セルマーグループ

数論幾何学において、 セルマー群は、エルンスト・セイエルステッド・セルマー (1951)の研究に敬意を表してジョン・ウィリアム・スコット・カッセルス (1962) によって命名された、アーベル多様体の同型から構成される群です。

同質遺伝子のセルマー群

アーベル多様体Aのアーベル多様体同型 f  :  A  →  Bに関するセルマー群は、ガロアコホモロジーを用いて次のように 定義できる。

${\displaystyle \operatorname {Sel} ^{(f)}(A/K)=\bigcap _{v}\ker(H^{1}(G_{K},\ker(f))\rightarrow H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])/\operatorname {im} (\kappa _{v}))}$

ここで、A _v [ f ] はA _vのf -捩れを表し、局所クンマー写像である。 は と同型であることに注意されたい。幾何学的には、セルマー群の元から生じる主同質空間は、Kのすべての位置vに対してK _v -有理点を持つ。セルマー群は有限である。これは、テイト・シャファレヴィッチ群のfによって殺される部分が、次の正確な順序により有限であることを意味する。${\displaystyle \kappa_{v}}$ ${\displaystyle B_{v}(K_{v})/f(A_{v}(K_{v}))\rightarrow H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])}$ ${\displaystyle H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])/\オペレーター名 {im} (\kappa _{v})}$ ${\displaystyle H^{1}(G_{K_{v}},A_{v})[f]}$

0 → B ( K )/ f ( A ( K )) → Sel ^{( f )} ( A / K ) → Ш( A / K )[ f ] → 0。

この正確な数列の真ん中にあるセルマー群は有限であり、効果的に計算可能です。これは、その部分群B ( K )/ f ( A ( K )) が有限であるという弱いモーデル・ヴェイユの定理を意味します。この部分群が効果的に計算できるかどうかについては、悪名高い問題があります。それは、テイト・シャファレビッチ群のp成分が有限になるような素数pが存在する場合に正しい答えで終了する計算手順があるということです。テイト・シャファレビッチ群は実際には有限であると予想されており、その場合はどの素数pでも機能します。ただし、もしテイト・シャファレビッチ群がすべての素数pに対して無限のp成分を持つ場合、この手順は決して終了しない可能性があります。

ラルフ・グリーンバーグ （1994）は、セルマー群の概念を、より一般的なp進ガロア表現と、岩澤理論の文脈におけるモチーフのp進変化に一般化した。

有限ガロア加群のセルマー群

より一般的には、有限ガロア加群M (同型核など)のセルマー群を、 H ¹ ( G _{K v}、M ) の特定の部分群内に像を持つH ¹ ( G _{K 、} M ) の元として定義することができます。

歴史

1954年の論文「三次曲線上の有理点に関する予想」 [ ^1]において、セルマーは特定の三次曲線上の有理点の生成元を二回降下法を用いて考察している。彼は、カッセルズ^[2]が用いた方法が、セルマーが以前に用いていた生成元検出方法の不十分さを指摘していると指摘している。しかし、カッセルズの方法も全ての生成元を検出するには不十分である。セルマーはこの状況を数値的に検証し、以下の予想を定式化している。^[1]

2 番目の降下が存在する場合、見つかるジェネレータの数は、最初の降下によって示される数よりも偶数少なくなります。

カッセルズは、1959年の「種数1の曲線上の算術：I.セルマーの予想について」^[3]から始まる8本の論文シリーズでこの状況を検討した。 1962年のこのシリーズの3番目の論文「種数1の曲線上の算術。III.テイト-シャファレヴィッチ群とセルマー群」 [ ^4]で、カッセルズは次のように述べている。

セルマーが本研究を始めたので、我々はこれをセルマー グループと呼ぶことにします。

こうしてセルマー グループが誕生しました。

参考文献

1. Selmer, Ernst S. (1954). 「三次曲線上の有理点に関する予想」. Mathematica Scandinavica . 2 : 49–54 . doi :10.7146/math.scand.a-10394 . 2024年12月24日閲覧。
2. カッセルズ、JWS (1950)。 「ディオファントス方程式の有理解」(PDF)。アクタ・マセマティカ。82 : 243–273。土井: 10.1007/BF02398279。ISSN  0001-5962 。2024 年12 月 24 日に取得。
3. Cassels, JWS (1959). 「種数1の曲線上の算術 I. セルマーの予想について」. CRLL . 1959 (202): 52–99 . doi :10.1515/crll.1959.202.52. ISSN  0075-4102.
4. Cassels, JWS (1963). 「種数1の曲線上の算術 III. Tate-Šafarevič群とSelmer群」.ロンドン数学会報. s3-13 (1): 768. doi : 10.1112/plms/s3-13.1.768-s .

• カッセルズ、ジョン・ウィリアム・スコット(1962)、「種数1の曲線上の算術。III. テイト・シャファレヴィッチ群とセルマー群」、ロンドン数学会紀要、第3シリーズ、12 : 259– 296、doi :10.1112/plms/s3-12.1.259、ISSN  0024-6115、MR  0163913
• カッセルズ、ジョン・ウィリアム・スコット（1991年）「楕円曲線に関する講義」、ロンドン数学会学生テキスト第24巻、ケンブリッジ大学出版局、doi :10.1017/CBO9781139172530、ISBN 978-0-521-41517-0、MR  1144763
• グリーンバーグ、ラルフ（1994）「岩澤理論とモチーフのp進変形」、セル、ジャン＝ピエール、ヤンセン、ウーヴェ、クライマン、スティーブン・L（編）『モチーフ』、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-1637-0、MR  1265554
• セルマー、エルンスト・S. (1951)、「ディオファントス方程式ax ³  +  by ³  +  cz ³   = 0」、Acta Mathematica、85 : 203–362、doi : 10.1007/BF02395746、ISSN  0001-5962、MR  0041871

参照

• ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明