署名マトリックス

数学において、シグネチャ行列とは、対角要素がプラスまたはマイナス1である対角行列、つまり次の形式の行列である。^[1]

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\pm 1&0&\cdots &0&0\\0&\pm 1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &\pm 1&0\\0&0&\cdots &0&\pm 1\end{pmatrix}}}$

そのような行列はいずれもそれ自身の逆行列であるため、逆行列である。したがって、これは単位行列の平方根である。ただし、単位行列の平方根がすべてシグネチャ行列であるとは限らないことに注意されたい。

シグネチャ行列は対称かつ逆行列であるため、直交行列となる。したがって、シグネチャ行列に対応する任意の線形変換は等長変換を構成する。

幾何学的には、シグネチャ マトリックスは、反転された行または列に対応する各軸の 反射を表します。

プロパティ

AがN*Nの行列である場合、次のようになります。

• ${\displaystyle -N\leq \operatorname {tr} (A)\leq N}$ （対角値が-1または1であるため）
• Aの行列式は1か-1のいずれかです（対角行列であるため）

参照

• メトリック署名
• 署名（マトリックス）

参考文献

1. Bapat, RB (2010), グラフと行列, Universitext, ロンドン: Springer, p. 40, doi :10.1007/978-1-84882-981-7, ISBN 978-1-84882-980-0、MR  2797201。