計算尺スケール

計算尺に刻まれた目盛り（通常は対数）

計算尺の目盛りとは、数学的な計算に用いられる計算尺の長さに沿って刻まれた目盛りのことです。初期の計算尺は、掛け算と割り算を行うための対数目盛りが1つだけでしたが、すぐに改良技術が開発され、2つの目盛りが互いに並んでスライドするようになりました。その後、複数の目盛りが設けられ、最も基本的な目盛りは対数目盛りですが、必要な数学的機能に応じて目盛りが付けられるようになりました。

計算尺の中には、加算と減算用に設計されたものはほとんどなく、主な目盛りは乗算と除算に使用され、その他の目盛りは三角関数、指数関数、そして一般的には超越関数を含む数学計算に使用されます。1970年代に電子計算機に取って代わられるまで、計算尺は重要な携帯用計算機器でした。

計算尺のデザイン

計算尺は本体^{[注 1]}と、本体内をスライドするスライダーで構成され、どちらにも数字の目盛りが刻まれています。両面式計算尺では、本体またはスライダーの前面だけでなく、背面にも目盛りが刻まれています。^[2]スライダーの目盛りは背面から見える場合もあれば、スライダーをスライドさせて反対側に向ける必要がある場合もあります。1本（または複数）のヘアライン^{[注 2]が刻まれた}カーソル（ランナーまたはグラスとも呼ばれます）を計算尺全体に沿ってスライドさせることで、本体とスライダーの様々な目盛りから、前面と背面の対応する目盛りを読み取ることができます。^[3]

歴史

1620年頃、エドマンド・ガンターは、船乗りのために発明したガンターの扇形計算尺の要素の一つとして、現在ではガンターの線として知られるものを導入した。木に刻まれたこの線は、 1から100までの単一の対数目盛りであった。スライド部分はなかったが、一対のデバイダーを用いることで、数値の乗算と除算が可能であった。^{[注 3]}この単一の対数目盛りを持つ形状は、後にフラーの円筒形計算尺のような機器へと発展した。1622年頃、ウィリアム・オートレッドは、互いに隣り合ってスライドする2つの対数目盛りを持つ直線型と円形の計算尺を発明したが、これは1632年まで公表されなかった。1654年、この直線型の設計は、スライダーを取り付けて調整できる木製の本体へと発展した。^[6]^[7]

スケール

Aristo 0972 HyperLog デュプレックスルールの前面と背面 (1973)

シンプルな計算尺には、掛け算と割り算にはCとDの目盛りが、平方と平方根にはAとBの目盛りが、逆数と立方にはCIとKの目盛りが付いていることが多い。^[8]計算尺の初期の頃は目盛りが少なく、ラベルを付ける必要もなかった。しかし、徐々に目盛りの数は増えていった。アメデ・マンハイムは1859年にA、B、C、Dの目盛りを導入し、その後、メーカーは様々な目盛りを素早く識別できるように、ある程度標準化された、しかし独自の目盛りシステムを採用し始めた。^[8]^[3]

高度な計算尺には多くの目盛りがあり、電気技師や測量士など、特定の種類のユーザーを念頭に置いて設計されていることがよくあります。^[9]^[10] 加算と減算の目盛りはほとんどありませんが、回避策は可能です。^{[注 4]}^[11] 図示されている定規は Aristo 0972 HyperLog で、31 の目盛りがあります。^{[注 5]}下の表の目盛りは、特定の職業ではなく、一般的な数学的用途に適したものです。

