利益モデル
Model used by cost accountants to determine profit

利益モデルは、ほとんどの原価計算担当者が暗黙的に用いる線形かつ決定論的な代数モデルです。利益は売上高から原価を差し引いた値であることから始まり、材料費、損失、複数製品、学習費、減価償却費といった原価要素をモデル化するための構造を提供します。スプレッドシートモデラーにとって、変更可能な概念基盤となります。これにより、価格、コスト、数量の変化が収益性に与える影響を検証するための決定論的シミュレーションや「what if」モデリングが可能になります。

基本モデル

π = p q − ( F n + w q ) {\displaystyle \pi =pq-(F_{n}+wq)\,}

どこ：

πは利益
pは販売価格
F nは固定費である
wは販売単位あたりの変動費である
qは販売数量

モデルの拡張については以下を参照してください。

背景

利益を代数モデルとして表現したいという正当性は、 1961年にマテッシッチによって示されています。

「一部のオペレーションズ・アナリストにとって、最適解を求めるための計算を伴わずに会計モデルを数学用語に翻訳するだけでは、かなり平凡な作業に思えるかもしれません。しかしながら、会計手法が産業界に受け入れられる限り、数学的定式化への単なる変更は、いくつかの理由から有益であると確信しています。(1) 電子データ処理を特定の会計問題に適用するための前提条件とみなすことができます。(2) 会計モデルの構造を明確にし、会計手法を新たな観点から明らかにすることで、これまで見過ごされてきた、あるいは注目されていなかった多くの側面を明らかにします。(3) 多くの会計手法を包括的かつより科学的に提示できるようになります。(4) 新しい分野の探求を容易にし、それによって会計の進歩を加速させます。(5) より洗練された手法につながり、会計と経営科学の他の分野との緊密な連携の基盤を築くのに役立つ可能性があります。」[1]

原価計算における定義の多くは、曖昧な叙述形式であり、他の会計計算の定義と容易に関連付けることができません。例えば、異なる在庫評価方法を用いた在庫の固定費差異の比較は、混乱を招く可能性があります。別の例としては、学習曲線の修正と在庫レベルの変化を考慮した労働差異のモデル化が挙げられます。代数形式での基本的な利益モデルが存在しないことから、このようなモデルを自信を持って開発することは困難です。

スプレッドシートの発達は、財務モデリングの分散化をもたらしました。その結果、モデル構築者はモデル構築の訓練を受けていないことが多くなりました。専門的なモデルを構築する前に、分析のための数理モデルを開発することが賢明であると一般的に考えられています。利益モデルは、一般的な枠組みと、そのような事前利益モデルの構築方法の具体的な例を提供します。

利益モデルを代数形式で提示することは目新しいことではない。マテッシッチのモデル[1]は大規模ではあるものの、学習曲線や様々な株式評価法といった多くの原価計算手法を含んでいない。また、多くの会計士が理解しやすい、あるいは理解しやすい形式で提示されていたわけでもない。本稿では、利益を分析するより拡張されたモデルを提示するが、マテッシッチとは異なり、貸借対照表モデルまで拡張するものではない。利益の基本定義から出発し、より詳細化していくという形式は、会計士にとってより理解しやすいものとなるかもしれない。

ほとんどの原価計算の教科書[2]は、基本的な原価・数量・利益モデルを代数形式で説明しているものの、その後は「例示的」[3]アプローチに戻ってしまう。この「例示的」アプローチでは、管理会計の手順を説明するために例や物語が用いられる。この形式は人間とのコミュニケーションには便利だが、コンピュータモデルの構築に適した代数形式に変換するのは難しい場合がある。Mepham [4]は、代数的、あるいは演繹的なアプローチを原価計算に拡張し、より多くの手法をカバーした。彼は、オペレーションズ・リサーチの最適化モデルと統合できるモデルを開発した。利益モデルはMephamの研究から生まれたもので、それを拡張したものの、記述的で線形な形式にとどまっている。

