Sマトリックス

物理学において、S行列または散乱行列は、散乱過程にある物理系の初期状態と終状態を関連付ける行列である。量子力学、散乱理論、場の量子論（QFT）において用いられる。

より正式には、場の理論理論（QFT）の文脈において、S行列は、物理状態のヒルベルト空間における漸近的に自由な粒子状態（インステートとアウトステート）の集合を連結するユニタリ行列として定義される。多粒子状態は、ローレンツ変換によって、以下の式(1)で規定されるように、一粒子状態のテンソル積（物理学用語では直積）として変換される場合、自由（または非相互作用）であると言われる。漸近的に自由とは、状態が遠い過去または遠い未来のいずれかにおいてこの様相を呈することを意味する。

S行列は、漸近的に解け、事象の地平線を持たない任意の背景（時空）に対して定義できますが、ミンコフスキー空間の場合は単純な形になります。この特殊な場合において、ヒルベルト空間は、非同次ローレンツ群（ポアンカレ群）の既約ユニタリ表現の空間です。S行列は、（遠い過去）と（遠い未来）の間の発展演算子です。これは、エネルギー密度がゼロ（または粒子の分離距離が無限大）の極限においてのみ定義されます。 ${\displaystyle t=-\infty }$ ${\displaystyle t=+\infty }$

ミンコフスキー空間の量子場理論に質量ギャップがある場合、漸近過去の状態と漸近未来の状態は両方ともフォック空間によって記述されることが示されます。

歴史

S行列理論の初期要素は、ポール・ディラックの1927年の論文「原子核の量子力学について」に見られる。 ^{[1] [2]} S行列は、ジョン・アーチボルド・ホイーラーが1937年の論文「共鳴群構造法による軽核の数学的記述について」で初めて正式に導入した。 ^[3]この論文でホイーラーは散乱行列、つまり「積分方程式の任意の特定解の漸近挙動と標準形の解の漸近挙動」を結び付ける係数のユニタリ行列を導入したが、^[4]完全には発展させなかった。

1940年代、ヴェルナー・ハイゼンベルクはS行列の概念を独自に発展させ、実証しました。当時の量子場理論には問題となる発散が存在していたため、ハイゼンベルクは理論の発展に伴う将来の変化の影響を受けない、理論の本質的な特徴を分離しようとしました。その過程で、彼はユニタリな「特性」S行列を導入するに至りました。^[4]

しかしながら今日では、正確なS行列の結果は、共形場理論、可積分系、そして量子場理論や弦理論のいくつかの分野において重要です。S行列は場の理論的処理の代替ではなく、むしろその最終結果を補完するものです。

モチベーション

高エネルギー素粒子物理学では、散乱実験における様々な結果の確率を計算することに関心が寄せられています。これらの実験は3つの段階に分けられます。

1. 入射する粒子の集合を衝突させる（通常は高エネルギーを持つ 2 種類の粒子）。
2. 入射粒子が相互作用できるようにする。これらの相互作用により、存在する粒子の種類が変化する可能性があります（例えば、電子と陽電子が 対消滅すると、2つの光子が生成される場合があります）。
3. 結果として放出される粒子を測定します。

入射粒子が相互作用を通じて射出粒子へと変化する過程は散乱と呼ばれます。素粒子物理学においては、これらの過程に関する物理理論は、異なる入射粒子が異なるエネルギーで衝突した場合に、異なる射出粒子が生成される確率を計算できなければなりません。

量子場理論におけるS行列はまさにこれを実現する。これらの場合には、小エネルギー密度近似が有効であると仮定される。

使用

S行列は、量子力学における遷移確率振幅や様々な相互作用の断面積と密接に関連しています。S行列の要素（個々の数値エントリ）は散乱振幅として知られています。複素エネルギー平面におけるS行列の極は、束縛状態、仮想状態、または共鳴として識別されます。複素エネルギー平面におけるS行列の分岐は、散乱チャネルの開口部と関連付けられています。

量子場の理論におけるハミルトニアンアプローチでは、 S行列は相互作用描像における積分ハミルトニアンの時間順 指数として計算される。また、ファインマン経路積分を用いて表すこともできる。どちらの場合も、S行列の摂動計算はファインマン図をもたらす。

散乱理論において、S行列は、ハイゼンベルク描像において自由粒子の入射状態を自由粒子の出射状態（散乱チャネル）に写像する演算子です。これは、相互作用（少なくとも最も興味深い相互作用は）を正確に記述できないことが多いため、非常に有用です。

1次元量子力学では

説明のため、まずS行列が2次元である単純なプロトタイプを考える。このプロトタイプでは、鋭いエネルギーEを持つ粒子が、1次元量子力学の法則に従って局在ポテンシャルVから散乱する。この単純なモデルは、より一般的なケースの特徴をいくつか示しているが、扱いやすい。

各エネルギーE は、 Vに依存する行列S = S ( E )を生成します。したがって、比喩的に言えば、適切な基底において、与えられたVに対して、対角線上の2 × 2ブロックを除くすべての要素がゼロである「連続行列」として、全体のS行列を視覚化することができます。

意味

エネルギーEの量子粒子ビームが入射する局所的な1次元ポテンシャル障壁 V ( x )を考える。これらの粒子はポテンシャル障壁に対して左から右へ入射する。

ポテンシャル障壁の外側におけるシュレーディンガー方程式の解は、 ポテンシャル障壁の左側の領域では 、 右側の領域では で与えられる 平面波です。ここで は波動ベクトル です。時間依存性は概要では不要なので省略します。係数Aの項は入射波を表し、係数Cの項は出射波を表します。Bは反射波を表します。入射波は正方向（左から）に移動するものとして設定しているため、Dはゼロであり省略できます。 $${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}}$$ $${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx}}$$ $${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}}$$

