量子金融

量子ファイナンスは、量子物理学者と経済学者によって開発された理論と手法を金融問題の解決に応用する学際的な研究分野であり、経済物理学の一分野です。

量子連続モデル

量子オプション価格設定の研究の多くは、典型的には、シュレーディンガー方程式のような連続方程式の観点から、古典的なブラック・ショールズ・マートン方程式の量子化に焦点を当てている。エマニュエル・ヘイブンは、ゼキアン・チェンらの研究^{[1]を基にしているが、}シュレーディンガー方程式^[2]の観点から市場を考察している。ヘイブンの研究で重要なメッセージは、ブラック・ショールズ・マートン方程式は実際には、市場が効率的であると仮定されるシュレーディンガー方程式の特殊なケースであるということである。ヘイブンが導出したシュレーディンガーに基づく方程式には、無限に高速ではない価格変動、無限に高速ではない情報伝播、トレーダー間の富の不平等など、さまざまなソースから生じる市場に存在する裁定取引の量を表すパラメーター ħ ( hの複素共役と混同しないように注意) がある。ヘイブンは、現実には市場は真に効率的ではないため、この値を適切に設定することで、より正確なオプション価格を導き出すことができると主張しています。

これが、量子オプション価格モデルが古典的なモデルよりも正確である可能性がある理由の一つです。ベラル・E・バキエは量子ファイナンスに関する多くの論文を発表しており、それらの論文をまとめた書籍も執筆しています。^{[3] [4]バキエやマタツらの研究の中核を成すのは、}リチャード・ファインマンの経路積分です。^[5]

Baaquieは経路積分をいくつかのエキゾチックオプションに適用し、その結果をブラック・ショールズ・マートン方程式の結果と比較した解析結果を提示し、両者が非常に類似していることを示しています。Edward Piotrowskiらは、オプションの裏付けとなる株式の挙動に関するブラック・ショールズ・マートンの仮定を変更することで、異なるアプローチを採用しています。^{[6]彼らは、}ウィーナー・バシュリエ過程に従うと仮定する代わりに、^[7]オルンシュタイン・ウーレンベック過程に従うと仮定しています。^[8]この新しい仮定に基づいて、彼らは量子ファイナンスモデルとヨーロピアンコールオプションの公式を導出しています。

ハル・ホワイトやコックス・インガソル・ロスといった他のモデルも、金利デリバティブの古典的設定において同様のアプローチを効果的に用いている。^{[9] [10]} アンドレイ・クレニコフはヘイヴンらの研究を基に、ブラック・ショールズ・マートン方程式が前提とする市場効率性の仮定が必ずしも適切ではないという考えをさらに強化している。^[11]この考えを支持するために、クレニコフは量子論を金融に適用することに対する批判を克服する方法として、エージェントを用いた文脈的確率の枠組みを構築している。ルイジ・アッカルディとアンドレアス・ブーカスは再びブラック・ショールズ・マートン方程式を量子化するが、この場合には、原資産となる株式がブラウン運動とポアソン過程の両方を持つと仮定している。^[12]

量子二項モデル

チェンは2001年に論文^[1]を発表し、量子二項式オプション価格モデル、あるいは単に量子二項式モデルと略されるモデルを提示しました。比喩的に言えば、チェンの量子二項式オプション価格モデル（以下、量子二項式モデル）は、既存の量子金融モデルにとって、コックス・ロス・ルビンスタインの古典的二項式オプション価格モデルがブラック・ショールズ・マートンモデルに対して行ったのと同様の関係にあります。つまり、同じ結果の離散化され、より単純化されたバージョンです。これらの単純化により、それぞれの理論は分析が容易になるだけでなく、コンピュータへの実装も容易になります。

多段階量子二項モデル

マルチステップモデルでは、量子価格設定の式は次のようになります。

${\displaystyle C_{0}^{N}=\mathrm {tr} [(\bigotimes _{j=1}^{N}\rho _{j}){[S_{N}-K]}^{+}]}$ 、

これは、次の Cox-Ross-Rubinstein二項オプション価格設定モデルの式に相当します。

${\displaystyle C_{0}^{N}=(1+r)^{-N}\sum _{n=0}^{N}{\frac {N!}{n!(N-n)!}}q^{n}{(1-q)}^{N-n}{[S_{0}{(1+b)}^{n}{(1+a)}^{N-n}-K]}^{+}}$ 。

これは、株価がマクスウェル・ボルツマン統計に従って動くと仮定すると、量子二項モデルは確かに古典的二項モデルに収束することを示しています。

キース・マイヤーによれば、量子ボラティリティは次のようになります。^[13]

${\displaystyle \sigma ={\frac {\ln {(1+x_{0}+{\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}})}}{\sqrt {1/t}}}}$ 。

ボーズ＝アインシュタインの仮定

マクスウェル・ボルツマン統計は量子ボーズ・アインシュタイン統計に置き換えることができ、オプション価格の式は次のようになります。

${\displaystyle C_{0}^{N}=(1+r)^{-N}\sum _{n=0}^{N}\left({\frac {q^{n}{(1-q)}^{N-n}}{\sum _{k=0}^{N}q^{k}{(1-q)}^{N-k}}}\right){[S_{0}{(1+b)}^{n}{(1+a)}^{N-n}-K]}^{+}}$ 。

ボーズ＝アインシュタイン方程式は、特定の状況において、コックス＝ロス＝ルービンシュタインのオプション価格決定式とは異なるオプション価格を導き出します。これは、株式が古典粒子ではなく量子ボソン粒子として扱われるためです。