モデル拡張

基本的な利益モデルは、売上高から費用を差し引いたものです。売上高は販売数量と販売価格の積で算出されます。費用は通常、固定費と変動費に分けられます。

使用方法:

  • 売上高 = pq = 価格 × 販売数量
  • 売上原価 = wq = 単位コスト × 販売数量
  • 管理、販売、エンジニア、人事など = Fn = 製造後の固定諸経費
  • 利益 = π

したがって、利益は次のように計算できます。

π = p q − ( F n + w q ) ( 1 ) {\displaystyle \pi =pq-(F_{n}+wq)\qquad \qquad (1)}

w （平均単位生産コスト）には固定費と変動費が含まれていることに注意してください。角括弧内は売上原価（wq）であり、製造原価（wx）ではありません。ここでxは売上原価です。

売上原価を示すには、期首および期末の完成品在庫を含め​​る必要があります。利益モデルは次のようになります。

  • 初期在庫 = g o w = 初期在庫数量 × 単位コスト
  • 在庫原価 = g 1 w = 期末在庫数量 × 単位原価
  • 生産コスト = wx = 単位生産コスト × 生産数量:
π = p q − [ F n + w x + g 0 w − g 1 w ] ( 2 ) {\displaystyle \pi =pq-[F_{n}+wx+g_{0}w-g_{1}w]\qquad \qquad (2)}

この形式で利益計算を提示すると、コストの一部をより慎重に定義する必要が直ちに生じます。

生産コスト

単位生産コスト（w）は固定費と変動費に分けられます。

w = F m + v x x ( 3 ) {\displaystyle w={\frac {F_{m}+vx}{x}}\qquad \qquad (3)}

どこ

  • F m = 製造固定費;
  • v = 単位あたりの変動コスト;
  • x = 生産量。

wを分離することで、生産レベルの違いによるコストの挙動を考察することが可能になります。ここでは線形コスト曲線を仮定し、定数 ( F ) とその傾き ( v ) に分割します。モデル作成者が非線形コスト曲線の詳細にアクセスできる場合は、w を適切な関数で定義する必要があります。

（式2）のwxを置き換えてF = F n  +  F mとすると、

π = p q − [ F + v x + g 0 w − g 1 w ] ( 4 ) {\displaystyle \pi =pq-[F+vx+g0w-g1w]\qquad \qquad (4)}

変動費要素

基本モデルの他の拡張では、直接材料費、直接労務費、変動間接費などの原価要素を組み込むことができます。非線形関数が利用可能であり、有用であると考えられる場合は、ここで使用した関数の代わりにそのような関数を使用することもできます。

売上材料費 = m * μ * q、ここで

m は完成品 1 単位に含まれる材料の量です。

μは原材料の単位あたりのコストです。

売上の労働コスト = l λ q、ここで

  • l は完成品1単位を作るのに必要な労働時間である。
  • λ は1時間あたりの労働コスト（レート）です。

変動間接費売上原価 = nq、ここでnはユニットあたりの変動間接費です。

ここでは、完成品単位あたりの数量と単位あたりのコストに細分化されていません。

したがって、可変コストv * qは次のように表すことができます。

π = pq - [F+(mμ q + l λq + nq)] …………(式 5)

生産数量が必要な場合は、完成品の在庫を追加する必要があります。

単純なケースでは、m * μを追加するだけでモデルに2つの材料を組み込むことができます。より現実的な状況では、行列とベクトルが必要になります（後述）。

製造材料費ではなく購入材料費を使用する場合は、材料在庫を調整する必要があります。つまり、

mx = md 0 + mb - md 1 …………（式6）

どこ

  • d = 材料在庫量、
  • 0 = 開店、1 = 閉店、
  • b = 購入した材料の量
  • m = 完成品1単位に含まれる材料の量
  • x = 生産に使用される量

