シャウダーの推定
偏微分方程式の結果の収集

数学、より正確には関数解析と偏微分方程式において、シャウダー推定値とは、 線形一様楕円偏微分方程式の解の正則性に関するユリウス・シャウダー（1934, 1937）による一連の結果である。この推定値によれば、方程式が適切に滑らかな項と適切に滑らかな解を持つ場合、解のヘルダーノルムは係数項と源項のヘルダーノルムによって制御できる。これらの推定値は解の存在を仮定するため、事前推定値と呼ばれる。

境界から離れた内部領域における解のヘルダー条件を与える内部結果と、領域全体における解のヘルダー条件を与える境界結果の両方が存在する。前者は空間次元、方程式、境界までの距離のみに依存し、後者は境界の滑らかさにも依存する。

シャウダー推定は、連続法を用いて楕円型偏微分方程式のディリクレ問題の解の存在と正則性を証明するための必要条件である。この結果は、方程式の係数と境界条件の性質が十分に滑らかである場合、偏微分方程式には滑らかな古典解が存在することを意味する。

表記

Schauder 推定値は加重 Hölder ノルムで与えられます。表記法は D. Gilbarg とNeil Trudinger  (1983) のテキストに従います。

連続関数の上限ノルムは次のように与えられる。 f ∈ C （ Ω ） {\displaystyle f\in C(\Omega )}

| f | 0 ; Ω ＝ すする × ∈ Ω | f （ × ） | {\displaystyle |f|_{0;\Omega }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|}

指数 でヘルダー連続な関数、つまり の場合、通常のヘルダー半ノルムは次のように与えられる。 α {\displaystyle \alpha} f ∈ C 0 、 α （ Ω ） {\displaystyle f\in C^{0,\alpha }(\Omega )}

[ f ] 0 、 α ; Ω ＝ すする × 、 y ∈ Ω | f （ × ） − f （ y ） | | × − y | α 。 {\displaystyle [f]_{0,\alpha;\Omega}=\sup_{x,y\in\Omega}{\frac{|f(x)-f(y)|}{|xy|^{\alpha}}}.}

2つの合計はfの完全なヘルダーノルムである。

| f | 0 、 α ; Ω ＝ | f | 0 ; Ω + [ f ] 0 、 α ; Ω ＝ すする × ∈ Ω | f （ × ） | + すする × 、 y ∈ Ω | f （ × ） − f （ y ） | | × − y | α 。 {\displaystyle |f|_{0,\alpha;\Omega}=|f|_{0;\Omega}+[f]_{0,\alpha;\Omega}=\sup_{x\in\Omega}|f(x)|+\sup_{x,y\in\Omega}{\frac{|f(x)-f(y)|}{|xy|^{\alpha}}}.}

微分可能関数uについては、導関数を含む高階ノルムを考慮する必要がある。k個の連続導関数を持つ関数の空間におけるノルムは、次のように与えられる。 C け （ Ω ） {\displaystyle C^{k}(\オメガ )}

| あなた | け ; Ω ＝ ∑ | β | ≤ け すする × ∈ Ω | D β あなた （ × ） | {\displaystyle |u|_{k;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|}

ここで、適切な次数の多重添字すべてにわたって値域をとる。指数 でヘルダー連続となるk次導関数を持つ関数の場合、適切な半ノルムは次のように与えられる。 β {\displaystyle \beta} α {\displaystyle \alpha}

[ あなた ] け 、 α ; Ω ＝ すする | β | ＝ け × 、 y ∈ Ω | D β あなた （ × ） − D β あなた （ y ） | | × − y | α {\displaystyle [u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|xy|^{\alpha }}}}

これは、

| あなた | け 、 α ; Ω ＝ | あなた | け ; Ω + [ あなた ] け 、 α ; Ω ＝ ∑ | β | ≤ け すする × ∈ Ω | D β あなた （ × ） | + すする | β | ＝ け × 、 y ∈ Ω | D β あなた （ × ） − D β あなた （ y ） | | × − y | α 。 {\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }=|u|_{k;\Omega }+[u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|xy|^{\alpha }}}.}

内部推定では、ノルムは境界までの距離によって重み付けされる。

d × ＝ d （ × 、 ∂ Ω ） {\displaystyle d_{x}=d(x,\partial \Omega )}

導関数と同じべき乗で、半ノルムは重み付けされて

d × 、 y ＝ 分 （ d × 、 d y ） {\displaystyle d_{x,y}=\min(d_{x},d_{y})}

適切なべき乗で得られる関数の重み付き内部ノルムは次のように表される。

| あなた | け 、 α ; Ω ∗ ＝ | あなた | け ; Ω ∗ + [ あなた ] け 、 α ; Ω ∗ ＝ ∑ | β | ≤ け すする × ∈ Ω | d × | β | D β あなた （ × ） | + すする | β | ＝ け × 、 y ∈ Ω d × 、 y け + α | D β あなた （ × ） − D β あなた （ y ） | | × − y | α {\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=|u|_{k;\Omega }^{*}+[u]_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|xy|^{\alpha }}}}