「散乱振幅」、すなわち出射波と入射波の遷移の重なりは、S行列を定義する線形関係である。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix}}.}$$

上記の関係は次のように表すことができます。 ここで、 S の要素はポテンシャル障壁V ( x )の散乱特性を完全に特徴付けます。 $${\displaystyle \Psi _{\rm {out}}=S\Psi _{\rm {in}}}$$ $${\displaystyle \Psi _{\rm {out}}={\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}},\quad \Psi _{\rm {in}}={\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix}},\qquad S={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}.}$$

単一性

S行列のユニタリー性は、量子力学における確率流の保存に直接関係しています。

波動関数ψ ( x )の確率電流密度Jは次のように定義される。 障壁の左側 の 確率電流密度は、障壁の右側 の 確率電流密度は、 $${\displaystyle J={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\right).}$$ ${\displaystyle J_{\rm {L}}(x)}$ ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)}$ $${\displaystyle J_{\rm {L}}(x)={\frac {\hbar k}{m}}\left(|A|^{2}-|B|^{2}\right),}$$ ${\displaystyle J_{\rm {R}}(x)}$ ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)}$ $${\displaystyle J_{\rm {R}}(x)={\frac {\hbar k}{m}}\left(|C|^{2}-|D|^{2}\right).}$$

確率電流の保存則では、J _L = J _Rとなる。これはS行列がユニタリ行列であることを意味する。

証拠

$${\displaystyle {\begin{aligned}&J_{\rm {L}}=J_{\rm {R}}\\&|A|^{2}-|B|^{2}=|C|^{2}-|D|^{2}\\&|B|^{2}+|C|^{2}=|A|^{2}+|D|^{2}\\&\Psi _{\text{out}}^{\dagger }\Psi _{\text{out}}=\Psi _{\text{in}}^{\dagger }\Psi _{\text{in}}\\&\Psi _{\text{in}}^{\dagger }S^{\dagger }S\Psi _{\text{in}}=\Psi _{\text{in}}^{\dagger }\Psi _{\text{in}}\\&S^{\dagger }S=I\\\end{aligned}}}$$

時間反転対称性

ポテンシャルV ( x )が実数の場合、系は時間反転対称性を持つ。この条件下では、ψ ( x )がシュレーディンガー方程式の解であれば、ψ *( x )も解となる。

時間反転解は、 ポテンシャル障壁の左側の領域では 、 ポテンシャル障壁の右側の領域では で与えられます。ここで、係数B *、C *の項は入射波を表し、係数A *、D *の項は出射波を表します。 $${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=A^{*}e^{-ikx}+B^{*}e^{ikx}}$$ $${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)=C^{*}e^{-ikx}+D^{*}e^{ikx}}$$

これらは再びS行列によって関連づけられる。 つまり 、これらの関係 を合わせると条件が得られる。 この条件は、ユニタリー関係と相まって、時間反転対称性の結果として S行列が対称であることを意味する。$${\displaystyle {\begin{pmatrix}A^{*}\\D^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{*}\\C^{*}\end{pmatrix}}\,}$$
$${\displaystyle \Psi _{\rm {in}}^{*}=S\Psi _{\rm {out}}^{*}.}$$ $${\displaystyle \Psi _{\rm {in}}^{*}=S\Psi _{\rm {out}}^{*},\quad \Psi _{\rm {out}}=S\Psi _{\rm {in}}}$$ $${\displaystyle S^{*}S=I}$$ $${\displaystyle S^{T}=S.}$$

対称性とユニタリー性を組み合わせることで、S行列は次のように表すことができます。 ここで、および です。つまり、S行列は3つの実パラメータによって決定されます。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e^{i\varphi }e^{i\delta }\cdot r&e^{i\varphi }{\sqrt {1-r^{2}}}\\e^{i\varphi }{\sqrt {1-r^{2}}}&-e^{i\varphi }e^{-i\delta }\cdot r\end{pmatrix}}=e^{i\varphi }{\begin{pmatrix}e^{i\delta }\cdot r&{\sqrt {1-r^{2}}}\\{\sqrt {1-r^{2}}}&-e^{-i\delta }\cdot r\end{pmatrix}}}$$ ${\displaystyle \delta ,\varphi \in [0;2\pi ]}$ ${\displaystyle r\in [0;1]}$

転送行列

伝達行列は 散乱ポテンシャルの右側の平面波と左側の平面波とを関連付けます。 [ 5 ^]${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Ce^{ikx}}$ ${\displaystyle De^{-ikx}}$ ${\displaystyle Ae^{ikx}}$ ${\displaystyle Be^{-ikx}}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}\\M_{21}&M_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}}}$$ そしてその成分はS行列の成分から次のように導くことができる: ^[6] および、ここで時間反転対称性が仮定されている。 ${\displaystyle M_{11}=1/S_{12}^{*}=1/S_{21}^{*}{,}\ M_{22}=M_{11}^{*}}$ ${\displaystyle M_{12}=-S_{11}^{*}/S_{12}^{*}=S_{22}/S_{12}{,}\ M_{21}=M_{12}^{*}}$

時間反転対称性の場合、転送行列は3つの実パラメータで表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {M} }$

$${\displaystyle M={\frac {1}{\sqrt {1-r^{2}}}}{\begin{pmatrix}e^{i\varphi }&-r\cdot e^{-i\delta }\\-r\cdot e^{i\delta }&e^{-i\varphi }\end{pmatrix}}}$$ （r = 1の場合、左側と右側の間に接続はありません） ${\displaystyle \delta ,\varphi \in [0;2\pi ]}$ ${\displaystyle r\in [0;1]}$

