レーブベクトル場

数学において、レーブベクトル場は、フランスの数学者ジョルジュ・レーブにちなんで名付けられ、以下を含む接触幾何学のさまざまな領域に現れる概念です。

• 接触多様体において、接触1形式が与えられたとき、レーブベクトル場は次式を満たす。^{[1] [2]}${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R\in \mathrm {ker} \ d\alpha ,\ \alpha (R)=1}$
• 特に、佐々木多様体の文脈において。

接触多様体がシンプレクティック多様体内部の定エネルギー超曲面として現れる場合、レーブベクトル場はエネルギー関数に関連付けられたハミルトンベクトル場の部分多様体への制約となる。（この制約により接触超曲面上にベクトル場が生じるのは、ハミルトンベクトル場がエネルギー準位を保存するためである。）

レーブ場のダイナミクスは、シンプレクティック場理論や、3 次元では埋め込み接触ホモロジーなどのフレアーホモロジーの手法を使用して、接触多様体や基礎となる多様体の構造を調べるために使用できます。同じ接触構造を与える核を持つ異なる接触形式は異なるレーブベクトル場をもたらし、そのダイナミクスは一般に大きく異なります。接触ホモロジーのさまざまな種類は、接触形式の選択に先験的に依存し、そのレーブベクトル場の閉じた軌跡から代数構造を構築します。ただし、これらの代数構造は接触形式に依存しない、つまり基礎となる接触構造の不変量であることが判明しているため、最終的には接触形式は補助的な選択肢と見なすことができます。埋め込み接触ホモロジーの場合は、基礎となる 3 次元多様体の不変量、つまり埋め込み接触ホモロジーが接触構造に依存しないことがわかります。これにより、多様体上の任意のレーブベクトル場に対して成り立つ結果を得ることができます。

定義

次元 の多様体上の接触ベクトル場を とする。上の 1-形式を とし、 とする。接触形式が与えられたとき、 上の唯一の体（レーブベクトル場）が存在し、次のようになる：[ ^3]${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle \xi =Ker\;\alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \alpha \wedge (d\alpha )^{n}\neq 0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle i(X_{\alpha })d\alpha =0}$
• ${\displaystyle i(X_{\alpha })\alpha =1}$

例

標準的な接触構造${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

上の標準接触構造はであり、レーブベクトル場は です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \theta =pdq-dt}$ ${\displaystyle R=\partial _{t}}$

参照

• ワインスタイン予想

参考文献

1. John B. Etnyre. 「接触多様体」（PDF） 。 2018年4月4日時点のオリジナル（PDF）からのアーカイブ
2. 「接触構造とレーブベクトル場」（PDF）。2016年5月9日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。
3. C. Vizman、「量子同型群に関するいくつかの考察」（1997年）

• ブレア、デイビッド・E. (2010).接触多様体とシンプレクティック多様体のリーマン幾何学. 『数学の進歩』第203巻（2002年初版第2版）. ボストン、マサチューセッツ州: Birkhäuser Boston, Ltd. doi :10.1007/978-0-8176-4959-3. ISBN 978-0-8176-4958-6 MR  2682326. Zbl  1246.53001
• マクダフ、デューサ；サラモン、ディートマー（2017年）『シンプレクティック・トポロジー入門』オックスフォード数学大学院テキスト（1995年初版第3版）オックスフォード：オックスフォード大学出版局。doi :10.1093/oso/9780198794899.001.0001.ISBN 978-0-19-879490-5 MR  3674984. Zbl  1380.53003