サイズ理論

数学において、サイズ理論は、 -値関数が与えられた位相空間の性質を、これらの関数の変化に関して研究する。より正式には、サイズ理論の主題は、サイズのペア間の自然な擬距離の研究である。サイズ理論の概説は に記載されている。[1] R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}

歴史と応用

サイズ理論の始まりは、フロシーニによって導入されたサイズ関数の概念に根ざしています。[2]サイズ関数は当初、コンピュータービジョンやパターン認識における形状比較のための数学的ツールとして使用されてきました。[3] [4] [5] [6] [ 7 ] [ 8 ] [9] [10]

サイズ関数の概念の代数位相への拡張は、1999 年の Frosini と Mulazzani の論文[11] で行われ、サイズホモトピー群が、- 値関数の自然擬距離とともに導入されました。ホモロジー理論への拡張(サイズ関数) は 2001 年に導入されました。[12] サイズホモトピー群とサイズ関数は、パーシステントホモロジー で研究されているパーシステントホモロジー群[13]の概念と厳密に関連しています 。サイズ関数は - 番目のパーシステントホモロジー群の階数であり、パーシステントホモロジー群とサイズホモトピー群の関係は、ホモロジー群とホモトピー群の関係に類似していることを指摘しておく価値があります。 R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}} 0 {\displaystyle 0}

サイズ理論では、サイズ関数とサイズホモトピー群は、 自然擬距離の下限値を計算するツールとして考えられています。実際には、サイズ関数が取る値と、サイズペア間の自然擬距離との間には、次のような関係があります。[14] [15] ℓ ( N , ψ ) ( x ¯ , y ¯ ) {\displaystyle \ell _{(N,\psi )}({\bar {x}},{\bar {y}})} ℓ ( M , φ ) ( x ~ , y ~ ) {\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}({\tilde {x}},{\tilde {y}})} d ( ( M , φ ) , ( N , ψ ) ) {\displaystyle d((M,\varphi ),(N,\psi ))} ( M , φ ) ,   ( N , ψ ) {\displaystyle (M,\varphi ),\ (N,\psi )}

If  ℓ ( N , ψ ) ( x ¯ , y ¯ ) > ℓ ( M , φ ) ( x ~ , y ~ )  then  d ( ( M , φ ) , ( N , ψ ) ) ≥ min { x ~ − x ¯ , y ¯ − y ~ } . {\displaystyle {\text{If }}\ell _{(N,\psi )}({\bar {x}},{\bar {y}})>\ell _{(M,\varphi )}({\tilde {x}},{\tilde {y}}){\text{ then }}d((M,\varphi ),(N,\psi ))\geq \min\{{\tilde {x}}-{\bar {x}},{\bar {y}}-{\tilde {y}}\}.}

サイズホモトピー群についても同様の結果が得られる。[11]

サイズ理論と自然擬似距離の概念を、最高ノルムとは異なるノルムに一般化しようとする試みは、他の再パラメータ化不変ノルムの研究につながった。[16]

参照

参考文献

  1. ^ Silvia Biasotti、Leila De Floriani、Bianca Falcidieno、Patrizio Frosini、Daniela Giorgi、Claudia Landi、Laura Papaleo、Michela Spagnuolo、実関数の幾何学的位相特性による形状の記述、ACM Computing Surveys、vol. 40 (2008)、n. 4、12:1–12:87。
  2. ^ Patrizio Frosini,ユークリッド空間の部分多様体の相似類の距離, オーストラリア数学会誌, 42(3):407–416, 1990.
  3. ^ Alessandro Verri、Claudio Uras、Patrizio Frosini、Massimo Ferri、「 形状分析におけるサイズ関数の使用について」、Biological Cyber​​netics、70:99–107、1993年。
  4. ^ Patrizio Frosini および Claudia Landi、 サイズ関数と形態学的変換、Acta Applicandae Mathematicae、49(1):85–104、1997。
  5. ^ Alessandro VerriとClaudio Uras、 「形状表現と認識へのメトリックトポロジカルアプローチ」、Image Vision Comput.、14:189–207、1996年。
  6. ^ Alessandro VerriとClaudio Uras、 「エッジマップからのサイズ関数の計算」、Internat. J. Comput. Vision、23(2):169–183、1997年。
  7. ^ Françoise Dibos、Patrizio Frosini、Denis Pasquignon、「 微分不変量による形状の比較のためのサイズ関数の使用」、Journal of Mathematical Imaging and Vision、21(2):107–118、2004年。
  8. ^ Michele d'Amico、Patrizio Frosini、Claudia Landi、「サイズ理論におけるマッチング距離の使用：調査」、International Journal of Imaging Systems and Technology、16(5):154–161、2006年。
  9. ^ Andrea Cerri、Massimo Ferri、Daniela Giorgi：サイズ関数による商標画像の検索Graphical Models 68：451–471、2006年。
  10. ^ Silvia Biasotti、Daniela Giorgi、Michela Spagnuolo、 Bianca Falcidieno : 3D モデルを比較するためのサイズ関数。パターン認識 41:2855–2873、2008。
  11. ^ ab Patrizio FrosiniとMichele Mulazzani、「自然サイズ距離の計算のためのサイズホモトピー群」、ベルギー数学協会誌 – Simon Stevin、6:455–464 1999。
  12. ^ Francesca Cagliari、Massimo Ferri、Paola Pozzi、カテゴリカルな観点から見たサイズ関数、Acta Applicandae Mathematicae、67(3):225–235、2001。
  13. ^ ハーバート・エデルスブルンナー、デイヴィッド・レッシャー、アフラ・ゾモロディアン、「位相的持続性と単純化」、離散幾何学と計算幾何学、28(4):511–533、2002年。
  14. ^ Patrizio FrosiniとClaudia Landi、「コンピュータビジョンのための位相ツールとしてのサイズ理論」、パターン認識と画像解析、9(4):596–603、1999年。
  15. ^ Pietro DonatiniとPatrizio Frosini、「サイズ関数による自然擬似距離の下限値」、Archives of Inequalities and Applications、2(1):1–12、2004年。
  16. ^ Patrizio Frosini, Claudia Landi: 再パラメータ化不変ノルム. アメリカ数学会誌 361:407–452, 2009.
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