単体可換環

代数学において、単体可換環は単体アーベル群の圏における可換モノイド、あるいは同値な可換環の圏における単体対象です。A が単体可換環である場合、 Aは環であり、 A はその環上の加群であることが示されます（実際、Aは A上の次数付き環です）。 ${\displaystyle \pi_{0}A}$ ${\displaystyle \pi_{i}A}$ ${\displaystyle \pi _{*}A}$ ${\displaystyle \pi_{0}A}$

この概念の位相的対応物は可換環スペクトルである。

例

• 単体上の多項式微分形式の環

次数付き環構造

Aを単体可換環とする。すると、 Aの環構造は、次数付き可換次数付き環の構造 を与える${\displaystyle \pi_{*}A=\oplus_{i\geq 0}\pi_{i}A}$

ドルド・カン対応により、はAに対応する鎖複体のホモロジーであり、特に次数付きアーベル群である。次に、2つの元を乗算するために、単体円について書き、2つの写像 とする。すると、合成は ${\displaystyle \pi _{*}A}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle x:(S^{1})^{\wedge i}\to A,\,\,y:(S^{1})^{\wedge j}\to A}$

${\displaystyle (S^{1})^{\wedge i}\times (S^{1})^{\wedge j}\to A\times A\to A}$ 、

2番目の写像であるAの乗算は、を誘導します。これは、今度はの元を与えます。このようにして、次数乗算を定義しました。スマッシュ積が結合的であるため、これは結合的です。反転によってマイナス符号が導入される ため、これは次数可換（つまり、 ）です${\displaystyle (S^{1})^{\wedge i}\wedge (S^{1})^{\wedge j}\to A}$ ${\displaystyle \pi_{i+j}A}$ ${\displaystyle \pi_{i}A\times \pi_{j}A\to \pi_{i+j}A}$ ${\displaystyle xy=(-1)^{|x||y|}yx}$ ${\displaystyle S^{1}\wedge S^{1}\to S^{1}\wedge S^{1}}$

MがA上の単体加群（つまり、MがAの作用を持つ単体アーベル群）である場合、同様の議論から、 は上の次数付き加群の構造を持つことが示されます（加群スペクトルを参照）。 ${\displaystyle \pi _{*}M}$ ${\displaystyle \pi _{*}A}$

仕様

定義により、アフィン導来スキームの圏は単体可換環の圏の反対の圏です。Aに対応するオブジェクトはと表記されます ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$

参照

• E_n環

参考文献

• ホモトピー理論の観点から見た単体可換環とは何ですか？
• 可換代数のどのような事実が、ホモトピーに至るまで、単体可換環に対して悲惨に失敗するのでしょうか?
• 参照リクエスト - 文字 0 の CDGA と sAlg の比較
• A. Mathew、「単体可換環」、I.
• B. Toën, 単体前層と導来代数幾何学
• P. Goerss と K. Schemmerhorn、「モデルカテゴリーと単体法」