半局所単連結

数学、特に代数位相幾何学において、半局所単連結性（しょうちゅうたんていれつたんそくせい）とは、被覆空間の理論において生じる特定の局所連結性条件である。大まかに言えば、位相空間Xが半局所単連結であるとは、 Xの「穴」の大きさに下限値が存在することを意味する。この条件は、普遍被覆の存在や、被覆空間と基本群の部分群との間のガロア対応など、被覆空間の理論のほとんどにおいて必須である。

多様体やCW複体といった「良い」空間のほとんどは半局所的に単連結であり、この条件を満たさない位相空間はやや病的であると考えられる。半局所的に単連結でない空間の典型的な例は、ハワイアンイヤリングである。

意味

空間Xが半局所的に単連結であるとは、 X内のすべての点 xとx内のすべての近傍Vにxの開近傍Uがあり、 U内のすべてのループをX内の単一の点に縮約できる（つまり、U内のすべてのループをX内でヌルホモトピックである）という性質が満たされるときです。近傍U は単連結である必要はありません。 U内のすべてのループはX内で縮約可能でなければなりませんが、縮約がU内で行われる必要はありません。このため、空間は局所的に単連結でなくても半局所的に単連結である可能性があります。この定義と同様に、空間Xが半局所的に単連結であるとは、X内のすべての点に開近傍Uがあり、 U内のすべてのループをX内の単一の点に縮約できるという性質が満たされるときです。 $x\in U\subset V$

この概念を定義する別の同等の方法は、空間Xが半局所的に単連結であるとは、X内のすべての点に開近傍Uがあり、その開近傍 U について、 UのXへの包含写像によって誘導される、 U の基本群からXの基本群への準同型写像が自明であるときです。

被覆空間に関する主要な定理のほとんどは、普遍被覆の存在やガロア対応を含め、空間が経路連結であること、局所経路連結であること、半局所単連結であることを必要とし、この条件はループ不可能（フランス語でdélaçable ）として知られる。 ^[1]特に、この条件は空間が単連結な被覆空間を持つために必要である。

例

半局所的に単連結でない空間の簡単な例として、ハワイアンイヤリングが挙げられます。これは、ユークリッド平面上の、中心が (1/ n , 0)、半径が1/ n （ nは自然数）である円の和集合です。この空間に部分空間位相を与えましょう。すると、原点のすべての近傍には、ヌルホモトピックでない円が含まれます。

ハワイアンイヤリングは、局所単連結ではない半局所単連結空間を構築するためにも使用できます。特に、ハワイアンイヤリングの円錐は収縮可能であるため半局所単連結ですが、明らかに局所単連結ではありません。

基本群の位相

基本群上の自然な位相の観点から見ると、局所経路連結空間が半局所的に単連結であるためには、その準位相的基本群が離散的である必要があります。^[要出典]

参考文献

^ ブルバキ 2016年、340頁。

ブルバキ、ニコラス(2016)。トポロジー代数: Chapitres 1 から 4。スプリンガー。 Ch. IV、339～480ページ。ISBN 978-3662493601。
JS Calcut、JD McCarthy位相基本群の離散性と同質性Topology Proceedings、第34巻、(2009)、pp. 339–349
ハッチャー、アレン（2002年）『代数的位相幾何学』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-79540-0。

[FOOTNOTEBourbaki2016340-1] ブルバキ 2016年、340頁。