有限平方井戸

質量 m を持つ粒子が (静的な)有限の正方形井戸に近づく場合の時間反転対称性に関する 1 次元の非相対論的問題には、次の式で 表されるポテンシャル関数Vがあります 。散乱は、自由粒子の波束を、左側 (遠く離れた側) または右側 (遠く離れた側) から来る平面波の波数を持つ平面波に分解することで解決できます。 $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}-V_{0}&{\text{for}}~~|x|\leq a~~(V_{0}>0)\quad {\text{and}}\\[1ex]0&{\text{for}}~~|x|>a\end{cases}}}$$ ${\displaystyle A_{k}\exp(ikx)}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle D_{k}\exp(-ikx)}$

波数kの平面波のS行列の解は^[6] であり  、したがって、であり、したがって 、この場合はである。 $${\displaystyle S_{12}=S_{21}={\frac {\exp(-2ika)}{\cos(2la)-i\sin(2la){\frac {l^{2}+k^{2}}{2kl}}}}}$$ ${\displaystyle S_{11}=S_{12}\cdot i\sin(2la){\frac {l^{2}-k^{2}}{2kl}}}$ ${\displaystyle e^{i\delta }=\pm i}$ ${\displaystyle -e^{-i\delta }=e^{i\delta }}$ ${\displaystyle S_{22}=S_{11}}$

ここで、平面波に関連付けられたエネルギー固有値は一定に保たれる必要があるため、正方形井戸内の平面波の（増加した）波数は次のようになります。${\displaystyle l={\sqrt {k^{2}+{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}}$ ${\displaystyle E_{k}}$ ${\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}l^{2}}{2m}}-V_{0}}$

トランスミッションは${\displaystyle T_{k}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}={\frac {1}{(\cos(2la))^{2}+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}+k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}={\frac {1}{1+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}-k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}}$

の場合、したがって、波数kの平面波は、反射せずに井戸を通過します。${\displaystyle \sin(2la)=0}$ ${\displaystyle \cos(2la)=\pm 1}$ ${\displaystyle S_{11}=S_{22}=0}$ ${\displaystyle |S_{21}|=|S_{12}|=1}$ ${\displaystyle k^{2}+{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{4a^{2}}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

有限正方形バリア

正方形のバリアは正方形の井戸に似ていますが、の場合と の場合で違いがあります。 ${\displaystyle V(x)=+V_{0}>0}$ ${\displaystyle |x|\leq a}$

障壁から遠く離れた 平面波（波数kまたは−k ）のエネルギー固有値に応じて、3つの異なるケースがあります。${\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$

• ${\displaystyle E_{k}>V_{0}}$ : この場合、およびの式は正方形井戸の場合と同じ形になり、透過率は${\displaystyle l={\sqrt {k^{2}-{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}}$ ${\displaystyle S_{ij}}$ ${\displaystyle T_{k}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}={\frac {1}{1+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}-k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}}$
• ${\displaystyle E_{k}=V_{0}}$ : この場合、波動関数は障壁の内側での 性質を持ち、${\displaystyle {\sqrt {k^{2}-{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}=0}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \psi ''(x)=0}$

  ${\displaystyle S_{12}=S_{21}={\frac {\exp(-2ika)}{1-ika}}}$ そして${\displaystyle S_{11}=S_{22}={\frac {-ika\cdot \exp(-2ika)}{1-ika}}}$

  伝達関数は次のようになります。この中間的なケースは特異なものではなく、両側からの極限値（それぞれ）です。${\displaystyle T_{k}={\frac {1}{1+k^{2}a^{2}}}}$ ${\displaystyle l\to 0}$ ${\displaystyle \kappa \to 0}$
• ${\displaystyle E_{k}<V_{0}}$ :この場合、 は虚数です。したがって、障壁内の波動関数は と の成分を持ちます。 ${\displaystyle {\sqrt {k^{2}-{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}}$ ${\displaystyle e^{\kappa x}}$ ${\displaystyle e^{-\kappa x}}$ ${\displaystyle \kappa ={\sqrt {{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}}}}$

  S行列の解は次の通りである: ^[7] ${\displaystyle S_{12}=S_{21}={\frac {\exp(-2ika)}{\cosh(2\kappa a)-i\sinh(2\kappa a){\frac {k^{2}-{\kappa }^{2}}{2k\kappa }}}}}$

  同様に、この場合も同様です。 ${\displaystyle S_{11}=-i{\frac {k^{2}+\kappa ^{2}}{2k\kappa }}\sinh(2\kappa a)\cdot S_{12}}$ ${\displaystyle S_{22}=S_{11}}$

  トランスミッションは です。${\displaystyle T_{k}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}={\frac {1}{1+(\sinh(2\kappa a))^{2}{\frac {(k^{2}+\kappa ^{2})^{2}}{4k^{2}\kappa ^{2}}}}}}$

透過係数と反射係数

ポテンシャル障壁の左側からの透過係数は、D = 0のとき、 $${\displaystyle T_{\rm {L}}={\frac {|C|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{21}|^{2}.}$$

ポテンシャル障壁の左側からの反射係数は、D = 0のとき、 $${\displaystyle R_{\rm {L}}={\frac {|B|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{11}|^{2}.}$$

同様に、ポテンシャル障壁の右側からの透過係数は、A = 0のとき、 $${\displaystyle T_{\rm {R}}={\frac {|B|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{12}|^{2}.}$$

ポテンシャル障壁の右側からの反射係数は、A = 0のとき、 $${\displaystyle R_{\rm {R}}={\frac {|C|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{22}|^{2}.}$$

