量子二重対数

数学において、量子二重対数とは、次の式で定義される 特別な関数である。

ϕ （ × ） ≡ （ × ; q ） ∞ ＝ ∏ n ＝ 0 ∞ （ 1 − × q n ） 、 | q | < 1 {\displaystyle \phi (x)\equiv (x;q)_{\infty }=\prod _{n=0}^{\infty }(1-xq^{n}),\quad |q|<1}

これはq指数関数と同じです。 e q （ × ） {\displaystyle e_{q}(x)}

を「q-可換変数」、すなわちワイルの関係を満たす適切な非可換代数の元とする。このとき、量子二重対数はシュッツェンベルガーの恒等式を満たす。 あなた 、 v {\displaystyle u,v} あなた v ＝ q v あなた {\displaystyle uv=qvu}

ϕ （ あなた ） ϕ （ v ） ＝ ϕ （ あなた + v ） 、 {\displaystyle \phi (u)\phi (v)=\phi (u+v),}

ファデーエフ＝ヴォルコフのアイデンティティ

ϕ （ v ） ϕ （ あなた ） ＝ ϕ （ あなた + v − v あなた ） 、 {\displaystyle \phi (v)\phi (u)=\phi (u+v-vu),}

ファデエフ＝カシャエフの同一性

ϕ （ v ） ϕ （ あなた ） ＝ ϕ （ あなた ） ϕ （ − v あなた ） ϕ （ v ） 。 {\displaystyle \phi (v)\phi (u)=\phi (u)\phi (-vu)\phi (v)。}

後者はロジャースの 5 項二重対数恒等式の量子一般化として知られています。

ファデーエフの量子二重対数 は、次の式で定義されます。 Φ b （ わ ） {\displaystyle \Phi _{b}(w)}

Φ b （ z ） ＝ 経験 ⁡ （ 1 4 ∫ C e − 2 私 z わ シン ⁡ （ わ b ） シン ⁡ （ わ / b ） d わ わ ） 、 {\displaystyle \Phi _{b}(z)=\exp \left({\frac {1}{4}}\int _{C}{\frac {e^{-2izw}}{\sinh(wb)\sinh(w/b)}}{\frac {dw}{w}}\right),}

ここで、積分曲線は原点の小さな近傍の外側では実軸に沿って進み、原点付近では上半平面内に逸れる。同じ関数はウォロノヴィッチの積分公式によって記述できる。 C {\displaystyle C}

Φ b （ × ） ＝ 経験 ⁡ （ 私 2 π ∫ R ログ ⁡ （ 1 + e t b 2 + 2 π b × ） 1 + e t d t ） 。 {\displaystyle \Phi_{b}(x)=\exp\left({\frac{i}{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}{\frac{\log(1+e^{tb^{2}+2\pi bx})}{1+e^{t}}}\,dt\right).}

ルドヴィグ・ファデーエフは量子五角形の同一性を発見した。

Φ b （ p ^ ） Φ b （ q ^ ） ＝ Φ b （ q ^ ） Φ b （ p ^ + q ^ ） Φ b （ p ^ ） 、 {\displaystyle \Phi _{b}({\hat {p}})\Phi _{b}({\hat {q}})=\Phi _{b}({\hat {q}})\Phi _{b}({\hat {p}}+{\hat {q}})\Phi _{b}({\hat {p}}),}

ここで、およびはハイゼンベルクの交換関係を満たす自己随伴（正規化）量子力学的運動量および位置演算子 である。 p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} q ^ {\displaystyle {\hat {q}}}

[ p ^ 、 q ^ ] ＝ 1 2 π 私 {\displaystyle [{\hat {p}},{\hat {q}}]={\frac {1}{2\pi i}}}

そして反転関係

Φ b （ × ） Φ b （ − × ） ＝ Φ b （ 0 ） 2 e π 私 × 2 、 Φ b （ 0 ） ＝ e π 私 24 （ b 2 + b − 2 ） 。 {\displaystyle \Phi _{b}(x)\Phi _{b}(-x)=\Phi _{b}(0)^{2}e^{\pi ix^{2}},\quad \Phi _{b}(0)=e^{{\frac {\pi i}{24}}\left(b^{2}+b^{-2}\right)}。}

量子二重対数は、数理物理学、量子トポロジー、クラスター代数理論に応用されています。

q指数とq指数の関係は、次の式で表される。 Φ b {\displaystyle \Phi_{b}}

Φ b （ z ） ＝ E e 2 π 私 b 2 （ − e π 私 b 2 + 2 π z b ） E e − 2 π 私 / b 2 （ − e − π 私 / b 2 + 2 π z / b ） 、 {\displaystyle \Phi _{b}(z)={\frac {E_{e^{2\pi ib^{2}}}(-e^{\pi ib^{2}+2\pi zb})}{E_{e^{-2\pi i/b^{2}}}(-e^{-\pi i/b^{2}+2\pi z/b})}},}

有効です。 Im ⁡ b 2 > 0 {\displaystyle \operatorname {Im} b^{2}>0}

参考文献

  • Faddeev, LD (1994). 「質量のある可積分モデルと質量のない可積分モデルにおける電流のような変数」arXiv : hep-th/9408041 .
  • Faddeev, LD (1995). 「離散ハイゼンベルク＝ワイル群とモジュラー群」. Letters in Mathematical Physics . 34 (3): 249– 254. arXiv : hep-th/9504111 . Bibcode :1995LMaPh..34..249F. doi :10.1007/BF01872779. MR  1345554. S2CID  119435070.
  • Faddeev, LD; Kashaev, RM (1994). 「量子二対数」. Modern Physics Letters A. 9 ( 5): 427– 434. arXiv : hep-th/9310070 . Bibcode :1994MPLA....9..427F. doi :10.1142/S0217732394000447. MR  1264393. S2CID  6172445.
  • Faddeev, LD; Volkov, A. Yu. (1993). 「アーベルカレント代数と格子上のヴィラソロ代数」. Physics Letters B. 315 ( 3–4 ) : 311– 318. arXiv : hep-th/9307048 . Bibcode :1993PhLB..315..311F. doi :10.1016/0370-2693(93)91618-W. S2CID  10294434.
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