を追加することで次元が1つ増加する場合もあります。[19]高次元メッシュは、ニッチなコンテキストで使用されます。[20] 1次元メッシュも有用です。重要なカテゴリの一つはサーフェスメッシュで、これは曲面を表現するために3次元に埋め込まれた2次元メッシュです。

二重性

デュアルグラフはメッシュ作成においていくつかの役割を果たします。ドロネー三角形分割の単体メッシュをデュアル化することで、多面体ボロノイ図メッシュを作成できます。面の配置を生成し、交差グラフをデュアル化することで、立方体メッシュを作成できます。「空間ツイスト連続体」を参照してください。プライマリメッシュとそのデュアルメッシュの両方が同じシミュレーションで使用される場合があります。「ホッジスター演算子」を参照してください。これは、フラックスと渦度、電気と磁気など、発散演算子と回転演算子（数学）を含む物理学から生じます。これらの演算子では、1つの変数がプライマリ面に配置され、その対応する変数がデュアル面に配置されます。

用途別メッシュタイプ

有限要素解析用に作成される3次元メッシュは、四面体、ピラミッド、プリズム、または六面体で構成されている必要があります。[21]有限体積法で使用されるメッシュは、任意の多面体で構成できます。有限差分法で使用されるメッシュは、マルチブロック構造メッシュと呼ばれる六面体の区分構造配列で構成されます。4面ピラミッドは、六面体を四面体に等角接続するのに役立ちます。3面プリズムは、オブジェクトの奥深くの四面体メッシュに適合する境界層に使用されます。

サーフェスメッシュは、物体の表面が光を反射し（表面下散乱も含む）、完全な3Dメッシュを必要としないコンピュータグラフィックスで役立ちます。また、自動車製造における板金や建築における建物の外装など、薄い物体のモデリングにもサーフェスメッシュは用いられます。高次元（例えば17次元）立方体メッシュは、天体物理学や弦理論でよく使用されます。

数学的な定義とその変種

メッシュの正確な定義は何でしょうか?すべての状況に当てはまる、広く受け入れられている数学的記述はありません。ただし、明らかにメッシュである数学的対象もあります。単体複体は、単体で構成されたメッシュです。ほとんどの多面体 (立方体など) メッシュは共形です。つまり、単体複体の一般化であるCW 複体のセル構造を持ちます。セルのノードの任意のサブセットは必ずしもセルではないため、メッシュは単体である必要はありません。たとえば、四角形の 3 つのノードはセルを定義しません。ただし、2 つのセルはセルで交差します。たとえば、四角形の内部にはノードがありません。2 つのセルの交差は、複数のセルになる場合があります。たとえば、2 つの四角形が 2 つのエッジを共有する場合があります。1 つの交差が複数のセルになるのは、禁止されている場合があり、ほとんど望ましくありません。メッシュ改善手法 (ピロー化など) の目的は、これらの構成を削除することです。状況によっては、埋め込みが特定の品質基準を満たすトポロジカル メッシュとジオメトリ メッシュが区別されます。

CW 複体ではない重要なメッシュのバリエーションには、セルが厳密には面と面を合わせていないが、それでもセルが領域を分割する非等角メッシュがあります。この例としては、要素の面が隣接する要素の面で分割されることがあるoctreeがあります。このようなメッシュは、フラックスベースのシミュレーションに便利です。オーバーセット グリッドには、幾何学的に重なり合っていて領域を分割しない複数の等角メッシュが存在します。たとえば、Overflow、OVERset グリッド FLOW ソルバーを参照してください。いわゆるメッシュレス法またはメッシュフリー法では、多くの場合、領域のメッシュのような離散化が使用され、重なり合うサポートのある基底関数があります。各シミュレーション自由度ポイントの近くにローカル メッシュが作成される場合があり、これらのメッシュは重なり合って互いに非等角になることがあります。

暗黙的な三角形分割はデルタ複素数に基づいています。つまり、各三角形の辺の長さと、面の辺間の接着マップです。(展開してください)

高階要素

多くのメッシュは線形要素を使用します。線形要素では、抽象要素から実現要素へのマッピングは線形であり、メッシュのエッジは直線セグメントです。高次多項式マッピング、特に2次多項式マッピングが一般的です。高次要素の主な目的は、領域境界をより正確に表現することですが、メッシュ内部でも精度が向上します。立方体メッシュが使用される理由の一つは、線形立方体要素が2次単体要素と同様の数値的利点を持つ点です。アイソジオメトリック解析シミュレーション手法では、領域境界を含むメッシュセルは、線形近似または多項式近似ではなく、CAD表現を直接使用します。