計算尺の目盛り^[8]^[14]
ラベル	式	スケールタイプ	xの範囲	スケール上の範囲	数値範囲（おおよそ）	増加/減少^[注6]	コメント
C	×	基本音階	1から10	1から10	1から10	増加	スライダーで
D	×	Cで使用される基本音階	1から10	1から10	1から10	増加	体に
あ	× ²	四角	1から10	1から100	1から100	増加	ボディについて。C/Dの半分のスケールで2つのログサイクル。^[15]^{[注 7]}
B	× ²	四角	1から10	1から100	1から100	増加	スライダー上。C/Dの半分のスケールで2つの対数サイクル。^[15]^{[注 7]}
CF	×	πで折り畳まれたC	πから10π	πから10π	3.142から31.42	増加	スライダーで
CF _M	×	_Cはlog10で折り畳まれている（e）	log ₁₀ (e) から 10*log ₁₀ (e)	0.4343から4.343	0.4343から4.343	増加	体に
チ	アークコッシュ( x )	双曲線余弦	1から10	arccosh(1.0) から arccosh(10)	0から2.993	増加	注: cosh( x )= √(1-sinh ² ( x )) (P)
CI	1/ x	逆数C	1から10	1/0.1から1/1.0	10対1	減少	スライダー上。Cスケールを逆方向に動かす^[15]
DF	×	πで折り畳まれたD	πから10π	πから10π	3.142から31.42	増加	体に
DI	1/ x	逆数D	1から10	1/0.1から1/1.0	10対1	減少	ボディ上。Dスケールは逆方向^[15]
K	× ³	キューブ	1から10	1から10 ³	1から1000	増加	Dの3分の1のスケールで3サイクル^[15]
L、Lg、またはM ^{[注 8]}	ログ₁₀x	_対数10の仮数	1から10	0から1.0	0から1.0	増加	したがって線形スケール
LL0	^0.001倍	対数対数	1から10	e ^0.001からe ^0.01	1.001から1.010	増加
LL1	^0.01倍	対数対数	1から10	e ^0.01からe ^0.1	1.010から1.105	増加
LL2	^0.1倍	対数対数	1から10	e ^0.1からe	1.105から2.718	増加
LL3、LL、またはE	元	対数対数	1から10	eからe ¹⁰	2.718から22026	増加
LL00またはLL/0	e ^-0.001x	対数対数	1から10	e ^−0.001 からe ^−0.01	0.999から0.990	減少
LL01またはLL/1	e ^-0.01x	対数対数	1から10	e ^−0.01 からe ^−0.1	0.990から0.905	減少
LL02またはLL/2	e ^-0.1倍	対数対数	1から10	e ^−0.1 から 1/ e	0.905から0.368	減少
LL03またはLL/3	e ^−x	対数対数	1から10	1/ e からe ⁻¹⁰	0.368から0.00045	減少
P	√(1-x ² )	ピタゴラス^[注9]	0.1から1.0	√(1-0.1 ² )から0	0.995から0	減少	小さな角度での正弦から余弦を計算する（ST）
H1	√(1+x ² )	双曲線^[注9]	0.1から1.0	√(1+0.1 ² )から√(1+1.0 ² )	1.005から1.414	増加	C または D スケールで x を設定します。
水素	√(1+x ² )	双曲線^[注9]	1から10	√(1+1 ² ) から √(1+10 ² )	1.414から10.05	増加	C または D スケールで x を設定します。
R1、W1、またはSq1	√ ×	平方根	1から10	1から√10	1から3.162	増加	奇数桁の数字の場合
R2、W2、またはSq2	√ ×	平方根	10から100	√10から10	3.162対10	増加	偶数桁の数字の場合
S	アークサイン( x )	正弦	0.1から1	arcsin(0.1)からarcsin(1.0)	5.74°から90°	増加と減少（赤）	コサインの逆角度は赤で示されています。詳細画像のSスケールをご覧ください。
Sh1	アークサイン( x )	双曲線正弦	0.1から1.0	arcsinh(0.1)からarcsinh(1.0)	0.0998から0.881	増加	注: cosh( x )= √(1-sinh ² ( x )) (P)
Sh2	アークサイン( x )	双曲線正弦	1から10	arcsinh(1.0)からarcsinh(10)	0.881から3.0	増加	注: cosh( x )= √(1-sinh ² ( x )) (P)
ST	arcsin( x ) と arctan( x )	小さな角度の正弦と正接	0.01から0.1	arcsin(0.01) から arcsin(0.1)	0.573°から5.73°	増加	同じx値の逆正接も
T、T1、またはT3	アークタンジェント( x )	正接	0.1から1.0	arctan(0.1)からarctan(1.0)	5.71°から45°	増加	C または D と一緒に使用されます。
T	アークタンジェント( x )	正接	1.0から10.0	arctan(1.0)からarctan(10)	45°～84.3°	増加	CIまたはDIと組み合わせて使用します。また、コタンジェントの場合は逆角度を赤で示します。
T2	アークタンジェント( x )	正接	1.0から10.0	arctan(1.0)からarctan(10)	45°～84.3°	増加	CまたはDと一緒に使用
Th	逆正接( x )	双曲線正接	1～10未満	arctanh(0.1)からarctanh(1.0)	0.1から3.0	増加	CまたはDと一緒に使用

