滞在時間（統計）

統計学では、滞留時間とは、ランダムプロセスが特定の境界値（通常は平均値から離れた境界）に到達するまでに かかる平均時間です。

意味

y ( t )が実数スカラー確率過程であり、初期値y ( t ₀ ) = y ₀、平均y _avg、2つの臨界値{ y _avg − y _min , y _avg + y _max } （ただしy _min > 0、y _max > 0 ）を持つとする。区間(− y _min , y _max )内におけるy ( t )の最初の通過時刻を以下のように 定義する。

${\displaystyle \tau (y_{0})=\inf\{t\geq t_{0}:y(t)\in \{y_{\operatorname {avg} }-y_{\min },\ y_{\operatorname {avg} }+y_{\max }\}\},}$

ここで「inf」は最小値です。これは、 y ₀が区間内にあると仮定した場合、初期時刻t ₀以降でy ( t ) が区間の境界を形成する臨界値の1つに等しくなる最小の時間です。

y ( t )は初期値から境界までランダムに進むため、 τ( y ₀ )自体もランダム変数である。τ ( y ₀ )の平均は滞留時間である。^{[1] [2]}

${\displaystyle {\bar {\tau }}(y_{0})=E[\tau (y_{0})\mid y_{0}].}$

ガウス過程と平均から離れた境界の場合、滞留時間は小さい方の臨界値を超える頻度の逆数に等しい。 ^[2]

${\displaystyle {\bar {\tau }}=N^{-1}(\min(y_{\min },\ y_{\max })),}$

ここで、超過頻度Nは

${\displaystyle N(y_{\max })=N_{0}e^{-y_{\max }^{2}/2\sigma _{y}^{2}},}$

1

σ _y ²はガウス分布の分散であり、

${\displaystyle N_{0}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{\infty }{f^{2}\Phi _{y}(f)\,df}}{\int _{0}^{\infty }{\Phi _{y}(f)\,df}}}},}$

Φ y ( f )_は周波数fにおけるガウス分布のパワースペクトル密度である。

多次元への一般化

y ( t )がスカラーではなく次元p、つまり であると仮定する。y _{avg を}含み、滑らかな境界∂Ψを持つ領域を定義する。この場合、領域Ψ内におけるy ( t )の最初の通過時刻を次のように 定義する。${\displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle \Psi \subset \mathbb {R} ^{p}}$

${\displaystyle \tau (y_{0})=\inf\{t\geq t_{0}:y(t)\in \partial \Psi \mid y_{0}\in \Psi \}.}$

この場合、この最小値は、y ( t )がΨの境界上にある最小の時間であり、 y ₀がΨの範囲内にあると仮定した場合、2つの離散値のいずれかに等しいということではありません。この時間の平均が滞留時間です。^{[3] [4]}

${\displaystyle {\bar {\tau }}(y_{0})=\operatorname {E} [\tau (y_{0})\mid y_{0}].}$

対数滞留時間

対数滞留時間は、滞留時間の無次元変化である。これは、正規化された滞留時間の自然対数に比例する。式（ 1）の指数関数に注目すると、ガウス過程の対数滞留時間は次のように定義される^{[5] [6]。}

${\displaystyle {\hat {\mu}}=\ln \left(N_{0}{\bar {\tau}}\right)={\frac {\min(y_{\min },\ y_{\max })^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}.}$

これは、このシステムの別の無​​次元記述子、境界と平均間の標準偏差の数、min( y _min、y _max )/ σ _yと密接に関連しています。

一般に、正規化係数N ₀を計算するのは困難または不可能な場合があるため、アプリケーションでは無次元量の方が有用な場合があります。

参照

• 累積頻度分析
• 極値理論
• 初回打点時間モデル
• 超過頻度
• 平均故障間隔

注記

1. ミーコフとルノルフソン、1987 年、1734–1735 ページ。
2. リチャードソン他 2014年、2027頁。
3. ミーコフとルノルフソン、1986、p. 494.
4. ミーコフとルノルフソン、1987、p. 1734年。
5. リチャードソン他 2014年、2028頁。
6. Meerkov & Runolfsson 1986, p. 495、対数滞留時間の定義とN _{0の計算の代替アプローチ}

参考文献

• Meerkov, SM; Runolfsson, T. (1986). 「制御の目標設定」 . 第25回意思決定と制御会議議事録. アテネ: IEEE. pp.  494– 498.
• Meerkov, SM; Runolfsson, T. (1987).出力目標制御. 第26回意思決定と制御会議議事録. ロサンゼルス: IEEE. pp.  1734– 1739.
• Richardson, Johnhenri R.; Atkins, Ella M .; Kabamba, Pierre T.; Girard, Anouck R. (2014). 「確率的突風通過時の飛行安全余裕」.​​ Journal of Guidance, Control, and Dynamics . 37 (6). AIAA: 2026– 2030. doi :10.2514/1.G000299. hdl : 2027.42/140648 .