形状最適化

形状最適化は最適制御理論の分野の一部です。典型的な問題は、与えられた制約条件を満たしながら、特定のコスト関数を最小化する最適な形状を見つけることです。多くの場合、解くべき関数は、変数領域上で定義された 偏微分方程式の解に依存します。

さらに、トポロジー最適化は、ドメインに属する連結成分／境界の数にも関係します。形状最適化手法は、通常、穴の数が一定であるなど、位相特性が固定された許容形状のサブセットでのみ機能するため、このような手法が必要となります。トポロジー最適化技術は、純粋な形状最適化の限界を回避するのに役立ちます。

意味

数学的には、形状最適化は、関数を最小化する有界集合 を見つける問題として考えることができる。Ω{\displaystyle \オメガ}

F（Ω）{\displaystyle {\mathcal {F}}(\Omega )}、

おそらく、次のような 制約を受ける

G（Ω）＝0。{\displaystyle {\mathcal {G}}(\Omega )=0.}

通常、私たちが関心を持つのは、リプシッツ境界またはC 1境界であり、有限個の成分からなる集合です。これは、粗雑な断片の寄せ集めではなく、むしろ好ましい形状を解として求めていることを意味します。そのためには、問題の適切性と解の一意性を保証するために、追加の制約を課す必要がある場合もあります。 Ω{\displaystyle \オメガ}

形状最適化は無限次元の最適化問題です。さらに、最適化の対象となる形状の空間はベクトル空間構造を持たず、従来の最適化手法の適用が困難になります。

例

  • 与えられた体積を持つすべての三次元形状の中で、表面積が最小となるものを見つけてください。ここで：
    F（Ω）＝エリア（∂Ω）{\displaystyle {\mathcal {F}}(\Omega )={\mbox{Area}}(\partial \Omega )}、

    と

    G（Ω）＝音量（Ω）＝定数。{\displaystyle {\mathcal {G}}(\Omega )={\mbox{体積}}(\Omega )={\mbox{定数}}}
    等周不等式 によって与えられる答えは球です。
  • 抗力を最小化する飛行機の翼の形状を求めなさい。ここでの制約条件は、翼の強度、または翼の寸法である。
  • 最小の質量/体積を持ちながら、与えられた応力に耐えることができるさまざまな機械構造の形状を見つけます。
  • 内部に固定された放射源を持つ既知の三次元物体が与えられた場合、物体の境界の一部における測定結果に基づいて、放射源の形状と大きさを推定する。この逆問題を最小二乗近似を用いて定式化すると、形状最適化問題が得られる。

テクニック

形状最適化問題は通常、反復法を用いて数値的に解かれます。つまり、まず形状の初期推定値から始め、それを徐々に進化させ、最適な形状へと変化させていきます。

形状を追跡する

形状最適化問題を解くには、コンピュータメモリ内で形状を表現する方法を見つけ、その変化を追跡する必要があります。通常、いくつかのアプローチが用いられます。

一つのアプローチは、形状の境界に沿って進むことです。そのためには、形状の境界を比較的密で均一な方法でサンプリングします。つまり、形状の輪郭を十分に正確に得るのに十分な点を考慮します。そして、境界点を徐々に移動させることで、形状を進化させることができます。これはラグランジュアプローチと呼ばれます。

別のアプローチは、図形の周囲の長方形のボックス上に定義された関数を考えることです。この関数は、図形の内側では正、図形の境界ではゼロ、図形の外側では負です。そして、図形自体の代わりにこの関数を展開することができます。ボックス上に長方形のグリッドを考え、グリッドポイントで関数をサンプリングすることができます。図形が展開されても、グリッドポイントは変化せず、グリッドポイントにおける関数の値のみが変化します。固定グリッドを使用するこのアプローチは、オイラーアプローチと呼ばれます。関数を用いて図形を表すという考え方こそが、レベルセット法の根底にあります。

3つ目のアプローチは、形状の進化を流れの問題として考えることである。つまり、形状は塑性材料で徐々に変形し、形状の内部または境界上の任意の点は、常に元の形状の点に1対1で遡ることができると想像できる。数学的には、 が初期形状、 が時刻tにおける形状である場合、微分同相写像を考える。Ω0{\displaystyle \Omega _{0}}Ωt{\displaystyle \Omega_{t}}

ft:Ω0→Ωt、 のために 0≤t≤t0。{\displaystyle f_{t}:\Omega _{0}\to \Omega _{t},{\mbox{ }}0\leq t\leq t_{0}.}

ここでも、図形は直接扱うのが難しいエンティティであるため、関数を使用して図形を操作するという考え方です。

形状勾配を用いた反復法

滑らかな速度場と、その速度場における初期領域の変換族を考えます。 V{\displaystyle V}Ts{\displaystyle T_{s}}Ω0{\displaystyle \Omega _{0}}V{\displaystyle V}

×（0）＝×0∈Ω0、×′（s）＝V（×（s））、Ts（×0）＝×（s）、s≥0{\displaystyle x(0)=x_{0}\in \Omega _{0},\quad x'(s)=V(x(s)),\quad T_{s}(x_{0})=x(s),\quad s\geq 0}、

およびを表す

Ω0↦Ts（Ω0）＝Ωs。{\displaystyle \Omega _{0}\mapsto T_{s}(\Omega _{0})=\Omega _{s}.}

すると、形状に関する ガトーまたは形状微分は、F（Ω）{\displaystyle {\mathcal {F}}(\Omega )}Ω0{\displaystyle \Omega _{0}}

dF（Ω0;V）＝リムs→0F（Ωs）−F（Ω0）s{\displaystyle d{\mathcal {F}}(\Omega _{0};V)=\lim _{s\to 0}{\frac {{\mathcal {F}}(\Omega _{s})-{\mathcal {F}}(\Omega _{0})}{s}}}

