シムズ予想

数学において、シムズ予想は群論における結果であり、もともとチャールズ・シムズによって提唱されたものである。^[1]彼は、 が有限集合上の原始置換群であり、が内の点の安定集合を表す場合、集合 内の任意の軌道の長さに対してとなる整数値関数が存在すると予想した。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G_{\alpha}}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(d)\geq |G_{\alpha }|}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle G_{\alpha}}$ ${\displaystyle S\setminus \{\alpha \}}$

この予想は、ピーター・キャメロン、シェリル・プレーガー、ヤン・サックス、ゲイリー・ザイツによって、有限単純群の分類、特に散在群の同型型は有限個しか存在しないという事実を用いて証明された。

この定理は正確には次の通りである。^[2]

定理—が原始置換群であり、が における点安定子の非自明な軌道の長さである場合に、の位数が最大で となるような関数が存在する。 ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h>1}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f(h)}$

したがって、「大きな」安定群を持つ原始置換群においては、これらの安定群は小さな軌道を持つことはできない。この証明の帰結として、次数が2より大きい連結な 距離推移 グラフは有限個しか存在しないことがわかる^{。[3] [4] [5]}

参考文献

1. シムズ、チャールズ C. (1967)。 「グラフと有限順列群」。数学的ツァイシュリフト。95 (1): 76–86。土井:10.1007/BF01117534。S2CID  186227555。
2. Pyber, László; Tracey, Gareth (2021). 「Sims予想の証明におけるいくつかの簡略化」. arXiv : 2102.06670 [math.GR].
3. Cameron, Peter J. ; Praeger, Cheryl E. ; Saxl, Jan ; Seitz, Gary M. (1983). 「シムズ予想と距離推移グラフについて」.ロンドン数学会報. 15 (5): 499– 506. doi :10.1112/blms/15.5.499.
4. Cameron, Peter J. (1982). 「与えられた価数が2より大きい距離推移グラフは有限個しか存在しない」. Combinatorica . 2 (1): 9– 13. doi :10.1007/BF02579277. S2CID  6483108.
5. アイザックス、I. マーティン(2011).有限群論.アメリカ数学会. ISBN 9780821843444. OCLC  935038216。