半導体ブロッホ方程式

半導体の光応答について説明する

半導体 ブロッホ方程式[1]（略して SBE）は、レーザーなどのコヒーレントな古典光源によって励起された半導体の光学応答を記述する。完全な量子論に基づいており、微分微分方程式の閉集合を形成し、微分微分方程式を微分する。 [2] [3] SBE は、古典的な電磁場と相互作用する2準位原子の励起ダイナミクスを記述する光ブロッホ方程式との構造的な類似性から名付けられている。原子論的アプローチを超える大きな複雑さとして、SBE では、電荷間のクーロン力と格子振動と電子の 結合から生じる多体相互作用に対処する必要がある。

背景

半導体の光学応答は、励起電界の関数としてそのマクロ的な分極を決定できれば、次式で表されます。マクロ的な分極とミクロ的な分極の関係は次式で表されます 。 P {\displaystyle \mathbf {P} } E {\displaystyle \mathbf {E} } P {\displaystyle \mathbf {P} } P け {\displaystyle P_{\mathbf {k} }}

P ＝ d ∑ け P け + c 。 c 。 、 {\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {d} \,\sum _{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }+\演算子名 {cc} \;,}

ここで、和は関連するすべての電子状態の結晶運動量を含みます。半導体光学では、通常、価電子帯と伝導帯の間の遷移を励起します。これに関連して、は伝導帯と価電子帯の間の双極子行列要素であり、対応する遷移振幅を定義します。 ℏ け {\displaystyle \hbar {\mathbf {k} }} d {\displaystyle \mathbf {d} } P け {\displaystyle P_{\mathbf {k} }}

SBEの導出は、自由粒子、クーロン相互作用、古典的な光と電子状態間の双極子相互作用、そしてフォノンの寄与を完全に含むシステムハミルトニアンから始まります。[3]多体物理学 ではほとんど常にそうであるように、適切なシステムハミルトニアンが同定された後に第二量子化形式を適用するのが最も便利です。その後、ハイゼンベルクの運動方程式を用いて、関連する観測量の量子力学を導出することができます。 H ^ S y s t e メートル {\displaystyle {\hat {H}}_{\mathrm {システム} }} お ^ {\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}

私 ℏ d d t ⟨ お ^ ⟩ ＝ ⟨ [ お ^ 、 H ^ S y s t e メートル ] − ⟩ 。 {\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle =\langle [{\hat {\mathcal {O}}},{\hat {H}}_{\mathrm {System} }]_{-}\rangle \;.}

内部の多体相互作用により、観測量のダイナミクスは新たな観測量と結合し、方程式構造は閉じた状態を保つことができない。これはよく知られたBBGKY階層問題であり、クラスター展開法などの様々な手法によって体系的に切り捨てることができる。[4] H ^ S y s t e m {\displaystyle {\hat {H}}_{\mathrm {System} }} O ^ {\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}

演算子レベルでは、微視的分極は価電子帯と伝導帯間の単一電子遷移の期待値によって定義されます。第二量子化では、伝導帯電子はそれぞれフェルミオン 生成演算子と消滅演算子 とによって定義されます。価電子帯電子についても、同様の同定、すなわち とが用いられます。対応する電子バンド間遷移は、 a ^ c , k † {\displaystyle {\hat {a}}_{c,{\mathbf {k} }}^{\dagger }} a ^ c , k {\displaystyle {\hat {a}}_{c,{\mathbf {k} }}} a ^ v , k † {\displaystyle {\hat {a}}_{v,{\mathbf {k} }}^{\dagger }} a ^ v , k {\displaystyle {\hat {a}}_{v,{\mathbf {k} }}}

P k ⋆ = ⟨ a ^ c , k † a ^ v , k ⟩ , P k = ⟨ a ^ v , k † a ^ c , k ⟩ , {\displaystyle P_{\mathbf {k} }^{\star }=\langle {\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }\rangle \,,\qquad P_{\mathbf {k} }=\langle {\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }\rangle \,,}

