ニスネヴィッチ位相幾何学

代数幾何学において、ニスネヴィッチ位相は、完全に分解された位相とも呼ばれ、代数K理論、A¹ホモトピー理論、モチーフ理論で用いられてきたスキームの圏上のグロタンディーク位相です。 これはもともと、アデルの理論に触発されたエフセイ・ニスネヴィッチによって導入されました

意味

スキームの射がエタール射であって、任意の（閉じていない可能性のある）点x ∈ Xに対して、ファイバーf ⁻¹ ( x )に点y ∈ Yが存在し、留数体の誘導写像k ( x ) → k ( y ) が同型となるような場合、その射はニスネビッチ射と呼ばれる。同様に、f は平坦、非分岐、局所的に有限表示でなければならず、任意の点x ∈ Xに対して、ファイバーf ⁻¹ ( x )に点yが存在し、k ( x ) → k ( y ) が同型となる必要がある。 ${\displaystyle f:Y\to X}$

射の族 { u _α  : X _α → X } は、族内の各射がエタールであり、あらゆる（おそらく閉じていない）点 x ∈ X に対して、αと点y ∈ X α st _u α ( _y ) = xが存在し、留数体 の誘導写像k ( x ) → k ( y ) が同型である場合、ニスネビッチ被覆と呼ばれます。族が有限である場合、これはからXへの射がニスネビッチ射であることと同等です。ニスネビッチ被覆は、スキームのカテゴリとスキームの射の上のプレトポロジーの被覆族です。これにより、ニスネビッチ位相と呼ばれる位相が生成されます。ニスネビッチ位相を持つスキームのカテゴリはNis と表記されます。 ${\displaystyle \coprod u_{\alpha }}$ ${\displaystyle \coprod X_{\alpha }}$

Xの小ニスネヴィッチサイトは、小エタールサイトと同じ基礎カテゴリを持つ。つまり、対象は固定されたエタール射U → Xを持つスキームUであり、その射はXへの固定された写像と両立するスキームの射である。許容される被覆はニスネヴィッチ射である。

Xの大きなニスネヴィッチサイトは、Xへの固定写像を持つ圏スキームと、 X -スキームの射を基礎とする。位相はニスネヴィッチ射によって与えられる。

ニスネヴィッチ位相には、特異多様体の研究に適したいくつかの変種があります。これらの位相の被覆には、特異点の解決や、より弱い解決形式が含まれます。

• cdh位相では、適切な双有理射を被覆として許可します。
• h位相では、被覆として De Jong の変更が許されます。
• l ′ 位相では、ガッバーの局所均一化定理の結論のように、射影が許容されます。

cdh トポロジと l′ トポロジはエタール トポロジとは比較できず、h トポロジはエタール トポロジよりも細かいです。

ニスネヴィッチ被覆の等価条件

カテゴリがqcqs（準コンパクトかつ準分離）スキーム上の滑らかなスキームから構成されると仮定すると、ニスネビッチ^[1]注3.39による元の定義は、上の定義と等価であり、ニスネビッチ被覆となるスキームの射の 族は、${\displaystyle \{p_{\alpha }:U_{\alpha }\to X\}_{\alpha \in A}}$

1. すべてはエタールであり、${\displaystyle p_{\alpha }}$
2. すべての体 について、 -点のレベルで、すべての被覆射の(集合論的) 余積は射影的です。${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p_{k}:\coprod _{\alpha }U_{\alpha }(k)\to X(k)}$ ${\displaystyle p_{\alpha }}$

ニスネヴィッチ被覆に対する次のもう一つの同値な条件は、ルリーによるものである^[要出典]：ニスネヴィッチ位相は、有限に提示された閉部分スキームの有限列が存在するようなエタール写像のすべての有限族によって生成される。${\displaystyle \{p_{\alpha }:U_{\alpha }\to X\}_{\alpha \in A}}$

${\displaystyle \varnothing =Z_{n+1}\subseteq Z_{n}\subseteq \cdots \subseteq Z_{1}\subseteq Z_{0}=X}$

となるため、${\displaystyle 0\leq m\leq n}$

${\displaystyle \coprod _{\alpha \in A}p_{\alpha }^{-1}(Z_{m}-Z_{m+1})\to Z_{m}-Z_{m+1}}$

切断を許容します。

これらの射を -点上で評価する場合、写像は全射であることを意味することに注意してください。逆に、自明な列を取ると、逆方向の結果が得られます ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Z_{0}=X}$

動機

ニスネヴィッチ位相をモティヴィックコホモロジーに導入する重要な動機の1つ^[2]は、ザリスキー開被覆がザリスキー層の解決をもたらさないという事実である^[3]${\displaystyle \pi :U\to X}$

${\displaystyle \cdots \to \mathbf {Z} _{tr}(U\times _{X}U)\to \mathbf {Z} _{tr}(U)\to \mathbf {Z} _{tr}(X)\to 0}$

ここで

${\displaystyle \mathbf {Z} _{tr}(Y)(Z):={\text{Hom}}_{cor}(Z,Y)}$

は、転送を伴う前層のカテゴリ上の表現可能関手です。ニスネヴィッチ位相の場合、局所環はヘンゼル環であり、ヘンゼル環の有限被覆はヘンゼル環の積で与えられ、正確性を示します

