サイモンモデル

応用確率論において、サイモンモデルは、べき乗分布関数を生じる確率モデルの一種です。このモデルは、ハーバート・A・サイモン^[1]によって提唱され、べき乗分布に従う様々な経験分布を説明するために用いられました。このモデルは、カウンター（例えば、テキスト中の単語とその頻度、ネットワーク内のノードとその接続性）を持つ要素のシステムのダイナミクスをモデル化します。このモデルでは、システムのダイナミクスは、新しい要素（単語の新しいインスタンス）の追加と、カウンター（単語の新しい出現）の現在の値に比例した速度での増加による一定の成長に基づいています。 ${\displaystyle k}$

説明

上述のようなネットワーク成長をモデル化するために、BornholdtとEbel ^[2]は、ノードを持つネットワークを検討した。各ノードは接続性 、 を持つ。これらのノードは、同一の接続性 を持つノードのクラスを形成する。以下の手順を繰り返す。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle [k]}$ ${\displaystyle f(k)}$ ${\displaystyle k}$

1. 確率的に新しいノードを追加し、任意に選択したノードからそのノードへのリンクを接続します。${\displaystyle \alpha}$
2. 確率で、任意のノードから、 に比例する確率で選択されたクラスのノードに 1 つのリンクを追加します。${\displaystyle 1-\alpha }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle [k]}$ ${\displaystyle kf(k)}$

この確率過程に対して、サイモンはべき乗則スケーリングを示す定常解を発見した。その指数は${\displaystyle P(k)\propto k^{-\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma =1+{\frac {1}{1-\alpha }}.}$

プロパティ

1. バラバシ・アルバート（BA）モデルは、ノードが他のノードに連結される確率（BAモデルにおける優先的接続と同じ）を単純化して用いることで、サイモンモデルのサブクラスにマッピングすることができる。言い換えれば、サイモンモデルは、スケールフリーネットワークをもたらす可能性のある一般的な確率過程のクラスを記述し、パレートの法則とジップの法則を捉えるのに適している。${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle P(\mathrm {new\ link\ to\ } i)\propto k_{i}}$
2. このモデルの唯一の自由パラメータは、ノード数とリンク数の相対的な増加を反映しています。一般に は小さな値であるため、スケーリング指数は と予測できます。例えば、BornholdtとEbel ^[2]はWorld Wide Webのリンクダイナミクスを研究し、スケーリング指数を と予測しました。これは観測結果と一致しています。${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \gamma \approx 2}$ ${\displaystyle \gamma \approx 2.1}$
3. スケールフリーモデルへの関心は、複雑ネットワークのトポロジーを記述できる能力に由来する。サイモンモデルは、頻度がべき乗則に従う事象を記述するために設計されたため、基礎となるネットワーク構造を持たない。したがって、平均経路長、スペクトル特性、クラスタリング係数といった次数分布を超えるネットワーク指標は、このマッピングからは得られない。

サイモンモデルは、成長と優先的付着特性を持つ一般化スケールフリーモデルと関連している。詳細については、^{[3] [4]を参照のこと。}

参照

• プライスのモデル

参考文献

1. サイモン、ハーバート・A. (1955). 「歪分布関数のクラスについて」.バイオメトリカ. 42 ( 3–4 ). オックスフォード大学出版局 (OUP): 425–440 . doi :10.1093/biomet/42.3-4.425. ISSN  0006-3444.
2. ボーンホルト, ステファン; エベル, ホルガー (2001-08-27). 「サイモンの1955年モデルによるワールドワイドウェブのスケーリング指数」. Physical Review E. 64 ( 3). American Physical Society (APS): 035104(R). arXiv : cond-mat/0008465 . Bibcode :2001PhRvE..64c5104B. doi :10.1103/physreve.64.035104. ISSN  1063-651X. PMID  11580377. S2CID  2582211.
3. アルバート、レカ;バラバシ、アルバート＝ラズロ (2002-01-30)。 「複雑なネットワークの統計力学」。現代物理学のレビュー。74 (1): 47–97 . arXiv : cond-mat/0106096。Bibcode :2002RvMP...74...47A。土井：10.1103/revmodphys.74.47。ISSN  0034-6861。S2CID  60545。
4. Amaral, LAN; Scala, A.; Barthelemy, M.; Stanley, HE (2000-09-26). 「スモールワールドネットワークのクラス」. Proceedings of the National Academy of Sciences USA . 97 (21). Proceedings of the National Academy of Sciences: 11149– 11152. arXiv : cond-mat/0001458 . Bibcode :2000PNAS...9711149A. doi : 10.1073/pnas.200327197 . ISSN  0027-8424. PMC 17168. PMID  11005838 .