透過係数と反射係数の関係は、 であり、 この恒等式はS行列 のユニタリー性特性の結果です。 $${\displaystyle T_{\rm {L}}+R_{\rm {L}}=1}$$ $${\displaystyle T_{\rm {R}}+R_{\rm {R}}=1.}$$

時間反転対称性により、S 行列は対称となり、したがって および となります。 ${\displaystyle T_{\rm {L}}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}=T_{\rm {R}}}$ ${\displaystyle R_{\rm {L}}=R_{\rm {R}}}$

一次元における光学定理

自由粒子 V ( x ) = 0の場合、S行列は^[8] である。しかし、 V ( x )が0と異なる 場合、 S行列は上記の形から ずれる。このずれは、エネルギーの2つの複素関数rとt によってパラメータ化される。ユニタリー性から、これら2つの関数の間には、 $${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle S={\begin{pmatrix}2ir&1+2it\\1+2it&2ir^{*}{\frac {1+2it}{1-2it^{*}}}\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle |r|^{2}+|t|^{2}=\operatorname {Im} (t).}$$

この恒等式の 3 次元における類似物は光学定理として知られています。

量子場理論における定義

インタラクション画像

S行列を定義する簡単な方法は、相互作用図を考えることから始まる。^[9]ハミルトニアンH を自由部分H ₀と相互作用Vに分割すると、H = H ₀ + Vとなる。この図では、演算子は自由場演算子として動作し、状態ベクトルは相互作用Vに応じたダイナミクスを持つ。 を自由な初期状態から発展した状態とすると、 S行列要素は、この状態の最終状態への射影として定義される。 したがって、 ここでSはS 演算子である。この定義の大きな利点は、相互作用図で状態を発展させる時間発展演算子U が正式にわかっていることである。 ^[10] ここでT は時間順序付けされた積を表す。この演算子で表現され、 そこから Uについての知識を使って展開するとダイソン級数が得られる。 または、V がハミルトニアン密度 として与えられる場合は、 $${\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle }$$ $${\displaystyle \left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle .}$$ $${\displaystyle \left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|.}$$ $${\displaystyle S_{\rm {fi}}\equiv \lim _{t\rightarrow +\infty }\left\langle \Phi _{\rm {f}}|\Psi (t)\right\rangle \equiv \left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|S\left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle ,}$$ $${\displaystyle U(t,t_{0})=Te^{-i\int _{t_{0}}^{t}d\tau V(\tau )},}$$ $${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\lim _{t_{2}\rightarrow +\infty }\lim _{t_{1}\rightarrow -\infty }\left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|U(t_{2},t_{1})\left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle ,}$$ $${\displaystyle S=U(\infty ,-\infty ).}$$ $${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dt_{1}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dt_{n}T\left[V(t_{1})\cdots V(t_{n})\right],}$$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ $${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(x_{1})\cdots {\mathcal {H}}(x_{n})\right].}$$

Sは特別な時間発展演算子であるため、ユニタリである。任意の初期状態と任意の終了状態に対して、 $${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\left\langle \Phi _{\rm {f}}|S|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle =\left\langle \Phi _{\rm {f}}\left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(x_{1})\cdots {\mathcal {H}}(x_{n})\right]\right|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle .}$$

このアプローチは、潜在的な問題を覆い隠してしまうという点で、いくぶんナイーブと言えるでしょう。^[11]これは意図的なものです。このアプローチは実際には機能しており、技術的な問題のいくつかは他のセクションで取り上げられています。

州内と州外

ここでは、上記の相互作用描像アプローチでは考慮されなかった潜在的な問題に対処するため、やや厳密なアプローチが採用されています。最終的な結果は、もちろん、より迅速な方法を採用した場合と同じです。そのためには、in状態とout状態の概念が必要になります。これらは、真空状態と自由粒子状態の2つの方法で展開されます。言うまでもなく、これら2つのアプローチは同等ですが、異なる角度から問題を解明します。

真空から

もしa ^† ( k )が生成演算子ならば、そのエルミート随伴演算子は消滅演算子であり、真空を破壊する。 $${\displaystyle a(k)\left|*,0\right\rangle =0.}$$

ディラック表記法では、 真空量子状態、すなわち実粒子のない状態 として定義します。アスタリスクは、すべての真空が必ずしも等しいわけではなく、ヒルベルト空間の零状態0とは決して等しくないことを意味します。すべての真空状態はポアンカレ不変、つまり並進、回転、ブーストに対して不変であると仮定されます^[11]。正式には、 P ^μは空間および時間における並進の生成元であり 、M μν^はローレンツ変換の生成元です。したがって、真空の記述は参照フレームに依存しません。定義される入状態と出状態に関連付けられているのは、入場演算子Φ _iと出場演算子(別名場) Φ _oです。ここでは、表記法の煩雑さを最小限に抑えて例示するために、最も単純なケース、つまりスカラー理論に注目します。入場と出場は、 自由クラインとゴルドン方程式を満たします。これらの場は自由場と同じ等時間交換関係（ETCR）を持つと仮定される。 ここでπ _{i , j}はΦ _{i , j}と共役な場である。入場と出場には、同じヒルベルト空間[ ^12]で2つの異なる完全集合（フォック空間、初期空間i、最終空間f ）に作用する生成消滅演算子の2つのセットa ^† _i ( k )とa ^† _f ( k )が関連付けられている。これらの演算子は通常の交換規則を満たす。 $${\displaystyle |*,0\rangle }$$ $${\displaystyle P^{\mu }|*,0\rangle =0,\quad M^{\mu \nu }|*,0\rangle =0}$$ $${\displaystyle (\Box ^{2}+m^{2})\phi _{\rm {i,o}}(x)=0,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ),\\{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\phi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&={[\pi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}=0,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ')]}&=i\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} ),\\{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p'} )]}&={[a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p'} )]}=0.\end{aligned}}}$$

