スハウテン・ナイエンフイス括弧

微分幾何学において、スハウテン・ナイエンフイス括弧 (Schouten–Nijenhuis bracket)は、ベクトル場のリー括弧を拡張した滑らかな多様体上の多重ベクトル場に対して定義される、次数付きリー括弧の一種である。

2つの異なるバージョンがあり、どちらもやや紛らわしいことに同じ名前で呼ばれています。最も一般的なバージョンは、交代多重ベクトル場 上に定義され、それらをゲルステンハーバー代数にしますが、対称多重ベクトル場 上に定義される別のバージョンもあり、これは余接束上のポアソン括弧とほぼ同じです。これはヤン・アーノルドス・スハウテン(1940, 1953)によって発明され、その性質は彼の弟子であるアルバート・ナイエンフイス(1955)によって研究されました。これはナイエンフイス・リチャードソン括弧およびフレーリヒャー・ナイエンフイス括弧と関連がありますが、同じではありません。

定義と特性

交代多重ベクトル場は、多様体 の接束上の外接代数 の切断である。交代多重ベクトル場は、 と の積を持つ次数付き超可換環を形成し、 と表記される（ と表記する著者もいる）。これは、同次元上の対偶によって 通常の微分形式の代数と双対となる。${\displaystyle \wedge^{\bullet }TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a\wedge b}$ ${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M)}$

${\displaystyle \omega (a_{1}a_{2}\dots a_{p})=\left\{{\begin{matrix}\omega (a_{1},\dots ,a_{p})&(\omega \in \Omega ^{p}M)\\0&(\omega \not \in \Omega ^{p}M)\end{matrix}}\right.}$

における多重ベクトルの次数はと定義されます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Lambda^{p}TM}$ ${\displaystyle |A|=p}$

歪対称なスハウテン・ナイエンフイス括弧は、ベクトル場のリー括弧を、交代多重ベクトル場の空間上の次数付き括弧に唯一拡張したもので、これにより交代多重ベクトル場はゲルステンハーバー代数となる。これはベクトル場のリー括弧を用いて次のように与えられる。

${\displaystyle [a_{1}\cdots a_{m},b_{1}\cdots b_{n}]=\sum _{i,j}(-1)^{i+j}[a_{i},b_{j}]a_{1}\cdots a_{i-1}a_{i+1}\cdots a_{m}b_{1}\cdots b_{j-1}b_{j+1}\cdots b_{n}}$

ベクトル場の場合、そして ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{j}}$

${\displaystyle [f,a_{1}\cdots a_{m}]=-\iota _{df}(a_{1}\cdots a_{m})}$

ベクトル場と滑らかな関数において、 は共通の内積演算子です。以下の性質を持ちます。 ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \iota _{df}}$

• ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$ （積は結合的である）
• ${\displaystyle ab=(-1)^{|a||b|}ba}$ （積は（超）可換である）；
• ${\displaystyle |ab|=|a|+|b|}$ （積の次数は 0 です）
• ${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|-1}$ (Schouten–Nijenhuis ブラケットの次数は -1)。
• ${\displaystyle [a,bc]=[a,b]c+(-1)^{|b|(|a|-1)}b[a,c]}$ （ポアソン恒等式）
• ${\displaystyle [a,b]=-(-1)^{(|a|-1)(|b|-1)}[b,a]}$ (スハウテン・ナイエンハウス括弧の非対称性);
• ${\displaystyle [[a,b],c]=[a,[b,c]]-(-1)^{(|a|-1)(|b|-1)}[b,[a,c]]}$ (スハウテン-ナイエンハウス括弧のヤコビ恒等式);
• およびが関数（次数 0 の同次多重ベクトル）である場合、次の式が成り立ちます。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [f,g]=0}$
• がベクトル場である場合、 はに沿った多重ベクトル場の通常のリー微分であり、特に、 と がベクトル場である場合、Schouten–Nijenhuis 括弧はベクトル場の通常のリー括弧です。${\displaystyle a}$ ${\displaystyle [a,b]=L_{a}b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

スハウテン・ナイエンフイス括弧は、次数を逆パリティのもの（つまり偶奇部分空間が入れ替わるもの）に変更すると、多重ベクトル場をリー超代数に変換する。ただし、この新しい次数ではもはや超可換環ではない。したがって、ヤコビ恒等式は対称的な形でも表すことができる。

${\displaystyle (-1)^{(|a|-1)(|c|-1)}[a,[b,c]]+(-1)^{(|b|-1)(|a|-1)}[b,[c,a]]+(-1)^{(|c|-1)(|b|-1)}[c,[a,b]]=0.\,}$

一般化

交代多重ベクトル場に対するSchouten–Nijenhuis括弧とVinogradov (1990)による Frölicher–Nijenhuis括弧の共通の一般化がある。

スハウテン・ナイエンフイス括弧の類似版は、対称多重ベクトル場に対しても同様に定義できる。対称多重ベクトル場は、ファイバーに多項式となる の接線空間上の関数と同一視することができ、この同一視の下では、対称スハウテン・ナイエンフイス括弧はシンプレクティック多様体上の関数のポアソン括弧に対応する。対称多重ベクトル場に対するスハウテン・ナイエンフイス括弧とフレーリヒャー・ナイエンフイス括弧の共通の一般化は、Dubois-VioletteとPeter W. Michor (1995)によるものである。 ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$

参考文献

• Dubois-Violette, Michel; Michor, Peter W. (1995). 「対称多重ベクトル場に対するFrölicher–Nijenhuis括弧とSchouten括弧の共通一般化」. Indag. Math . 6 (1): 51– 66. arXiv : alg-geom/9401006 . doi :10.1016/0019-3577(95)98200-u.
• Marle, Charles-Michel (1997). 「Schouten-Nijenhuis 括弧と内積」(PDF) . Journal of Geometry and Physics . 23 ( 3–4 ): 350– 359. Bibcode :1997JGP....23..350M. CiteSeerX  10.1.1.27.5358 . doi :10.1016/s0393-0440(97)80009-5.
• ナイエンハウス、A. (1955)。 「特定のテンソル場の双一次微分随伴体に対するヤコビ型恒等式 I」。Indagationes Mathematicae。17 : 390–403。土井:10.1016/S1385-7258(55)50054-0。hdl : 10338.dmlcz/102420。
• JA スショウテン (1940 年)。 「ユーバー・ディファレンシャル・コンコミタンテン・ツヴァイアー・コントラヴァリアンテン・グロッセン」。インダグ。数学。2 : 449–452。
• Schouten, JA (1953). 「テンソル計算における第一階微分作用素について」. クレモネーゼ編. Convegno Int. Geom. Diff. Italia . pp.  1– 7.
• ビノグラドフ、AM (1990)。 「Shouten-Nijenhuis ブラケットと Frölicher-Nijenhuis ブラケット、コホモロジー、および超微分演算子の統合」。Sov.数学。ザメトキ。４７．

外部リンク

• Nicola Ciccoli Schouten–Nijenhuis が「ポアソン幾何学から量子幾何学へ」に関するノートで括弧を付けている