電子が伝導帯から価電子帯へ（項）あるいはその逆（項）へ移動する際の遷移振幅を記述する。同時に、電子分布は以下に従う。 P k ⋆ {\displaystyle P_{\mathbf {k} }^{\star }} P k {\displaystyle P_{\mathbf {k} }}

f k e = ⟨ a ^ c , k † a ^ c , k ⟩ . {\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}=\langle {\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{c,\mathbf {k} }\rangle \;.}

電子空孔、すなわちホールの分布を追跡することも便利である。

f k h = 1 − ⟨ a ^ v , k † a ^ v , k ⟩ = ⟨ a ^ v , k a ^ v , k † ⟩ {\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}=1-\langle {\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }\rangle =\langle {\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }{\hat {a}}_{v,\mathbf {k} }^{\dagger }\rangle }

光励起プロセスにより価電子帯に残されるもの。

SBEの基本構造

光励起の量子力学はSBEを構成する積分微分方程式を生み出す[1] [3]

半導体ブロッホ方程式

i ℏ ∂ ∂ t P k = ε ~ k P k − [ 1 − f k e ( t ) − f k h ( t ) ] Ω k + i ℏ ∂ ∂ t P k | s c a t t e r , {\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}P_{\mathbf {k} }={\tilde {\varepsilon }}_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }-\left[1-f_{\mathbf {k} }^{e}(t)-f_{\mathbf {k} }^{h}(t)\right]\Omega _{\mathbf {k} }+\mathrm {i} \hbar \left.{\frac {\partial }{\partial t}}P_{\mathbf {k} }\right|_{\mathrm {scatter} }\,,}

ℏ ∂ ∂ t f k e = 2 Im ⁡ [ Ω k ⋆ P k ] + ℏ ∂ ∂ t f k e | s c a t t e r , {\displaystyle \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{e}=2\operatorname {Im} \left[\Omega _{\mathbf {k} }^{\star }P_{\mathbf {k} }\right]+\hbar \left.{\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{e}\right|_{\mathrm {scatter} }\,,}

ℏ ∂ ∂ t f k h = 2 Im ⁡ [ Ω k ⋆ P k ] + ℏ ∂ ∂ t f k h | s c a t t e r . {\displaystyle \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{h}=2\operatorname {Im} \left[\Omega _{\mathbf {k} }^{\star }P_{\mathbf {k} }\right]+\hbar \left.{\frac {\partial }{\partial t}}f_{\mathbf {k} }^{h}\right|_{\mathrm {scatter} }\;.}

これらには正規化されたラビエネルギーが含まれる

Ω k = d ⋅ E + ∑ k ′ ≠ k V k − k ′ P k ′ {\displaystyle \Omega _{\mathbf {k} }=\mathbf {d} \cdot \mathbf {E} +\sum _{\mathbf {k} '\neq \mathbf {k} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k} '}P_{\mathbf {k} '}}

再正規化されたキャリアエネルギー

ε ~ k = ε k − ∑ k ′ ≠ k V k − k ′ [ f k ′ e + f k ′ h ] , {\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}_{\mathbf {k} }=\varepsilon _{\mathbf {k} }-\sum _{\mathbf {k} '\neq \mathbf {k} }V_{\mathbf {k} -\mathbf {k} '}\left[f_{\mathbf {k} '}^{e}+f_{\mathbf {k} '}^{h}\right]\,,}

ここで、は自由電子-正孔対のエネルギーに対応し、はクーロン行列要素であり、ここでは搬送波ベクトル で表されます。 ε k {\displaystyle \varepsilon _{\mathbf {k} }} V k {\displaystyle V_{\mathbf {k} }} k {\displaystyle \mathbf {k} }

記号で示された寄与は、多体相互作用による階層的結合に由来する。概念的には、、、は一粒子の期待値であるのに対し、階層的結合は分極密度相関や分極フォノン相関といった二粒子相関に由来する。物理的には、これらの二粒子相関は、クーロン相互作用の遮蔽、フェルミ–ディラック分布へのおよびのボルツマン型散乱、励起誘起位相ずれ、そして相関によるエネルギーの さらなる繰り込みなど、いくつかの非自明な効果をもたらす。 ⋯ | s c a t t e r {\displaystyle \left.\cdots \right|_{\mathrm {scatter} }} P k {\displaystyle P_{\mathbf {k} }} f k e {\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}} f k h {\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}} f k e {\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}} f k h {\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}}