メッシュの改善

メッシュの改良には、メッシュの離散的な接続性、セルの連続的な幾何学的位置、またはその両方の変更が含まれます。離散的な変更では、単体要素に対してエッジの交換とノードの挿入/削除が行われます。立方体 (四角形/六角形) メッシュに対しても同じ種類の操作が行われますが、実行可能な操作は少なく、ローカルな変更がグローバルな結果をもたらします。たとえば、六面体メッシュの場合、2 つのノードをマージすると六角形ではないセルが作成されますが、四角形の対角線上のノードがマージされ、これが面で接続された六角形の列全体の縮小に伝播されると、残りのすべてのセルは六角形のままになります。アダプティブ メッシュ リファインメントでは、計算される関数の勾配が大きい領域で要素が分割されます (h-リファインメント)。また、メッシュは粗くされ、効率化のために要素が削除されます。マルチグリッド法は、メッシュを実際に変更することなく、数値解析を高速化するためにリファインメントと粗くする処理に似た処理を行います。

連続的な変化の場合、ノードを移動するか、要素の多項式次数を変更することで高次元面を移動します。品質向上のためにノードを移動することを「スムージング」または「r-リファインメント」と呼び、要素次数を増やすことを「p-リファインメント」と呼びます。ノードは、物体の形状が時間とともに変化するシミュレーションでも移動されます。これにより、要素の形状が劣化します。物体が十分に変形した場合、物体全体が再メッシュされ、現在の解が古いメッシュから新しいメッシュにマッピングされます。

研究コミュニティ

実践者

この分野は非常に学際的であり、数学、コンピュータサイエンス、エンジニアリングの貢献が見られます。メッシュの研究開発は、計算幾何学と同様に離散数学と連続数学および計算に等しく重点が置かれていることで特徴付けられますが、グラフ理論(離散) と数値解析(連続)とは対照的です。メッシュ生成は意外と難しいものです。人間には、特定のオブジェクトのメッシュを作成する方法がわかりますが、任意の入力に対して事前に適切な決定を下すようにコンピュータをプログラムすることは困難です。自然界と人工物には、無限に多様なジオメトリが存在します。多くのメッシュ生成研究者は、メッシュの最初のユーザーでした。メッシュ生成は、メッシュを作成するための人間の時間が、メッシュが完成してから計算をセットアップして解決するための時間をはるかに上回っているため、幅広い注目、サポート、資金提供を受け続けています。これは、数値シミュレーションとコンピュータ グラフィックスが発明されて以来、常に存在してきた状況です。コンピュータ ハードウェアと単純な方程式を解くソフトウェアが改良されるにつれて、人々はより高い忠実度、科学的洞察、芸術的表現を求めて、より大規模で複雑な幾何学モデルに惹かれるようになったからです。

ジャーナル

メッシングに関する研究は、幅広いジャーナルに掲載されています。これは、研究の進歩に不可欠な学際的な性質、そしてメッシュを利用するアプリケーションの多様性に合致しています。毎年、約150件のメッシング関連論文が20誌のジャーナルに掲載されていますが、1誌に掲載される論文数は多くても20件です。メッシングを主要テーマとするジャーナルはありません。年間10件以上のメッシング関連論文を掲載するジャーナルは太字で表示されています。

会議

(メッシングが主なテーマである会議は太字で表示されています。 )

  • 航空宇宙科学会議 AIAA (15 件のメッシング講演/論文)
  • カナダ計算幾何学会議 CCCG
  • CompIMAGE: 画像に表現された物体の計算モデリングに関する国際シンポジウム
  • 計算流体力学会議 AIAA
  • 計算流体力学会議 ECCOMAS
  • 計算科学と工学 CS&E
  • 数値格子生成に関する会議 ISGG
  • ユーログラフィックス年次会議（ユーログラフィックス）（コンピュータグラフィックスフォーラムの議事録）
  • 幾何学的および物理的モデリング SIAM
  • 等幾何学解析に関する国際会議 IGA
  • 国際計算幾何学シンポジウム SoCG
  • 数値幾何学、グリッド生成、科学計算 (NUMGRID) (計算科学と工学の講義ノートの議事録)
  • 国際メッシュラウンドテーブル、SIAM IMRワークショップ。（査読付き議事録および特別ジャーナル号）
  • シェイプモデリングインターナショナルSMI
  • SIGGRAPH（ACM Transactions on Graphics の議事録）
  • ジオメトリ処理シンポジウム SGP (ユーログラフィックス) (コンピュータグラフィックスフォーラムの議事録)
  • ソリッドモデリングおよび物理モデリングに関するシンポジウム SPM、ソリッドモデリング協会
  • 世界工学会議