生成演算子がそれぞれの真空および状態（入口状態と出口状態に有限個の粒子が存在する場合）に及ぼす作用素は、正規化の問題を無視して次のように与えられる 。一般的なn粒子状態が どのように正規化されるかについては、次の節で詳しく説明する。初期空間と最終空間は次のように定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle &=a_{i}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|i,0\right\rangle ,\\\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle &=a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{f}^{\dagger }(p_{n})\left|f,0\right\rangle ,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {i}}=\operatorname {span} \{\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|\mathrm {i} ,0\right\rangle \},}$$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {f}}=\operatorname {span} \{\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{n})\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \}.}$$

漸近状態は明確に定義されたポアンカレ変換特性を持つと仮定される。つまり、一粒子状態の直積として変換すると仮定される。^[13]これは非相互作用場の特性である。このことから、漸近状態はすべて運動量演算子P ^μの固有状態であることが分かる。^[11] 特に、それらは完全ハミルトニアンの固有状態である。 $${\displaystyle P^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle =k_{1}^{\mu }+\cdots +k_{m}^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle ,\quad P^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =p_{1}^{\mu }+\cdots +p_{n}^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle .}$$ $${\displaystyle H=P^{0}.}$$

真空は通常、安定かつ唯一であると仮定されている。^{[11] [注1]} $${\displaystyle |\mathrm {i} ,0\rangle =|\mathrm {f} ,0\rangle =|*,0\rangle \equiv |0\rangle .}$$

相互作用は断熱的にオンとオフになるものと想定されます。

ハイゼンベルク像

これ以降はハイゼンベルク描像を採用する。この描像では、状態は時間に依存しない。したがって、ハイゼンベルク状態ベクトルは粒子系の完全な時空履歴を表す。^[13] in 状態と out 状態のラベル付けは、漸近的な出現を指す。状態Ψ _{α , in は、}t → −∞のときに粒子内容がαによって集合的に表されるものであることによって特徴付けられる。同様に、状態Ψ _{β , out は、} t → +∞に対してβによって表される粒子内容を持つ。in 状態と out 状態、および相互作用状態が同じヒルベルト空間に存在するという仮定を使用し、正規化された in 状態と out 状態の完全性を仮定すると (漸近的完全性の公理^[11] )、初期状態を最終状態の基底で展開することができる (またはその逆)。明示的な表現は、より多くの表記法と用語が導入された後で示される。展開係数は、以下で定義される S行列要素とまったく同じである。

ハイゼンベルク描像では状態ベクトルは時間に対して一定ですが、それが表す物理的状態はそうではありません。システムがt = 0 の時点で状態Ψにあることが判明した場合、 t = τの時点で状態U ( τ )Ψ = e ^{− iHτ} Ψにあることが分かります。これは (必ずしも) 同じハイゼンベルク状態ベクトルではありませんが、等価な状態ベクトルであり、測定時に、非ゼロの係数を持つ展開からの最終状態の 1 つであることがわかることを意味します。τを変化させると、観測されたΨ (測定されていない) が確かにシュレーディンガー描像の状態ベクトルであることがわかります。測定を十分な回数繰り返して平均化すると、 t = τの時点でt = 0の時点と同じ状態ベクトルが実際に見つかると言えます。これは、上記の in 状態から out 状態への展開を反映しています。

自由粒子状態から

この観点から、典型的な散乱実験がどのように行われるかを検討する必要がある。最初の粒子は、相互作用しないほど遠く離れた、明確に定義された状態に準備される。何らかの方法で相互作用するように仕向けられ、最後の粒子は、相互作用しなくなるほど遠く離れた時点で記録される。その考え方は、ハイゼンベルク描像において、遠い過去に自由粒子状態として現れた状態を探すことである。これが「in状態」となる。同様に、「out状態」とは、遠い未来に自由粒子状態として現れた状態である。^[13]

この節の一般的な参考文献であるWeinberg (2002)の表記法を用いる。一般的な非相互作用多粒子状態は 次 のように表される。$${\displaystyle \Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots },}$$

• pは運動量、
• σはスピンZ成分、または質量がゼロの場合はヘリシティ、
• nは粒子種です。

これらの状態は、 として正規化されます 。 順列は次のように機能します。 s ∈ S _kがk個のオブジェクトの順列( k粒子状態の場合) である場合、 非ゼロの項が生成されます。 s が奇数のフェルミオン転置を含む 場合を除き、符号はプラスです。奇数のフェルミオン転置を含む場合はマイナスです。 表記は通常省略され、1 つのギリシャ文字で状態を記述するコレクション全体を表します。省略された形式では、正規化は次のようになります 。 自由粒子状態にわたって積分する場合、この表記法で次のように書きます 。ここで、和には、粒子タイプ インデックスの順列を法として等しい項が 2 つ存在しない項のみが含まれます。 求められる状態の集合は完全であると想定されます。 これは と表現され、 次のように言い換えることができます。 ここで、各固定されたαに対して、右辺は状態αへの射影演算子です。 不同次ローレンツ変換(Λ, a )の下では、フィールドは次の規則に従って変換されます。 $${\displaystyle \left(\Psi _{p_{1}'\sigma _{1}'n_{1}';p_{2}'\sigma _{2}'n_{2}';\cdots },\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots }\right)=\delta ^{3}(\mathbf {p} _{1}'-\mathbf {p} _{1})\delta _{\sigma _{1}'\sigma _{1}}\delta _{n_{1}'n_{1}}\delta ^{3}(\mathbf {p} _{2}'-\mathbf {p} _{2})\delta _{\sigma _{2}'\sigma _{2}}\delta _{n_{2}'n_{2}}\cdots \quad \pm {\text{ permutations}}.}$$ $${\displaystyle n_{s(i)}'=n_{i},\quad 1\leq i\leq k,}$$ $${\displaystyle \left(\Psi _{\alpha '},\Psi _{\alpha }\right)=\delta (\alpha '-\alpha ).}$$ $${\displaystyle d\alpha \cdots \equiv \sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots ,}$$ $${\displaystyle \Psi =\int d\alpha \ \Psi _{\alpha }\left(\Psi _{\alpha },\Psi \right),}$$ $${\displaystyle \int d\alpha \ \left|\Psi _{\alpha }\right\rangle \left\langle \Psi _{\alpha }\right|=1,}$$

