相対論的ロケット
Type of spacecraft

相対論的ロケットとは、相対論的効果が顕著に現れるほど光速に近い速度で飛行する宇宙船を指します。「顕著」の意味は文脈によって異なりますが、多くの場合、光速の30%から50%（0.3 cから0.5 c）の閾値速度が用いられます。30% c では相対論的質量と静止質量の差は約5%ですが、50% c では15%、0.75 cでは50%を超えます。そのため、この速度を超えると、運動を正確に記述するためには特殊相対論が必要になりますが、この範囲を下回る場合は、ニュートン力学とツィオルコフスキーロケット方程式で十分な精度が得られます。

この文脈では、ロケットは、反作用質量、エネルギー、およびエンジンのすべてを運ぶ物体として定義されます。

ロケットを相対論的速度に到達させる技術は、現在までに存在しません。相対論的ロケットの実現には、宇宙船の推進力、エネルギー貯蔵、そしてエンジン効率の飛躍的な進歩が不可欠ですが、これらの技術が実現するかどうかは定かではありません。核パルス推進は、現在の技術を用いて理論的には0.1 ℃に到達可能ですが、実現には依然として多くの技術的進歩が必要です。光速の10%における相対論的ガンマ係数は1.005です。したがって、0.1 ℃の速度で飛行するロケットは、その運動がニュートン力学のみで極めて正確に記述されるため、非相対論的であるとみなされます。 γ {\displaystyle \gamma }

相対論的ロケットは、通常、恒星間旅行の文脈で議論されます。なぜなら、そのような速度に達するには、ほとんどの場合、広大な宇宙空間が必要となるからです。また、双子のパラドックスなどの思考実験にも登場します。

相対論的ロケット方程式

古典的なロケット方程式と同様に、排気速度と質量比、つまり開始時の静止質量と加速段階終了時の静止質量（乾燥質量）の比に応じてロケットが達成できる速度変化を計算します。 Δ v {\displaystyle \Delta v} v e {\displaystyle v_{e}} m 0 {\displaystyle m_{0}} m 1 {\displaystyle m_{1}}

計算を簡単にするために、加速段階中の加速度は（ロケットの基準フレーム内で）一定であると仮定します。ただし、排気速度が一定である限り、加速度が変化しても結果は有効です。 v e {\displaystyle v_{e}}

非相対論的な場合には、（古典的な）ツィオルコフスキーロケット方程式から次のことがわかる。

Δ v = v e ln ⁡ m 0 m 1 . {\displaystyle \Delta v=v_{e}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}.}

一定の加速度を仮定すると、加速が起こる 時間幅は a {\displaystyle a} t {\displaystyle t}

t = v e a ln ⁡ m 0 m 1 . {\displaystyle t={\frac {v_{e}}{a}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}.}

相対論的なケースでは、ロケットの基準系における加速度が で、ロケットの固有時が であれば、この式は依然として有効です。なぜなら、速度0では、力と加速度の関係は古典的ケースと同じだからです。この式を初期質量と最終質量の比について解くと、次のようになります。 a {\displaystyle a} t {\displaystyle t}

m 0 m 1 = exp ⁡ [ a t v e ] . {\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=\exp \left[{\frac {at}{v_{e}}}\right].}

ここで「exp」は指数関数です。別の関連式[1]は、静止系（つまり、加速段階前のロケットの系）に対する 終端速度に関して質量比を与えます。 Δ v {\displaystyle \Delta v}

m 0 m 1 = [ 1 + Δ v c 1 − Δ v c ] c 2 v e . {\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=\left[{\frac {1+{\frac {\Delta v}{c}}}{1-{\frac {\Delta v}{c}}}}\right]^{\frac {c}{2v_{e}}}.}

一定の加速度の場合（aとtは再びロケット上で測定されます）、[2]この式を前の式に代入し、双曲線関数の恒等式を使用すると、前の式が返されます。 Δ v c = tanh ⁡ [ a t c ] {\displaystyle {\frac {\Delta v}{c}}=\tanh \left[{\frac {at}{c}}\right]} tanh ⁡ x = e 2 x − 1 e 2 x + 1 {\displaystyle \tanh x={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}} m 0 m 1 = exp ⁡ [ a t v e ] {\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=\exp \left[{\frac {at}{v_{e}}}\right]}

ローレンツ変換を適用することで、ロケットフレームの加速度と静止フレーム時間の関数として終端速度を計算することができます。結果は次のようになります。 Δ v {\displaystyle \Delta v} t ′ {\displaystyle t'}

Δ v = a t ′ 1 + ( a t ′ ) 2 c 2 . {\displaystyle \Delta v={\frac {at'}{\sqrt {1+{\frac {(at')^{2}}{c^{2}}}}}}.}

静止系における時間は、双曲運動方程式によって固有時間と関連しています。

t ′ = c a sinh ⁡ ( a t c ) . {\displaystyle t'={\frac {c}{a}}\sinh \left({\frac {at}{c}}\right).}

ツィオルコフスキー方程式からの固有時間を代入し、結果として得られる静止フレーム時間を の式に代入すると、目的の式が得られます。 Δ v {\displaystyle \Delta v}

Δ v = c tanh ⁡ ( v e c ln ⁡ m 0 m 1 ) . {\displaystyle \Delta v=c\tanh \left({\frac {v_{e}}{c}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}\right).}