これらの相関効果はすべて、2粒子相関のダイナミクスも解くことで体系的に考慮に入れることができます。[5]この高度なレベルでは、SBEを用いて現象論的パラメータを用いずに半導体の光学応答を予測することができ、SBEは非常に高い予測可能性を有します。実際、SBEは半導体の利得スペクトルに関する正確な情報を提供することで、適切なレーザー設計を予測することができます。さらに、SBEを用いて、束縛励起子などの相関の存在を定量的な測定から推論することも可能です。[6]

提示されたSBEは、キャリアの結晶運動量が に従うため、運動量空間で定式化される。同等の方程式を位置空間でも定式化することができる。[7]しかし、特に相関計算は運動量空間で行う方がはるかに簡単である。 ℏ k {\displaystyle \hbar \mathbf {k} }

解釈と結果

2バンドSBEを用いたバルクGaAsの特性線形吸収スペクトル。分極の減衰は減衰定数で近似され、ポンプ場の光子エネルギーの関数として計算される。エネルギーはバンドギャップエネルギーに応じてシフトし、半導体は最初は非励起状態である。位相ずれ定数が小さいため、バンドギャップエネルギーよりはるかに低いエネルギー領域に複数の励起子共鳴が現れる。高エネルギー共鳴の振幅は、見やすさを考慮して5倍にされている。 α ( E ) {\displaystyle \alpha (E)} ℏ γ = 0.13 m e V {\displaystyle \hbar \gamma =0.13\,\mathrm {meV} } α ( E ) {\displaystyle \alpha (E)} E {\displaystyle E} E g a p = 1.490 m e V {\displaystyle E_{\mathrm {gap} }=1.490\,\mathrm {meV} }

このダイナミクスは、クーロン相互作用により、個々の遷移が他のすべての微視的分極と結合している構造を示しています。したがって、遷移振幅は他の遷移振幅の存在によって集合的に変化します。をゼロに設定した場合にのみ、各状態内で孤立した遷移が見られ、それらは光学ブロッホ方程式が予測するのと全く同じダイナミクスに従います。したがって、クーロン相互作用は、単純な原子における光学遷移と比較して、 既に新しい固体効果を生み出しています。 P k {\displaystyle P_{\mathbf {k} }} P k {\displaystyle P_{\mathbf {k} }} V k {\displaystyle V_{\mathbf {k} }} P k {\displaystyle P_{\mathbf {k} }} V k {\displaystyle V_{\mathbf {k} }} k {\displaystyle {\mathbf {k} }} P k {\displaystyle P_{\mathbf {k} }}

概念的には、電子を価電子帯から伝導帯へ励起するための遷移振幅に過ぎません。同時に、動力学の同次部分は、一般化ワニエ方程式で表現できる固有値問題をもたらします。ワニエ方程式の固有状態は、量子力学における水素問題の束縛解に類似しています。これらはしばしば励起子解と呼ばれ、反対の電荷を持つ電子と正孔によるクーロン結合を正式に記述します。 P k {\displaystyle P_{\mathbf {k} }} P k {\displaystyle P_{\mathbf {k} }}

しかし、真の励起子は真の二粒子相関である。なぜなら、一つの電子と別の正孔との間に相関が存在する必要があるからである。したがって、分極における励起子共鳴の出現は、励起子の存在を意味するものではない。なぜなら、励起子は単一粒子遷移の振幅だからである。励起子共鳴は、系内で起こり得るすべての遷移間のクーロン相互作用の直接的な結果である。言い換えれば、単一粒子遷移自体はクーロン相互作用の影響を受けており、真の励起子が存在しない場合でも、光学応答において励起子共鳴を検出することが可能である。[8] P k {\displaystyle P_{\mathbf {k} }}

そのため、光共鳴は励起子共鳴ではなく励起子共鳴と定義されることが多い。励起子が光応答に及ぼす実際の役割は、励起子共鳴の線幅とエネルギーシフトに及ぼす量的な変化によってのみ推定できる。[6]

