ラショナルシリーズ

数学とコンピュータサイエンスにおいて、有理級数とは、環上の形式的冪級数の概念を、基本的な代数構造がもはや環ではなく半環であり、かつ隣接する不定値が可換でないと仮定される場合に一般化したものである。これらは有限アルファベット上の形式言語の代数表現とみなすことができる。

定義

Rを半環、Aを有限アルファベット とする

A上の非可換多項式は、 A上の語の有限形式和である。それらは半環を形成する。 ${\displaystyle R\langle A\rangle }$

形式級数は自由モノイドA ^*上のR値関数cであり、次のように書くことができる。

${\displaystyle \sum _{w\in A^{*}}c(w)w.}$

形式級数の集合は次のように表され、演算によって半環となる。 ${\displaystyle R\langle \langle A\rangle \rangle }$

${\displaystyle c+d:w\mapsto c(w)+d(w)}$

${\displaystyle c\cdot d:w\mapsto \sum _{uv=w}c(u)\cdot d(v)}$

したがって、非可換多項式は有限サポートのA ^*上の関数cに対応します。

Rが環の場合、これはR上のマグヌス環である。^[1]

LがA上の言語であり、 A ^*の部分集合とみなせる場合、 Lの特性級数を次のように形式級数として 形成することができる。

${\displaystyle \sum _{w\in L}w}$

Lの特性関数に対応します。

反復演算は次のように定義できる。 ${\displaystyle R\langle \langle A\rangle \rangle }$

${\displaystyle S^{*}=\sum _{n\geq 0}S^{n}}$

として形式化されます

${\displaystyle c^{*}(w)=\sum _{u_{1}u_{2}\cdots u_{n}=w}c(u_{1})c(u_{2})\cdots c(u_{n}).}$

有理数演算とは、形式級数の加算と乗算、そして反復演算である。有理数級数とは、有理数演算によって得られる形式級数である。${\displaystyle R\langle A\rangle .}$

参照

• 形式的冪級数
• 有理言語
• 有理集合
• ハーン級数（マルチェフ・ノイマン級数）
• 重み付きオートマトン

参考文献

1. Koch, Helmut (1997).代数的数論. Encycl. Math. Sci. Vol. 62 (第1版第2刷). Springer-Verlag . p. 167. ISBN 3-540-63003-1. Zbl  0819.11044.

• ベルステル、ジャン、ロイテナウアー、クリストフ (2011).非可換有理級数とその応用. 数学とその応用百科事典. 第137巻. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl  1250.68007。

さらに詳しい参考文献

• サカロヴィッチ、ジャック（2009年）。『オートマトン理論の要素』。フランス語からの翻訳：ルーベン・トーマス。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。第4部（ここでは「有理級数」と呼ばれる）。ISBN${\displaystyle \mathbb {K} }$  978-0-521-84425-3. Zbl  1188.68177.
• Droste, M., Kuich, W. (2009). 半環と形式冪級数.重み付きオートマトンハンドブック, 3–28. doi :10.1007/978-3-642-01492-5_1
• Sakarovitch, J. 有理的かつ認識可能なべき級数.重み付きオートマトンハンドブック, 105–174 (2009). doi :10.1007/978-3-642-01492-5_4
• W. Kuich. 半環と形式冪級数：形式言語およびオートマトン理論との関連性. G. Rozenberg, A. Salomaa編『形式言語ハンドブック』第1巻、第9章、609-677ページ. Springer, Berlin, 1997