対応するラピディティ（速度を光速で割った 逆双曲線正接）の式はより単純です。

Δ r = v e c ln ⁡ m 0 m 1 . {\displaystyle \Delta r={\frac {v_{e}}{c}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}.}

速度とは対照的に、ラピディティは加算されるため、多段ロケットの合計を計算するのに役立ちます。 Δ v {\displaystyle \Delta v}

物質・反物質消滅ロケット

反物質ロケットは、既知のロケット技術の中で最も高い比推力を発揮するため、相対論的速度を最も容易に達成できると考えられます。ただし、対消滅による質量変化のため、上記のロケット方程式は成立しません。光子ロケットに加えて、星間飛行に必要な0.6 cの比推力（水素-反水素の対消滅反応、電離なし、放射線のリサイクルなし[3]で研究）を実現できる反物質ロケットとしては、「ビームコア」パイ中間子ロケットなどがあります。パイ中間子ロケットでは、凍結した反水素が電磁石ボトルに貯蔵されます。反水素は通常の水素と同様に反磁性であるため、冷却すると電磁的に 浮上します。貯蔵容器の温度制御によって、凍結した反水素の蒸発速度が決定されます。蒸発速度は最大で毎秒数グラム（したがって、同量の物質と対消滅すると数ペタワット）に達します。その後、陽電子はイオン化され、反陽子へと変化します。陽電子は反陽子と反応室に電磁加速されます。陽電子は消滅しても有害なガンマ線しか発生せず、推力への影響は無視できるため、通常は廃棄されます。しかし、非相対論的ロケットでは、推進力としてこれらのガンマ線のみを利用する場合があります。[4]このプロセスが必要なのは、中性化されていない反陽子は互いに反発し合うため、現在の技術では貯蔵できる反陽子の数が1兆個未満に制限されるためです。[5]

パイ中間子ロケットの設計ノート

パイオンロケットはロバート・フリスビー[6]とウルリッヒ・ウォルターによって独立に研究され、同様の結果が得られています。パイ中間子の略であるパイオンは、陽子-反陽子消滅によって生成されます。反水素またはそこから抽出された反陽子は、通常水素原子の一部として、パイオンロケットエンジンの磁気閉じ込めノズルに送り込まれた大量の通常の陽子と混合されます。結果として生じる荷電パイオンの速度は 0.94 c (つまり= 0.94) で、ローレンツ係数は 2.93 であるため、ミューオンに崩壊する前にノズルを通過して 21 メートル移動できるだけの寿命があります。パイオンの 60% は、負または正の電荷を持ちます。パイオンの 40% は中性です。中性パイオンはすぐにガンマ線に崩壊します。これらは、関連するエネルギーでは既知の物質によって反射されませんが、コンプトン散乱を受ける可能性があります。パイオンロケットエンジン反応容積と乗組員モジュールおよび各種電磁石の間に配置されたタングステンシールドによって、ガンマ線からこれらを保護することで、これらの粒子は効率的に吸収される。その結果としてシールドが加熱され、可視光を放射する。この可視光をコリメートすることで、ロケットの比推力を高めることができる。 [3]残りの熱を除去するには、シールドを冷却する必要もある。[6]荷電パイオンは、ノズル内部の軸方向の電磁力線の周りをらせん状に移動し、このようにして荷電パイオンは 0.94 cで移動する排気ジェットにコリメートされる。実際の物質/反物質反応では、このジェットは反応の質量エネルギーのほんの一部に過ぎない。その 60% 以上はガンマ線として失われ、コリメートは完全ではなく、一部のパイオンはノズルによって後方に反射されない。したがって、反応全体の有効排気速度はわずか 0.58 c に低下する。[3]代替推進方式としては、反陽子とパイ中間子を透過するベリリウム反応室に水素原子を物理的に閉じ込め、単一の外部電磁石で反応生成物を集束させる方式がある（ヴァルキリー計画を参照）。 β {\displaystyle \beta } γ {\displaystyle \gamma }

参照

一般的な参考文献

  • スターフライトハンドブック、マトロフ＆マロヴ、1989年。
  • ミラーマター：反物質物理学の先駆者、ロバート・L・フォワード博士、1986年

参考文献

  1. ^ ロバート・L.「相対論的ロケット方程式の透明な導出」2018年9月6日アーカイブ、Wayback Machineより（最終ページの式15の右側を参照。Rは初期質量と最終質量の比、wは比推力）
  2. ^ 「相対論的ロケット」Math.ucr.edu . 2015年6月21日閲覧。
  3. ^ abc Westmoreland, Shawn (2009). 「相対論的ロケット工学に関するノート」. Acta Astronautica . 67 ( 9–10 ): 1248–1251 . arXiv : 0910.1965 . Bibcode :2010AcAau..67.1248W. doi :10.1016/j.actaastro.2010.06.050. S2CID  54735356.
  4. ^ 「新しい反物質エンジンの設計」2006年10月29日。
  5. ^ 「Reaching for the Stars - NASA Science」. Science.nasa.gov . 2015年6月21日閲覧。[永久リンク切れ]
  6. ^ ab 「星間ミッション用無人ロケットの作り方」（PDF） Relativitycalculator.com 2015年6月21日閲覧。[永久リンク切れ]
  • 物理学FAQ：相対論的ロケット
  • 相対論的ロケット方程式を計算するJavascript
  • 時空物理学：特殊相対論入門（1992年）WHフリーマン、ISBN 0-7167-2327-1
  • 相対論的光子ロケット[永久リンク切れ]
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