ワークショップ

メッシングが主なトピックであるワークショップは太字で表示されています。

  • 幾何学：理論と応用に関する会議 CGTA
  • 計算幾何学に関するヨーロッパワークショップ EuroCG
  • 計算幾何学に関する秋季ワークショップ
  • 流体の有限要素法 FEF
  • MeshTrendsシンポジウム（WCCMまたはUSNCCMで隔年開催）
  • 数学と工学における多面体要素法
  • テトラヘドロンワークショップ
  • 適応モデリングとシミュレーションに関する国際会議、 ADMOSは2年ごとに開催され、メッシュ適応性と誤差推定が2つの主要なテーマとして取り上げられています。

参照

参考文献

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  • 有限元素周期表
  • メッシュ生成に関する文献
  • 会議、ワークショップ、サマースクール
メッシュジェネレータ

多くの市販製品の説明では、シミュレーションを可能にするメッシュ技術よりも、シミュレーションそのものに重点が置かれています。

  • メッシュジェネレーターのリスト（外部）:
    • 無料/オープンソースのメッシュジェネレータ
    • パブリックドメインおよび商用メッシュジェネレータ
  • ANSAプリプロセッサ
  • アンシス
  • CD-adapcoとSiemens DISW
  • コメットソリューションズ
  • CGAL計算幾何学アルゴリズムライブラリ
    • メッシュ生成
      • 2D適合三角形分割とメッシュ
      • 3Dメッシュ生成
      • 3D周期メッシュ生成
  • キュビット
  • エノヴァ
  • Gmsh
  • ヘクストレムメッシュ
  • メッシュラボ
  • MSCソフトウェア
  • Omega_h Tri/Tet 適応性
  • Open FOAM メッシュ生成と変換
  • Salomeメッシュモジュール
  • テトゲン
  • テットワイルド
  • 三角形メッシュ生成とドロネー三角形分割
マルチドメイン分割メッシュジェネレータ

これらのツールは、マルチマテリアル有限要素モデリングに必要な分割メッシュを生成します。

  • MDM（マルチドメインメッシュ）は、異種材料で構成された複合ドメインの非構造四面体および六面体メッシュを自動的かつ効率的に生成します。
  • QMDM（Quality Multi-Domain Meshing）は、複数のドメインに対して高品質で相互に一貫性のある三角形の表面メッシュを生成します。
  • QMDMNG (Quality Multi-Domain Meshing with No Gap) は、各メッシュが 2 次元マニホールドであり、隣接する 2 つのメッシュ間にギャップがない高品質のメッシュを生成します。
  • SOFA_mesh_partitioning_tools は、CGAL に基づいて、マルチマテリアル FEM 用の分割された四面体メッシュを生成します。
記事
  • もう一つのファインメッシュ、MeshTrendsブログ、Pointwise
  • Web上でのメッシュ生成とグリッド生成
  • LinkedIn のメッシュ生成グループ
研究グループと人々
  • Google Scholarのメッシュ生成の人々
  • David Bommes、ベルン大学コンピュータグラフィックスグループ
  • David Eppstein の Geometry in Action、メッシュ生成
  • ジョナサン・シューチャックの『グラフィックス、エンジニアリング、モデリングにおけるメッシュ作成と三角測量』
  • スコット・A・ミッチェル
  • ロバート・シュナイダース
モデルとメッシュ

メッシュ アルゴリズムとメッシュを比較するための便利なモデル (入力) とメッシュ (出力)。

  • HexaLab には、研究論文に掲載されたもの、再構築されたもの、または元の論文から作成されたモデルとメッシュがあります。
  • プリンストンシェイプベンチマークは2021年7月3日にWayback Machineにアーカイブされています
  • 形状検索コンテストSHRECでは毎年異なるモデルを用意しています。
    • 非剛体3Dウォータータイトメッシュ形状検索コンテスト 2011
  • Thingiverse の Thingi10k メッシュモデル
CADモデル

ドメインジオメトリを表現するためにメッシュ生成ソフトウェアにリンクされたモデリング エンジン。

  • 空間によるACIS
  • カスケードを開く
メッシュファイル形式

メッシュを記述するための一般的な (出力) ファイル形式。

  • ネットCDF
  • 創世記/出エジプト記
  • XDMF
  • VTK/VTU
  • メディット
  • MED/サロメ
  • Gmsh
  • ANSYSメッシュ
  • オフ
  • ウェーブフロント OBJ
  • プライ
  • STL
  • meshio は上記のすべての形式間で変換できます。
メッシュビジュアライザー
  • ブレンダー
  • メッシュビューア
  • パラビュー
チュートリアル
  • Cubitチュートリアル
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