表に関する注意事項

スケールによっては、左側の値が高く、右側の値が低いものがあります。上記の表では、これらは「減少」と表記されています。計算尺では、黒ではなく赤で表記されていることが多く、スケールに沿って左向きの矢印が付いている場合もあります。PスケールとDIスケールについては、詳細画像をご覧ください。
計算尺の用語では、「折り畳み式」とは、10のべき乗からオフセットした値で始まり、終わる目盛りを指します。折り畳み式目盛りは多くの場合πから始まりますが、例えば3.0や35.0など、縦方向に延長されることもあります。コードに「M」が添え字として付いた折り畳み式目盛りは、 10を底とする対数と自然対数の変換を簡略化するため、log ₁₀ eで始まり、log 10 eで終わります。添え字に「/M」が付いた場合は、ln(10)で折り畳まれます。
数学的な理由により、一部のスケールはD = 1と10の点の手前で止まったり、その点を超えて伸びたりします。例えば、arctanh( x )はxが1に近づくにつれて∞（無限大）に近づくため、スケールは手前で止まります。
スライドルールの用語では、「log-log」は、スケールが本質的に対数スケールに適用されていることを意味します。
計算尺の注釈では、一般的に10の累乗は無視されます。ただし、対数対数など、一部のスケールでは小数点が考慮されるため、マークされる可能性があります。

ゲージマーク

ゲージマークは、重要な定数（例えば、3.14159 のπ ）や便利な変換係数（例えば、小さな角度の正弦と正接を求めるための 180*60*60/π または206.3x10 ³のρ "^[18]）を示すためにスケールに追加されることがよくあります。^[19]^[20]カーソルには、メインのカーソルの横に補助的なヘアラインが付いている場合があります。たとえば、片方がキロワットを超える場合、もう一方は馬力を示します。^{[注 10]}^[20]^[21]詳細画像の A および B スケールのπと C スケールのρ" を参照してください。上記の画像に示すように、Aristo 0972 の裏側には複数のカーソルヘアラインがあります。

ゲージマーク^[20]^[22]
シンボル	価値	関数	目的	コメント
e	2.718	オイラー数	指数関数	自然対数の底
π	3.142	π		円/円柱の面積/体積/円周
cまたはC	1.128	√(4/π)		直径と√(円の面積)の比（異なるスケール）
C'またはC1	3.568	√(40/π)		直径と√(円の面積)の比（異なるスケール）
'	0.785	π/4		円の面積と直径の比²
M	0.318	$1/π$		逆数π
ρ , ρ ⁰または1°	0.0175	$π/180$	ラジアン/度
R	57.29	$180/π$	ラジアンあたりの度数
ρ'	3.438x10 ³	$60x180/π$	ラジアンあたりの弧分^[18]
ρ"	206.3x10 ³	$60x60x180/π$	ラジアンあたりの秒数^[18]
c	2.154	${\sqrt[{3}]{10}}$		Kスケールがない場合
1n、L、またはU	2.303	$1/log 10 e$	log _eとlog _10の比
北	1.341		kWあたりの HP	機械の馬力