減価償却

減価償却ルールはすべて、時間の経過に伴う曲線を表す方程式で表すことができます。中でも、逓減法は興味深い例の一つです。

c = コスト、t = 時間、L = 耐用年数、s = スクラップ価値、Fd = 時間ベースの減価償却を使用します。

Depr/yr = Fd = c (s/c)(tL)/L * [L(s/c)1/L] …………… (式 7)

この式は、次の規則としてよく知られています。年間減価償却額 = 前年の減価償却額に一定の%を掛けた値

制限は 0 < t < L であり、スクラップ値はゼロより大きくなければなりません。(ゼロの場合は 0.1 を使用します)。

時間ベースの減価償却は固定費であり、使用量ベースの減価償却は変動費になる可能性があることを覚えておくと、減価償却をモデルに簡単に追加できます (式 5)。

したがって、利益モデルは次のようになります。

π = pq - [F + F d + (mμ + lλ + n + n d )q]..........（式8）

ここで、nd = 使用量（q として）に基づく減価償却、π = 年間利益です。

株式評価

上記では、完成品単位原価「w」の値は定義されていませんでした。在庫（w）の評価方法には様々な選択肢がありますが、ここでは2つの方法のみを比較します。

限界原価計算と吸収原価計算の議論には、在庫（w）の評価の問題が含まれます。

w = v とすべきか、それとも (3) w = (Fm + vx)/x とすべきか。

(i) 限界費用法ではw = vとなる。(4)に代入すると、

π = pq- [F + vx + g 0 w 0 - g 1 w 1 ]

なる

π = pq- [F + vx + g 0 w 0 - g 1 v]

これは、vを取り出して、開始在庫量+生産量-終了在庫量=販売量（q）とすることで簡略化できます。

π = pq - [F + vq]………….. (式 9)

注: vq = 変動売上原価。

(ii) 完全（吸収）原価計算を使用する（式3）を使用します。ここで、xp = 計画生産量、x1 = 期間生産量w = (Fm + v xp)/xp = Fm/xp + v。この結果は次のようになります。

π = pq - [F n + F m + vq + F m /x p * (qx 1 )]…………..(式10)

モデルに「x」という奇妙な値が存在する点に注意してください。また、吸収モデル（式10）は、最後の部分を除いて限界費用モデル（式9）と同じであることにも注目してください。

F/x p * (qx 1 )

この部分は在庫の固定費を表しています。q — x = go — g1 と覚えておくと分かりやすいので、次のように書きます。

F/x p • (g 0 —g 1 )

g 0と g 1の代わりに 'q' と 'x' を使用したモデル形式を使用すると、売上高と生産量のみがわかっている場合に利益を計算できます。

売上高が増加し、その後減少し、生産量が一定である企業について、スプレッドシートを作成することができます。このスプレッドシートには、売上高が増加し、生産量が一定である状況での利益を示す別の列を追加できます。これにより、固定費を在庫に計上した場合の影響をシミュレートできます。このようなモデリングは、限界原価計算と総原価計算のどちらを採用するかという議論において、非常に有用なツールとなります。

損失のモデル化

損失をモデル化する 1 つの方法は、次のとおりです。

  • 固定損失（数量）= δf、
  • 変動損失（％） = δv、
  • 材料損失 = mδ,
  • 生産損失 = pδ

これらの損失をすべて合わせたモデルは次のようになります。

π = vq – [F + μ * mδf + {mμ(1 + mδv) + lλ+n) * (1+ pδ* (q +pδf)].... (式 11)

人件費や変動間接費の損失も含まれる可能性があることに注意してください。

マルチ製品

これまでのモデルでは、ごく少数の製品やコスト要素を想定してきました。多くの企業は多品種少量生産を行っているため、使用するモデルはこの問題に対応できなければなりません。ここで扱う数学的な要素は単純ですが、導入される会計上の問題は膨大です。例えば、コスト配分問題がその好例です。その他の例としては、損益分岐点の計算、生産性指標、限られた資源の最適化などが挙げられます。ここでは、多次元モデルの構築方法の概要のみを説明します。