$${\displaystyle U(\Lambda ,a)\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2}\cdots }=e^{-ia_{\mu }((\Lambda p_{1})^{\mu }+(\Lambda p_{2})^{\mu }+\cdots )}{\sqrt {\frac {(\Lambda p_{1})^{0}(\Lambda p_{2})^{0}\cdots }{p_{1}^{0}p_{2}^{0}\cdots }}}\sum _{\sigma _{1}'\sigma _{2}'\cdots }D_{\sigma _{1}'\sigma _{1}}^{(j_{1})}(W(\Lambda ,p_{1}))D_{\sigma _{2}'\sigma _{2}}^{(j_{2})}(W(\Lambda ,p_{2}))\cdots \Psi _{\Lambda p_{1}\sigma _{1}'n_{1};\Lambda p_{2}\sigma _{2}'n_{2}\cdots },}$$

1

ここで、 W (Λ, p )はウィグナー回転、D ^{( j )}はSO(3)の(2 j + 1)次元表現です。Λ = 1、a = ( τ、 0、 0、 0)（Uはexp( iHτ ) ）と置くと、次式が成り立ちます。 したがって、求められる入力状態と出力状態は、混合粒子エネルギー項が存在しないため、 必然的に相互作用しない完全ハミルトニアンの固有状態です。 上のセクションの議論では、入力状態Ψ ⁺と出力状態Ψ ^{− は} 、大きな正と負のτに対して、 gで表される自由粒子状態の対応するパッケージの外観を持つようなものでなければならないことが 示されています。 gは滑らかで、運動量に適切に局在していると仮定します。波のパッケージが必要です。そうでなければ、時間発展は自由粒子を示す位相因子のみを生成し、そうはなりません。右辺は、上記のように、入状態と出状態がハミルトニアンの固有状態であることから導かれる。この要件を形式化するために、完全なハミルトニアンHを自由粒子ハミルトニアンH ₀と相互作用V（H = H ₀ + V）の2つの項に分割できると仮定する。この場合、 H ₀の固有状態Φ _{γ は}、正規化とローレンツ変換の性質に関して、入状態と出状態と同じ様相を示す。 $${\displaystyle H\Psi =E_{\alpha }\Psi ,\quad E_{\alpha }=p_{1}^{0}+p_{2}^{0}+\cdots ,}$$ $${\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\alpha e^{-iE_{\alpha }\tau }g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }}$$ $${\displaystyle H_{0}\Phi _{\alpha }=E_{\alpha }\Phi _{\alpha },}$$ $${\displaystyle (\Phi _{\alpha }',\Phi _{\alpha })=\delta (\alpha '-\alpha ).}$$

in 状態と out 状態は、それぞれ τ → −∞またはτ → +∞ を 満足する 完全ハミルトニアンの固有状態として定義されます 。 を定義して 、 この最後の式は、波パッケージを使用する場合にのみ機能します。これらの定義から、in 状態と out 状態は自由粒子状態と同じ方法で正規化され、 3 つのセットはユニタリに等価であることがわかります。次に、固有値方程式を書き直します。 ここで、 ± iε項が追加され、LHS の演算子が可逆になります。in 状態と out 状態はV → 0に対して自由粒子状態に簡約されるため、 RHS にを代入して次の式を取得します。 次に、自由粒子状態の完全性を使用して、 最終的に次の式を取得します。 ここで、H ₀は自由粒子状態に関するその固有値に置き換えられています。これがリップマン・シュウィンガー方程式です。 $${\displaystyle H\Psi _{\alpha }^{\pm }=E_{\alpha }\Psi _{\alpha }^{\pm },}$$ $${\displaystyle e^{-iH\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Psi _{\alpha }^{\pm }\rightarrow e^{-iH_{0}\tau }\int d\alpha \ g(\alpha )\Phi _{\alpha }.}$$ $${\displaystyle \Omega (\tau )\equiv e^{+iH\tau }e^{-iH_{0}\tau },}$$ $${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Omega (\mp \infty )\Phi _{\alpha }.}$$ $${\displaystyle (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{+})=(\Phi _{\beta },\Phi _{\alpha })=(\Psi _{\beta }^{-},\Psi _{\alpha }^{-})=\delta (\beta -\alpha ),}$$ $${\displaystyle (E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )\Psi _{\alpha }^{\pm }=\pm i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }+V\Psi _{\alpha }^{\pm },}$$ $${\displaystyle i\epsilon \Psi _{\alpha }^{\pm }=i\epsilon \Phi _{\alpha }}$$ $${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+(E_{\alpha }-H_{0}\pm i\epsilon )^{-1}V\Psi _{\alpha }^{\pm }.}$$ $${\displaystyle V\Psi _{\alpha }^{\pm }=\int d\beta \ (\Phi _{\beta },V\Psi _{\alpha }^{\pm })\Phi _{\beta }\equiv \int d\beta \ T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta },}$$ $${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{\pm }=\Phi _{\alpha }+\int d\beta \ {\frac {T_{\beta \alpha }^{\pm }\Phi _{\beta }}{E_{\alpha }-E_{\beta }\pm i\epsilon }}.}$$