デリバティブの価格決定のための量子アルゴリズム

パトリック・レベントロストは2018年に、量子コンピュータが金融デリバティブの価格を従来の方法よりも平方根の優位性で計算できるアルゴリズムが存在することを示しました。^[14]この開発は、量子力学を用いて機能金融への洞察を得ることから、量子システム（量子コンピュータ）を用いてそれらの計算を実行することへの移行を示しています。

2020年にデビッド・オレルは、フォトニクスデバイス上で実行できる量子ウォークに基づいたオプション価格設定モデルを提案した。^{[15] [16] [17]}

批判

アリオリとヴァレンテは、バキエの研究をレビューし、シュレーディンガー方程式とは異なり、ブラック・ショールズ・マートン方程式は虚数を用いないことを指摘している。重ね合わせやエンタングルメントといった物理学における量子的特性は虚数の結果であるため、バキエの数値的成功は量子的効果以外の効果によるものであるに違いない。^{[18] : 668}リックルズは、バキエの研究を経済学の観点から批判している。すなわち、経験的経済データはランダムではないため、量子ランダム性の説明は不要である、としている。^{[19] : 969}

参考文献

1. Zeqian Chen (2004). 「金融理論における二項モデルのための量子理論」.システム科学と複雑性ジャーナル. arXiv : quant-ph/0112156 . Bibcode :2001quant.ph.12156C.
2. ヘイヴン、エマニュエル (2002). 「量子物理学的設定におけるブラック・ショールズ・オプション価格モデルの埋め込みに関する考察」『物理A：統計力学とその応用』304 ( 3–4 ): 507– 524.書誌コード:2002PhyA..304..507H. doi :10.1016/S0378-4371(01)00568-4.
3. Baaquie, Belal E.; Coriano, Claudio; Srikant, Marakani (2002). 「量子力学、経路積分、オプション価格設定：金融の複雑性の低減」『非線形物理学 ― 理論と実験 II』p. 8191. arXiv : cond-mat/0208191 . Bibcode :2003npte.conf..333B. doi :10.1142/9789812704467_0046. ISBN 978-981-238-270-2. S2CID  14095958。
4. Baaquie, Belal (2004). 『量子ファイナンス：オプションと金利のための経路積分とハミルトニアン』ケンブリッジ大学出版局. p. 332. ISBN 978-0-521-84045-3。
5. Matacz, Andrew (2002). 「パス依存型オプション価格設定：パス積分部分平均法」. The Journal of Computational Finance . 6 (2): 79– 103. arXiv : cond-mat/0005319 . doi :10.21314/JCF.2002.108 . 2025年1月20日閲覧。
6. Piotrowski, Edward W.; Schroeder, Małgorzata; Zambrzycka, Anna (2006). 「Ornstein Uhlenbeck過程に基づくヨーロピアンオプション価格設定の量子拡張」. Physica A. 368 ( 1): 176– 182. arXiv : quant-ph/0510121 . Bibcode :2006PhyA..368..176P. doi :10.1016/j.physa.2005.12.021. S2CID  14209173.
7. ハル、ジョン（2006年）「オプション、先物、その他のデリバティブ」アッパーサドルリバー、ニュージャージー州：ピアソン／プレンティスホール、ISBN 978-0-13-149908-9。
8. Uhlenbeck, GE; Ornstein, LS (1930). 「ブラウン運動の理論について」. Phys. Rev. 36 ( 5): 823– 841. Bibcode :1930PhRv...36..823U. doi :10.1103/PhysRev.36.823.
9. 「ハル・ホワイトモデルを用いた金利上限と金利下限のオプション価格設定」『リスク管理における先進的戦略』1990年。
10. 「利子率の期間構造の理論」Physica A. 1985年。
11. Khrennikov, Andrei (2007). 「古典的および量子的ランダム性と金融市場」arXiv : 0704.2865 [q-fin.ST].
12. アカルディ、ルイージ;ブーカス、アンドレアス (2007)。 「量子ブラック・ショールズ方程式」。arXiv : 0706.1300 [q-fin.PR]。
13. Keith Meyer (2009). 量子二項式オプション価格モデルの拡張とシミュレーション. マニトバ大学.
14. Rebentrost, Patrick; Gupt, Brajesh; Bromley, Thomas R. (2018年4月30日). 「量子計算ファイナンス：金融デリバティブのモンテカルロ価格設定」. Physical Review A. 98 ( 2) 022321. arXiv : 1805.00109 . Bibcode :2018PhRvA..98b2321R. doi :10.1103/PhysRevA.98.022321. S2CID  73628234.
15. オレル、デイビッド（2020年）『量子経済学と金融：応用数学入門』ニューヨーク：パンダ・オハナ、ISBN 978-1-9160816-1-1。
16. Orrell, David (2021). 「金融オプションの量子ウォークモデル」. Wilmott . 2021 (112): 62– 69. doi :10.1002/wilm.10918. S2CID  233850811.
17. 「シュレーディンガーの市場」『エコノミスト』 2021年11月6日。
18. Arioli, Gianni; Valente, Giovanni (2021年10月). 「量子経済物理学における真の量子とは何か？」 .科学哲学. 88 (4): 665– 685. doi :10.1086/713921. ISSN  0031-8248.
19. リックルズ、ディーン（2007年12月）「哲学者のための経済物理学」『科学史と哲学の研究 パートB：近代物理学の歴史と哲学の研究』 38 （ 4）：948-978。Bibcode：2007SHPMP..38..948R。doi ：10.1016/j.shpsb.2007.01.003。

さらに読む

• Belal E. Baaquie, Quantum Finance: Path Integrals and Hamiltonians for Options and Interest Rates, Cambridge University Press (ケンブリッジ、イギリス、2004年)
• Belal E. Baaquie著『経済と金融のための数学的手法と量子数学』Springer（シンガポール、2020年）