注記

^ 本体はフレーム、ベース、ストック、ステーターとも呼ばれます。
^ ヘアラインは非常に細かく描かれた線です。
^ 2つの数aとbを掛け合わせるには、分周器の一方の点を 1 の目盛りに置き、もう一方の点がa （またはaの10の倍数）になるように分周器を調整します。分周器の間隔を固定したまま、一方の点をbに移動し、もう一方の点は $a \times b$ （または、もう一方の点を 1 の目盛りの方に置く場合は $b / a）$ を示します。^[4]^[5]
^ $($ $u$ $+$ $v$ $)=$ $v$ $\cdot$ $($ $u$ $/$ $v$ $+1)$ かつ $($ $u$ $-$ $v$ $)=$ $v$ $\cdot$ $($ $u$ $/$ $v$ $-1)$ であることに注意してください。これを実行するには、頭の中で 1 を加算または減算する必要があります。
^ Aristo 0952 HyperLogは1973年に製造され、全長は37.4センチメートル（14.7インチ）で、目盛りは以下のとおりです。前面：LL00、LL01、LL02、LL03、DF（スライダー上：CF、CIF、L、CI、C）D、LL3、LL2、LL1、LL00。背面：H2、Sh2、Th、K、A（スライダー上：B、T、ST、S、P、C）D、DI、Ch、Sh1、H1。ゲージ目盛りはπ、ρ'、ρ''、e、1/e、√2です。^[12]^[13]
^ 注釈が左から右に増加するか減少するか。
^ ab R1/R2は AとBよりも平方根を求めるのに使いやすいことが多い。^[8]
^ポーランドのSkala社は 直角三角形の解法に「M」スケールを使用していました。^[16]
^ abc 特別な考慮事項についてはSavardを参照。^[17]
^ Aristo 計算尺の裏面については上記の画像を参照してください。

参考文献

引用

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引用文献

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さらに読む

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[2] 本体はフレーム、ベース、ストック、ステーターとも呼ばれます。

[4] ヘアラインは非常に細かく描かれた線です。

[8] 2つの数aとbを掛け合わせるには、分周器の一方の点を 1 の目盛りに置き、もう一方の点がa （またはaの10の倍数）になるように分周器を調整します。分周器の間隔を固定したまま、一方の点をbに移動し、もう一方の点は $a \times b$ （または、もう一方の点を 1 の目盛りの方に置く場合は $b / a）$ を示します。^[4]^[5]

[14] $($ $u$ $+$ $v$ $)=$ $v$ $\cdot$ $($ $u$ $/$ $v$ $+1)$ かつ $($ $u$ $-$ $v$ $)=$ $v$ $\cdot$ $($ $u$ $/$ $v$ $-1)$ であることに注意してください。これを実行するには、頭の中で 1 を加算または減算する必要があります。

[18] Aristo 0952 HyperLogは1973年に製造され、全長は37.4センチメートル（14.7インチ）で、目盛りは以下のとおりです。前面：LL00、LL01、LL02、LL03、DF（スライダー上：CF、CIF、L、CI、C）D、LL3、LL2、LL1、LL00。背面：H2、Sh2、Th、K、A（スライダー上：B、T、ST、S、P、C）D、DI、Ch、Sh1、H1。ゲージ目盛りはπ、ρ'、ρ''、e、1/e、√2です。^[12]^[13]

[20] 注釈が左から右に増加するか減少するか。

[r1r2-22] R1/R2は AとBよりも平方根を求めるのに使いやすいことが多い。^[8]

[Mskala-24] ^ポーランドのSkala社は 直角三角形の解法に「M」スケールを使用していました。^[16]

[savardsp-26] 特別な考慮事項についてはSavardを参照。^[17]

[30] Aristo 計算尺の裏面については上記の画像を参照してください。

[1] 「スライドルールとプラニメーターセクション」K&Eカタログ第42版。KeuffelとEsser。1954年。p.279。2021年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年6月25日閲覧。

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