参加州を参加していない州として表記

初期状態は最終状態の基底に展開できます（またはその逆）。完全性関係を用いると、 | C _m | ² は相互作用が に 変換する確率です。 量子力学の通常の法則によれば、 展開 係数はまさに以下で定義される S行列要素です。$${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\int d\beta (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+}=\int d\beta |\Psi _{\beta }^{+}\rangle \langle \Psi _{\beta }^{+}|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =\sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots (\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})\Psi _{\beta }^{+},}$$ $${\displaystyle \Psi _{\alpha }^{-}=\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }~,}$$ $${\displaystyle \left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =\Psi _{\alpha }^{-}}$$ $${\displaystyle \left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle =\Psi _{\beta }^{+}.}$$ $${\displaystyle C_{m}(p_{1}\ldots p_{m})=\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\rangle =(\Psi _{\beta }^{+},\Psi _{\alpha }^{-})}$$ $${\displaystyle \left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =C_{0}\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \ +\sum _{m=1}^{\infty }\int {d^{4}p_{1}\ldots d^{4}p_{m}\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right\rangle }\left\langle \mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{m}\right|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\rangle ~.}$$

S-マトリックス

S行列は^[13]によって定義される。 $${\displaystyle S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =\langle \mathrm {f} ,\beta |\mathrm {i} ,\alpha \rangle ,\qquad |\mathrm {f} ,\beta \rangle \in {\mathcal {H}}_{\rm {f}},\quad |\mathrm {i} ,\alpha \rangle \in {\mathcal {H}}_{\rm {i}}.}$$

ここでαとβは粒子の内容を表す略記であり、個々のラベルは省略される。S行列にはS演算子S が^[13] で定義され、_Φγは 自由粒子状態である。^{[13] [注2]}この定義は相互作用描像で用いられる直接的なアプローチと整合している。また、ユニタリ同値性により、 $${\displaystyle \langle \Phi _{\beta }|S|\Phi _{\alpha }\rangle \equiv S_{\beta \alpha },}$$ $${\displaystyle \langle \Psi _{\beta }^{+}|S|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle =S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle .}$$

物理的な要件として、Sはユニタリ演算子でなければならない。これは量子場理論における確率保存則の記述である。しかし 、完全性により、 Sはイン状態からアウト状態へのユニタリ変換となる。ローレンツ不変性はS行列におけるもう一つの重要な要件である 。[ 13 ^{] [注3]} S演算子は、初期のイン状態から最終的なアウト状態への量子正準変換を表す。さらに、Sは真空状態を不変に保ち、イン空間場をアウト空間場に変換する。 ^[注4]$${\displaystyle \langle \Psi _{\beta }^{-}|S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =S_{\beta \alpha }=\langle \Psi _{\beta }^{-}|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle .}$$ $${\displaystyle S|\Psi _{\alpha }^{-}\rangle =|\Psi _{\alpha }^{+}\rangle ,}$$ $${\displaystyle S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle }$$ $${\displaystyle \phi _{\mathrm {f} }=S\phi _{\mathrm {i} }S^{-1}~.}$$

生成消滅演算子の観点から見ると、これは 次のよう になる。Sが出力状態の左に作用する 場合も同様の式が成り立つ。つまり、S行列は次のように表せる 。$${\displaystyle a_{\rm {f}}(p)=Sa_{\rm {i}}(p)S^{-1},a_{\rm {f}}^{\dagger }(p)=Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(p)S^{-1},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S|\mathrm {i} ,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle &=Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})S^{-1}Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{2})S^{-1}\cdots Sa_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})S^{-1}S|0\rangle \\[1ex]&=a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{n})S|0\rangle =a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{1})a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{2})\cdots a_{\rm {o}}^{\dagger }(k_{n})|0\rangle =|\mathrm {o} ,k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\rangle .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle S_{\beta \alpha }=\langle \mathrm {o} ,\beta |\mathrm {i} ,\alpha \rangle =\langle \mathrm {i} ,\beta |S|\mathrm {i} ,\alpha \rangle =\langle \mathrm {o} ,\beta |S|\mathrm {o} ,\alpha \rangle .}$$

S が相互作用を正しく記述する 場合、次の特性も真である必要があります。

• 系が運動量固有状態| k ⟩にある単一の粒子で構成されている場合、S | k ⟩ = | k ⟩となります。これは上記の計算から特別なケースとして導かれます。
• S行列の要素は、出力状態の全運動量が入力状態の全運動量と同じ場合にのみ非ゼロとなる。これは、 S行列に要求されるローレンツ不変性から導かれる。

進化演算子あなた

時間依存の生成消滅演算子を以下のように定義する。 つまり 、 $${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }{\left(k,t\right)}&=U^{-1}(t)\,a_{\rm {i}}^{\dagger }{\left(k\right)}\,U{\left(t\right)}\\[1ex]a{\left(k,t\right)}&=U^{-1}(t)\,a_{\rm {i}}{\left(k\right)}\,U{\left(t\right)}\,,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \phi _{\rm {f}}=U^{-1}(\infty )\phi _{\rm {i}}U(\infty )=S^{-1}\phi _{\rm {i}}S~,}$$ $${\displaystyle S=e^{i\alpha }\,U(\infty ).}$$

位相差は S に対して次のように表されるので、 $${\displaystyle e^{i\alpha }=\left\langle 0|U(\infty )|0\right\rangle ^{-1}~,}$$ $${\displaystyle S\left|0\right\rangle =\left|0\right\rangle \Longrightarrow \left\langle 0|S|0\right\rangle =\left\langle 0|0\right\rangle =1~.}$$