この極限が存在する場合。さらに、微分が に関して線形である場合、の 唯一の元が存在し、V{\displaystyle V}∇F∈L2（∂Ω0）{\displaystyle \nabla {\mathcal {F}}\in L^{2}(\partial \Omega _{0})}

dF（Ω0;V）＝⟨∇F、V⟩∂Ω0{\displaystyle d{\mathcal {F}}(\Omega _{0};V)=\langle \nabla {\mathcal {F}},V\rangle _{\partial \Omega _{0}}}

ここで、は形状勾配と呼ばれます。これは勾配降下法の自然な考え方を与え、境界は負の形状勾配の方向に進化し、コスト関数の値が減少します。高階微分も同様に定義でき、ニュートン法のような手法につながります。 ∇F{\displaystyle \nabla {\mathcal {F}}}∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }

通常、目的関数の2 次導関数 (つまり、ヘッセ行列)を計算するのが難しい場合があるため、多数の反復が必要な場合でも、勾配降下法が好まれます。 F{\displaystyle {\mathcal {F}}}

形状最適化問題に制約がある場合、つまり関数が 存在する場合、制約付き問題を制約なしの問題に変換する方法を見つける必要があります。随伴状態法のようなラグランジュ乗数に基づくアイデアが有効な場合もあります。 G{\displaystyle {\mathcal {G}}}

ジオメトリパラメータ化

形状のパラメータ化が定義されていれば、標準的な最適化手法を用いて形状最適化を行うことができます。このようなパラメータ化は、目標関数が通常、数値モデル（CFD、FEAなど）を用いて評価される複雑な関数であるCAE分野において非常に重要です。幅広い問題に対応できる便利なアプローチは、CADモデルのパラメータ化と、関数評価に必要なすべてのプロセス（メッシュ作成、解析、結果処理）の完全自動化を組み合わせたものです。メッシュモーフィングは、計算された目的関数や制約関数の不連続性など、 再メッシュ化に伴う典型的な問題を解決するため、複雑な問題には有効な選択肢となります。

この場合、パラメータ化は、メッシュ更新方法を使用して変更される計算に使用される数値モデルに直接作用するメッシュ作成段階の後に定義されます。 メッシュモーフィングには、いくつかのアルゴリズムがあります（変形ボリューム、擬似ソリッド、ラジアル基底関数）。 パラメータ化アプローチの選択は、主に問題のサイズによって異なります。 CAD アプローチは小～中規模のモデルに適していますが、メッシュモーフィングアプローチは大規模および非常に大規模なモデルに最適（場合によっては唯一の実行可能）です。 多目的パレート最適化（NSGA II）は、形状最適化のための強力なアプローチとして利用できます。 この点で、パレート最適化アプローチは、他の多目的最適化では宣言できない領域制約の効果など、設計手法において有用な利点を発揮します。 ペナルティ関数を使用するアプローチは、最適化の最初の段階で使用できる効果的な手法です。 この方法では、目的関数の制約をペナルティ係数として使用して、制約付き形状設計問題を制約のない問題に適応させます。ほとんどの場合、ペナルティ係数は制約の数ではなく、制約の変化量に依存します。本最適化問題では、GAの実数値手法が適用されます。したがって、計算は変数の実数値に基づいています。[ 1 ]

参照

参考文献

  1. ^ Talebitooti,​​ R.; shojaeefard, MH; Yarmohammadisatri, Sadegh (2015). 「Bスプライン曲線を用いた円筒形タンクの形状設計最適化」. Computer & Fluids . 109 : 100–112 . doi : 10.1016/j.compfluid.2014.12.004 .

出典

  • Allaire, G. (2002)均質化法による形状最適化応用数学科学 146, Springer Verlag. ISBN 0-387-95298-5
  • Ashok D. Belegundu、Tirupathi R. Chandrupatla (2003)最適化の概念とエンジニアリングへの応用Prentice Hall ISBN 0-13-031279-7。
  • Bendsøe MP; Sigmund O. (2003)トポロジー最適化：理論、方法、応用. Springer. ISBN 3-540-42992-1。
  • Burger, M.; Osher, SL (2005)「逆問題と最適設計のためのレベルセット法の概説」European Journal of Applied Mathematics, vol.16, pp. 263–301.
  • Delfour, MC; Zolesio, J.-P. (2001) Shapes and Geometries - Analysis, Differential Calculus, and Optimization . SIAM. ISBN 0-89871-489-3。
  • Haslinger, J.; Mäkinen, R. (2003)形状最適化入門：理論、近似、計算工業応用数学協会ISBN 0-89871-536-9。
  • Laporte, E.; Le Tallec, P. (2003)感度解析と形状最適化における数値的手法. Birkhäuser. ISBN 0-8176-4322-2。
  • Mohammadi, B.; Pironneau, O. (2001)流体のための応用形状最適化. オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-850743-7。
  • Simon J. (1980)境界値問題における領域に関する微分. Numer. Funct. Anal. and Optimiz., 2(7&8), 649-687 (1980).
  • Optopoグループ— エコール・ポリテクニーク（フランス）のOptopoグループによるシミュレーションと参考文献。均質化法とレベルセット法。
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