ワニエ方程式の解は、半導体の光学応答の基本特性に関する貴重な知見をもたらす。特に、SBE の定常解を解くことで、いわゆるエリオットの公式を用いて光吸収スペクトルを解析的に予測することができる。この形式では、励起されていない半導体が基本バンドギャップエネルギーよりはるかに低い励起子吸収共鳴を複数示すことを確認できます。明らかに、この状況は励起子のプローブではありません。なぜなら、初期の多体系にはそもそも電子と正孔が含まれていないからです。さらに、このプローブは原理的に非常に穏やかに実行できるため、電子‐正孔対は本質的に励起されません。この理論実験は、系内に励起子がなくても励起子共鳴を検出できる理由をうまく示しており、これはすべて遷移振幅間のクーロン結合のおかげです。

拡張機能

SBEは、半導体構造を介した光伝搬を解く際に特に有用です。この場合、SBEを、光偏光によって駆動されるマクスウェル方程式と共に解く必要があります。この自己無撞着な方程式はマクスウェル-SBEと呼ばれ、現代の実験の解析やデバイス設計のシミュレーションに頻繁に適用されています。

このレベルでは、SBEは、励起子効果、伝搬効果、半導体微小共振器効果、四光波混合、半導体微小共振器内のポラリトン、利得分光法など、線形現象だけでなく非線形現象も記述できる極めて汎用性の高い手法を提供します。[4] [8] [9]また、SBEを一般化して、テラヘルツ（THz）場[5]による励起を含めることもできます。THz場は、通常、バンド内遷移と共鳴します。また、光場を量子化し、その結果生じる量子光学効果を調べることもできます。この場合、SBEは半導体発光方程式と結合することになります。

参照

さらに読む

  • アシュクロフト、ニール・W.; マーミン、N.・デイヴィッド (1976). 固体物理学.ホルト、ライナーハート、ウィンストン. ISBN 978-0-03-083993-1。
  • Shah, J. (1999).半導体および半導体ナノ構造の超高速分光法（第2版）. Springer. ISBN 978-3-540-64226-8。
  • Kittel, C. (2004).固体物理学入門（第8版）. World Scientific. ISBN 978-0471415268。
  • Haug, H.; Koch, SW (2009). 『半導体の光学的および電子的特性の量子論（第5版）』World Scientific. ISBN 978-9812838841。
  • クリングシャーン、CF (2006)。半導体光学。スプリンガー。ISBN 978-3540383451。
  • Kira, M.; Koch, SW (2011). 『半導体量子光学』 ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0521875097。

参考文献

  1. ^ ab Lindberg, M.; Koch, SW (1988). 「半導体に対する有効ブロッホ方程式」. Physical Review B 38 (5): 3342–3350. doi:10.1103/PhysRevB.38.3342
  2. ^ Schäfer, W.; Wegener, M. (2002).半導体光学と輸送現象. Springer. ISBN 3540616144。
  3. ^ abc Haug, H.; Koch, SW (2009).半導体の光学的および電子的特性の量子論（第5版）. World Scientific. p. 216. ISBN 9812838848。
  4. ^ ab Kira, M.; Koch, SW (2011).半導体量子光学. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0521875097。
  5. ^ ab Kira, M.; Koch, SW (2006). 「半導体分光法における多体相関と励起子効果」. Progress in Quantum Electronics 30 (5): 155–296. doi:10.1016/j.pquantelec.2006.12.002
  6. ^ ab Smith, RP; Wahlstrand, JK; Funk, AC; Mirin, RP; Cundiff, ST; Steiner, JT; Schafer, M.; Kira, M. 他 (2010). 「半導体量子井戸における非線形吸収からの多体構成の抽出」. Physical Review Letters 104 (24). doi:10.1103/PhysRevLett.104.247401
  7. ^ Stahl, A. (1984). 「直接ギャップ半導体におけるバンド端の電気力学」. Solid State Communications 49 (1): 91–93. doi:10.1016/0038-1098(84)90569-6
  8. ^ ab Koch, SW; Kira, M.; Khitrova, G .; Gibbs, HM (2006). 「半導体励起子の新たな視点」Nature Materials 5 (7): 523–531. doi:10.1038/nmat1658
  9. ^ クリングシャーン、CF (2006)。半導体光学。スプリンガー。ISBN 978-3540383451。
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