スピングループ

スピン幾何学において、スピン^h群（または四元数スピン群）は、スピン群を第一シンプレクティック群とねじり合わせることで得られるリー群である。Hは四元数を表し、四元数はで表される。スピン^h群の重要な応用の一つは、スピン^h構造である。 ${\displaystyle \mathbb {H} }$

意味

スピン群は 特殊直交群の二重被覆であるため、によって作用する。さらに、は対蹠的同一視を通じて第一シンプレクティック群にも作用する。したがって、スピン^h群は次のように表される。 ^[1]${\displaystyle \operatorname {スピン} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {スピン} (n)/\mathbb {Z} _{2}\cong \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)}$ ${\displaystyle y\sim -y}$

${\displaystyle \operatorname {スピン} ^{\mathrm {h} }(n):=\left(\operatorname {スピン} (n)\times \operatorname {Sp} (1)\right)/\mathbb {Z} _{2}}$

mit 。これは とも表記される。例外同型 を用いると、 も成り立つ。 ${\displaystyle (x,y)\sim (-x,-y)}$ ${\displaystyle \operatorname {スピン} ^{\mathbb {H} }(n)}$ ${\displaystyle \operatorname {スピン} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)}$ ${\displaystyle \operatorname {スピン} ^{\mathrm {h} }(n)=\operatorname {スピン} ^{3}(n)}$

${\displaystyle \operatorname {スピン} ^{k}(n):=\left(\operatorname {スピン} (n)\times \operatorname {スピン} (k)\right)/\mathbb {Z} _{2}.}$

低次元の例

• ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(1)\cong \operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {SU} (2)}$ 同型性によって誘導される${\displaystyle \operatorname {スピン} (1)\cong \operatorname {O} (1)\cong \mathbb {Z} _{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(2)\cong \operatorname {U} (2)}$ 、例外的な同型性 によって誘導される- さらに なので、 も成り立ちます。${\displaystyle \operatorname {スピン} (2)\cong \operatorname {U} (1)\cong \operatorname {SO} (2)}$ ${\displaystyle \operatorname {スピン} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle \operatorname {スピン} ^{\mathrm {h} }(2)\cong \operatorname {スピン} ^{\mathrm {c} }(3)}$

プロパティ

すべての高次アーベルホモトピー群に対して、次の関係が成り立ちます。

${\displaystyle \pi _{k}\operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(n)\cong \pi _{k}\operatorname {Spin} (n)\times \pi _{k}\operatorname {Sp} (1)\cong \pi _{k}\operatorname {SO} (n)\times \pi _{k}(S^{3})}$

のために。 ${\displaystyle k\geq 2}$

参照

• スピン^cグループ

文学

• クリスチャン・ベア(1999)。 「楕円記号」。数学的表現。201 (1)。

参考文献

1. Bär 1999、16ページ