時々、重みの「余分な」乗数を加える必要があり、

| あなた | け 、 α ; Ω （ メートル ） ＝ | あなた | け ; Ω （ メートル ） + [ あなた ] け 、 α ; Ω （ メートル ） ＝ ∑ | β | ≤ け すする × ∈ Ω | d × | β | + メートル D β あなた （ × ） | + すする | β | ＝ け × 、 y ∈ Ω d × 、 y メートル + け + α | D β あなた （ × ） − D β あなた （ y ） | | × − y | α 。 {\displaystyle |u|_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=|u|_{k;\Omega }^{(m)}+[u]_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |+m}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{m+k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|xy|^{\alpha }}}.}

処方

このセクションの定式化は、D. Gilbarg とNeil Trudinger  (1983) のテキストから引用したものです。

内装見積もり

楕円型2階偏微分方程式の 領域上の有界解を考える。 あなた ∈ C 2 、 α （ Ω ） {\displaystyle u\in C^{2,\alpha }(\Omega )} Ω {\displaystyle \オメガ}

∑ 私 、 j 1つの 私 、 j （ × ） D 私 D j あなた （ × ） + ∑ 私 b 私 （ × ） D 私 あなた （ × ） + c （ × ） あなた （ × ） ＝ f （ × ） {\displaystyle \sum _{i,j}a_{i,j}(x)D_{i}D_{j}u(x)+\sum _{i}b_{i}(x)D_{i}u(x)+c(x)u(x)=f(x)}

ここで、ソース項は を満たす。が厳密に楕円となるような定数が存在する場合、 f ∈ C α （ Ω ） {\displaystyle f\in C^{\alpha }(\Omega )} λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} 1つの 私 、 j {\displaystyle a_{i,j}}

∑ 1つの 私 、 j （ × ） ξ 私 ξ j ≥ λ | ξ | 2 {\displaystyle \sum a_{i,j}(x)\xi _{i}\xi _{j}\geq \lambda |\xi |^{2}} すべての人のために x ∈ Ω , ξ ∈ R n {\displaystyle x\in \Omega ,\xi \in \mathbb {R} ^{n}}

そして関連するノルム係数はすべて別の定数によって制限される Λ {\displaystyle \Lambda }

| a i , j | 0 , α ; Ω , | b i | 0 , α ; Ω ( 1 ) , | c | 0 , α ; Ω ( 2 ) ≤ Λ . {\displaystyle |a_{i,j}|_{0,\alpha ;\Omega },|b_{i}|_{0,\alpha ;\Omega }^{(1)},|c|_{0,\alpha ;\Omega }^{(2)}\leq \Lambda .}

すると、 uの加重ノルムはuの上限とfのホルダーノルムによって制御されます。 C 2 , α {\displaystyle C^{2,\alpha }}

| u | 2 , α ; Ω ∗ ≤ C ( n , α , λ , Λ ) ( | u | 0 , Ω + | f | 0 , α ; Ω ( 2 ) ) . {\displaystyle |u|_{2,\alpha ;\Omega }^{*}\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha ;\Omega }^{(2)}).}

境界推定

を領域（つまり、領域の境界上の任意の点について、座標を適切に回転すると、境界超曲面を関数として実現できる）とし、ディリクレ境界データは少なくとも である関数と一致するものとします。この場合、係数に関する条件は、内部推定の場合と同様ですが、uの重み付けされていないヘルダーノルムは、ソース項、境界データ、およびuの上限ノルムの重み付けされていないノルムによって制御されます。 Ω {\displaystyle \Omega } C 2 , α {\displaystyle C^{2,\alpha }} C 2 , α {\displaystyle C^{2,\alpha }} ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} C 2 , α {\displaystyle C^{2,\alpha }}

| u | 2 , α ; Ω ≤ C ( n , α , λ , Λ , Ω ) ( | u | 0 , Ω + | f | 0 , α ; Ω + | ϕ | 2 , α ; ∂ Ω ) . {\displaystyle |u|_{2,\alpha ;\Omega }\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda ,\Omega )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha ;\Omega }+|\phi |_{2,\alpha ;\partial \Omega }).}

解u が最大原理を満たす場合、右側の最初の因子を削除できます。

出典

  • ギルバーグ、D.;トルディンガー、ニール（1983）、「楕円偏微分方程式2次」、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 3-540-41160-7
  • Schauder、Juliusz (1934)、「Über Lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung」、Mathematische Zeitschrift (ドイツ語)、vol. 38、いいえ。 1、ベルリン、ドイツ: Springer-Verlag、pp.  257–282、doi :10.1007/BF01170635、S2CID  120461752 MR  1545448
  • Schauder, Juliusz (1937)、「Numerische Abschätzungen in elliptischen lineen Differentialgleichungen」(PDF)、Studia Mathematica (ドイツ語)、vol. 5、ポーランド、ルヴフ：Polska Akademia Nauk。マテマティチヌイ研究所、 34 ～ 42ページ 
  • ラディジェンスカヤ、オルガ A. ;ウラルツェワ、ニーナ N. (1968)、「線形および準線形楕円方程式」、科学と工学における数学、第 46 巻、ニューヨークおよびロンドン: アカデミック プレス、pp. xviii+495、ISBN 978-0-08-095554-4、MR  0244627、Zbl  0164.13002。

さらに読む

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