Uの明示的な表現を代入すると、次の式が得られます。 ここで、はハミルトニアンの相互作用部分であり、は時間順序です。 $${\displaystyle S={\frac {1}{\left\langle 0|U(\infty )|0\right\rangle }}{\mathcal {T}}e^{-i\int {d\tau H_{\rm {int}}(\tau )}}~,}$$ ${\displaystyle H_{\rm {int}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

調べてみると、この式は明示的に共変ではないことがわかります。

ダイソンシリーズ

S行列を表す最も広く用いられている表現はダイソン級数です。これはS行列演算子を次の級数で表します。 ここで、 $${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int \cdots \int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\ldots d^{4}x_{n}T[{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{1}){\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{2})\cdots {\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x_{n})]}$$

• ${\displaystyle T[\cdots ]}$ 時間順序を表します。
• ${\displaystyle \;{\mathcal {H}}_{\rm {int}}(x)}$ 理論における相互作用を記述する相互作用ハミルトン密度を表します。

ない-S-マトリックス

ブラックホールからホーキング放射への粒子の変換はS行列では記述できなかったため、スティーブン・ホーキングは「非S行列」を提案した。彼はこれにドル記号（$）を使用し、「ドル行列」とも呼ばれた。^[14]

参照

• 数学ポータル

• ファインマン図
• LSZ削減式
• ウィックの定理
• ハーグの定理
• インタラクション画像
• レビンソンの定理
• 初期状態と最終状態の放射
• パウリ行列

備考

1. 開放系を研究する場合は、これは当てはまりません。外部場の影響下では、外部場が粒子を生成する可能性があるため、真空の入口と出口の真空度が異なる場合があります。
2. ここでは、完全なハミルトニアン Hが自由粒子ハミルトニアンH ₀と相互作用V（H = H ₀ + V）の2つの項に分割でき、 H ₀の固有状態Φ _γが正規化とローレンツ変換の性質に関して、入状態および出状態と同じ様相を示すと仮定する。Weinberg (2002)、110ページを参照。
3. Λが（非同次）適切な直交ローレンツ変換である場合、ウィグナーの定理は、H _iまたはH _fのいずれかに作用するユニタリ演算子U (Λ)の存在を保証します。同じU (Λ) がH _iとH _fに作用する場合、理論はローレンツ不変であると言われています。 U (Λ)のユニタリー性を使用すると、S _βα = ⟨ i、β | f、α ⟩ = ⟨ i、β | U (Λ) ^† U (Λ)| f、α ⟩となります。右辺は、相互作用しない状態がどのように変換されるかについての知識を使用して展開して式を取得でき、その式は、S行列がローレンツ不変であることを意味する定義としてとらえられます。Weinberg（2002）を参照、式3.3.1は明示的な形式を示しています。
4. ここでは漸近完全性の公理が用いられている。入状態と出状態は同じヒルベルト空間を張り、これは相互作用理論のヒルベルト空間と一致すると仮定されている。これは自明な公理ではない。粒子が束縛状態に永久的に結合できる場合、ヒルベルト空間の構造は変化する。Greiner & Reinhardt 1996、第9.2節を参照。

注記

1. ポール・ディラック (1927-08-01)。"Über die Quantenmechanik der Stoßvorgänge"。Zeitschrift für Physik (ドイツ語)。44 (8): 585–595。Bibcode :1927ZPhy...44..585D。土井：10.1007/BF01451660。ISSN  0044-3328。
2. Sanyuk, Valerii I.; Sukhanov, Alexander D. (2003-09-01). 「20世紀物理学におけるディラック：100周年記念評価」 . Physics-Uspekhi . 46 (9): 937– 956. doi :10.1070/PU2003v046n09ABEH001165. ISSN  1063-7869.
3. ジョン・アーチボルド・ホイーラー、「共鳴群構造法による軽い核の数学的記述について」、物理学改訂第52巻、1107-1122ページ（1937年）。
4. Jagdish Mehra、Helmut Rechenberg、『量子論の歴史的発展』（990ページと1031ページ）Springer、2001 ISBN 0-387-95086-9、ISBN 978-0-387-95086-0
5. 「任意次元における散乱理論の転送行列定式化」（PDF） . gemma.ujf.cas.cz . 2022年10月29日閲覧。
6. "EE201/MSE207 Lecture 6" (PDF) . intra.ece.ucr.edu . 2022年10月29日閲覧。
7. 「潜在的な障壁」. quantummechanics.ucsd.edu . 2022年11月1日閲覧。
8. Merzbacher 1961 Ch 6. 以下で使用されるより一般的な慣例では、自由粒子の場合にS行列を恒等行列にすることです。
9. Greiner & Reinhardt 1996 セクション8.2。
10. Greiner & Reinhardt 1996 式8.44。
11. Greiner & Reinhardt 1996 第9章。
12. Weinberg 2002 第3章。特にセクション3.2の冒頭のコメントを参照。
13. ワインバーグ 2002 第 3 章.
14. レナード・サスキンド『ブラックホール戦争』第11章。

参考文献

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• メルツバッハー、オイゲン（1961年）、量子力学、ワイリー＆サンズ、第13章、§3; 第19章、§6、ISBN 0-471-59670-1
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• バルット、アシム・オルハン（1967年）『基本粒子の相互作用における散乱行列の理論』マクミラン社。
• アルバート・メサイア（1999年）『量子力学』ドーバー出版ISBN 0-486-40924-4。
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• Greiner, W. ; Reinhardt, J. (1996)、Field Quantization、Springer Publishing、ISBN 3-540-59179-6
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