企業が2つの製品（aとb）を販売する場合、利益モデル（式9）は、

π = pq —(F +vq) は
π = (pa *qa +pb *qb) - [F + va*qa + vb *qb]

すべての固定費はFにまとめられています

したがって、複数の製品の場合

π = Σ(pq) - [F + Σ(vq)].... (式 12)

ここでΣは合計です。これはスプレッドシートではベクトルまたは行列として表すことができます。

または

π = Σpq - [F + Σ(Σmμ + Σlλ + Σn)q].... (式 13)

差異

利益モデルは、実際のデータ (c)、計画データ (p)、または計画コストでの実際の販売数量である標準データ (s) を表すことができます。

実際のデータ モデルは次のようになります (式 8 を使用)。

π = p c *q c - [F c + (mμ c + lλ c + n c )q c ]

計画されているデータ モデルは次のようになります (式 8 を使用)。

π = p p *q p - [F p + (mμ p + lλ p + n p )q p ]

標準データモデルは次のようになります（式8を使用）。

π = p p *q c - [F p + (mμ p + lλ p + n p )q c ]

運用差異は、標準モデルから実際のモデルを差し引くことによって得られます。

学習曲線モデル

利益モデルに非線形コスト曲線を追加することも可能です。例えば、学習によって、製品の製造量が増えるにつれて単位あたりの労働時間が指数関数的に減少する場合、単位あたりの時間は次のようになります。

l = r * q −b

ここで、r = 平均時間、b = 学習率、q = 量です。

式8に代入すると

π = pq - [F + (mμ + rq −b λ + n)q]

この方程式は、試行錯誤、ニュートン・ラプソン法、あるいはグラフ化によって最もよく解けます。モデル内の減価償却と同様に、学習のための調整は非線形サブモデリングの一種を提供します。

パーセンテージ変化モデル

変数は絶対値ではなく、パーセンテージの変化となる可能性があります。これは、上記のモデルからのアプローチの大きな変更点です。このモデルは、「…（例えば）人件費が10%上昇した」という形式でよく使用されます。このようなパーセンテージの変化のみを使用するモデルを開発できれば、絶対値を収集するコストを削減できます。[5]

以下で使用されている表記法は、変数に％記号を付けてその変数の変化を示すものです。たとえば、販売価格が10％変化すると仮定すると、p％ = 0.10となります。

x = q、C = 寄与とする

寄与モデルの絶対形式から始める（式（9）を整理すると）：

π + F = C = (p — v)q です。

p、v、qの増加によって生じる寄与の増加は、次のように計算できます。

C(l + C%) = [p(l+p%)- v(l + v%)]q(l+q%)

整理してα = (p — v)/p を用いると、

C% = ((l+q%)/α)[p%-(l - α)v%]+q%...... (式18)

このモデルは一見複雑に見えるかもしれませんが、非常に強力です。特に一部の変数が変化しない場合、データへの要求はごくわずかです。上記で示したモデルのほとんどを、このパーセンテージ変化の形式で展開することが可能です。

参照

参考文献

  1. ^ ab Mattessich, R. (1961). 「予算編成モデルとシステムシミュレーション」, The Accounting Review, 36(3), 384–397.
  2. ^ ドゥルーリー、C.（1988）『経営と原価計算』ロンドン：VNR
  3. ^ 井尻雄三（1983）「会計教育の新たな側面：コンピュータとアルゴリズム」『会計研究』168-173頁。
  4. ^ Mepham, M. (1980). Accounting Models, London: Pitmans
  5. ^ Eilon, S. (1984),『計算の芸術：業績評価基準の分析』ロンドン：アカデミック・プレス

さらに読む

  • Girardi, Dario; Giacomello, Bruno; Gentili, Luca (2011). 「予算編成モデルとシステムシミュレーション：動的アプローチ」SSRN電子ジャーナル. doi :10.2139/ssrn.1994453. S2CID  167656094.
  • Metcalfe M.とPowell P.（1994）『管理会計：モデリングアプローチ』Addison Wesley、ウォキンガム。
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