ノールンド・ライス積分

数学において、ノールンド・ライス積分（Nørlund–Rice 積分、またはライス法とも呼ばれる）は、関数のn次前進差分を複素平面上の路中積分に関連付けるものである。これは差分理論でよく登場し、コンピュータサイエンスやグラフ理論においても二分木の長さを推定するために応用されている。この方法は、ニールス・エリック・ノールンドとスティーブン・O・ライスに敬意を表して命名された。ノールンドの貢献は積分を定義したことであり、ライスの貢献は積分の評価に鞍点法を適用することでその有用性を実証したことである。

意味

関数f ( x )のn次の前方差分は次のように与えられる 。

${\displaystyle \Delta^{n}[f](x)=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{nk}f(x+k)}$

ここでは二項係数です。 ${\displaystyle {n \choose k}}$

ノールンド・ライス積分は次のように与えられる。

${\displaystyle \sum _{k=\alpha }^{n}{n \choose k}(-1)^{nk}f(k)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z(z-1)(z-2)\cdots (zn)}}\,dz}$

ここで、 fは有理型、α は整数 、積分曲線は整数 α, ..., nに位置する極を囲むが、整数 0, ...,およびfのいずれの極も囲まないものと理解される。積分は次のようにも書ける。 ${\displaystyle 0\leq \alpha \leq n}$ ${\displaystyle \alpha -1}$

${\displaystyle \sum _{k=\alpha }^{n}{n \choose k}(-1)^{k}f(k)=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }B(n+1,-z)f(z)\,dz}$

ここで、 B ( a , b ) はオイラーのベータ関数である。関数が複素平面の右側で多項式的に有界である場合、曲線は右側で無限大まで拡張することができ、変換は次のように表される。 ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle \sum _{k=\alpha }^{n}{n \choose k}(-1)^{nk}f(k)={\frac {-n!}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac {f(z)}{z(z-1)(z-2)\cdots (zn)}}\,dz}$

ここで定数cは α の左側にあります。

ポアソン・メリン・ニュートンサイクル

ポアソン・メリン・ニュートンサイクルは、1985年にフラヨレらによって指摘されたもので、ノアランド・ライス積分とメリン変換の類似性は偶然ではなく、二項変換とニュートン級数によって関連付けられているという観察である。このサイクルにおいて、を数列とし、g ( t ) を対応するポアソン生成関数とすると、 ${\displaystyle \{f_{n}\}}$

$t = e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {t^{n}}{n!}}f_{n}.}$

メリン変換を採用

${\displaystyle \phi (s)=\int _{0}^{\infty }g(t)t^{s-1}\,dt,}$

その後、ネルンド・ライス積分によって元の流れを取り戻すことができます（参考文献「空から見たメリン」を参照）。

${\displaystyle f_{n}={\frac {(-1)^{n}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {\phi (-s)}{\Gamma (-s)}}{\frac {n!}{s(s-1)\cdots (sn)}}\,ds}$

ここで、Γはラマヌジャンのマスター定理のガンマと打ち消すガンマ関数です。

リースの意味

リース平均の議論では、密接に関連する積分が頻繁に登場します。非常に大まかに言えば、これは、ペロンの公式がメリン変換と関係しているのと同様に、ネルンド・ライス積分と関係していると言えます。つまり、無限級数を扱うのではなく、有限級数を扱うということです。

ユーティリティ

これらの種類の級数の積分表現は、漸近展開法や鞍点法を使用して積分を評価できることが多いため興味深いものです。対照的に、前進差分級数は、二項係数がnが大きい場合に急激に大きくなるため、数値的に評価するのが非常に難しい場合があります。

参照

• ニュートン級数表
• 階乗と二項式のトピックのリスト

参考文献

• Niels Erik Nørlund、Vorlesungen uber Differenzenrechnung、(1954) Chelsea Publishing Company、ニューヨーク。
• Donald E. Knuth 著『The Art of Computer Programming』 (1973 年)、第 3 巻、Addison-Wesley 社。
• Philippe Flajolet と Robert Sedgewick、「メリン変換と漸近解析: 有限差分とライス積分」、 理論計算機科学 144 (1995) pp 101–124。
• Peter Kirschenhofer、「[1]」、The Electronic Journal of Combinatorics、第3巻（1996年）第2号、記事7。
• フィリップ・フラジョレ、講演「空から見たメラン」、35ページ。