ニスネヴィッチ位相における局所環

x がスキームXの点である とすると、ニスネヴィッチ位相におけるxの局所環は、ザリスキー位相におけるxの局所環のヘンゼル化である。これは、局所環が厳密なヘンゼル化であるエタール位相とは異なる。2つのケースの重要な違いの一つは、留数体 を持つ局所環を考察することでわかる。この場合、ヘンゼル化と厳密なヘンゼル化の留数体は異なる^[4]。${\displaystyle (R,{\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle {\begin{aligned}(R,{\mathfrak {p}})^{h}&\rightsquigarrow \kappa \\(R,{\mathfrak {p}})^{sh}&\rightsquigarrow \kappa ^{sep}\end{aligned}}}$

したがって、厳密なヘンゼル化の留数体は、元の留数体の分離閉包を与える。 ${\displaystyle \kappa }$

ニスネヴィッチカバーの例

によって与えられたエタールカバーを考えてみましょう

${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{2}-t))\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])}$

基底のジェネリック点の剰余体の関連射を見ると、これは次数2の拡大であることが分かる。

${\displaystyle \mathbb {C} (t)\to {\frac {\mathbb {C} (t)[x]}{(x^{2}-t)}}}$

これは、このエタール被覆がニスネビッチ被覆ではないことを意味します。のジェネリック点には点の同型が存在するため、エタール射を加えることでニスネビッチ被覆を得ることができます。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-\{0,1\}\to \mathbb {A} ^{1}-\{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-\{0\}}$

条件付き被覆

体上のスキームを とすると、被覆^{[1]は21 ページ}に示すようになります${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i:\mathbb {A} ^{1}-\{a\}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{1}\\f:\mathbb {A} ^{1}-\{0\}\to \mathbb {A} ^{1}\end{aligned}}}$

が包含で であるとき、この被覆はが 上で解を持つ場合のみニスネビッチ被覆となる。そうでない場合、被覆は-点上の全射にはならない。この場合、被覆はエタール被覆のみとなる。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f(x)=x^{k}}$ ${\displaystyle x^{k}=a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

ザリスキー被覆

すべてのザリスキー被覆^{[1] 21ページは}ニスネビッチであるが、その逆は一般には成り立たない。^[5]これは、ザリスキー被覆に関わらず留数体は常に同型となり、定義によりザリスキー被覆は点上の全射を与えるため、いずれの定義を用いても簡単に証明できる。さらに、ザリスキー包含は常にエタール射である

アプリケーション

ニスネヴィッチは、もともとアデリックな用語で定義されたアフィン群スキームの類集合のコホモロジー的解釈を提供するために、彼の位相を導入した。彼はこれを用いて、整正則ノイザン基底スキーム上の簡約群スキームの下で有理的に自明なトルサーは、ザリスキー位相において局所的に自明であるというアレクサンダー・グロタンディークとジャン＝ピエール・セールの予想を部分的に証明した。ニスネヴィッチ位相の重要な性質の1つは、下降スペクトル列の存在である。Xを有限クルル次元のノイザンスキームとし、G _n ( X )をX上の連接層のカテゴリのキレンK群とする。これらの群のニスネヴィッチ位相に関する層化を とすると、収束スペクトル列が存在する。 ${\displaystyle {\tilde {G}}_{n}^{\,{\text{cd}}}(X)}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(X_{\text{cd}},{\tilde {G}}_{q}^{\,{\text{cd}}})\Rightarrow G_{q-p}(X)}$

p ≥ 0、q ≥ 0、p - q ≥ 0の場合。 がXの標数と等しくない素数である場合、 の係数を持つK群に対して同様の収束スペクトル列が存在する。 ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /\ell \mathbf {Z} }$

ニスネヴィッチ位相は代数K理論、A¹ホモトピー理論、動機理論にも重要な応用が見出されている。^{[6] [7]}

参照

• 転移を伴う前束
• 混合動機（数学）
• A¹ ホモトピー理論
• ヘンゼル環

参考文献

1. Antieau, Benjamin; Elmanto, Elden (2016-11-07). 「不安定なモティヴィックホモトピー理論の入門書」arXiv : 1605.00929 [math.AG]
2. ブロッホ、スペンサー.代数的サイクルに関する講義. ケンブリッジ. pp. ix.
3. モチーフコホモロジーに関する講義ノート。例6.13、39-40ページ。
4. 「セクション10.154 (0BSK): ヘンゼル化と厳密なヘンゼル化—スタックスプロジェクト」. stacks.math.columbia.edu . 2021年1月25日閲覧。
5. “counterexamples - A Nisnevich cover which is not Zariski”. MathOverflow . 2021年1月25日閲覧。
6. Voevodsky, Vladimir. 「体k上のモチーフの三角化圏」(PDF) . Journal of K-Theory . 命題3.1.3.
7. 「ニスネヴィッチ位相幾何学」（PDF）。2017年9月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。

• ニスネヴィッチ, イェフセイ A. (1989). 「スキーム上の完全分解位相幾何学と代数的K理論における付随降下スペクトル列」 JF Jardine, VP Snaith (編).代数的K理論：幾何学および位相幾何学との関連．1987年12月7日～11日にアルバータ州レイクルイーズで開催されたNATO高等研究所の議事録．NATO高等科学研究所シリーズC：数学および物理科学．第279巻．ドルドレヒト：Kluwer Academic Publishers Group．pp.  241– 342．ニスネヴィッチのウェブサイトで入手可能

• Levine, Marc (2008)、モティヴィックホモトピー理論(PDF)