分割補題（関数）

数学、特に特異点理論において、分割補題はルネ・トムによる有用な結果であり、退化した臨界点の近傍に通常適用される関数の局所表現を簡素化する方法を提供します。

正式な声明

を滑らかな関数胚とすると、臨界点は0（ の場合も同様）となる。Vをの部分空間とし、制約 f | V が 非退化 となるようにする。この制約のヘッセ 行列_をBとする。WをVの任意の相補部分空間とする。すると、の形の座標変換が存在し、 W上にはとなる 滑らかな関数h が存在する。${\displaystyle f:(\mathbb {R} ^{n},0)\to (\mathbb {R} ,0)}$ ${\displaystyle (\partial f/\partial x_{i})(0)=0}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Phi (x,y)}$ ${\displaystyle \Phi (x,y)=(\phi (x,y),y)}$ ${\displaystyle x\in V,y\in W}$

${\displaystyle f\circ \Phi (x,y)={\frac {1}{2}}x^{T}Bx+h(y).}$

この結果はしばしばパラメータ化モース補題と呼ばれ、 yをパラメータと見なすことで理解できます。これは暗黙関数定理の勾配版です。

拡張機能

無限次元、複素解析関数、コンパクト群の作用下で不変な関数などへの拡張があります。

参考文献

• ポストン、ティム、スチュワート、イアン（1979）、カタストロフィー理論とその応用、ピットマン、ISBN 978-0-273-08429-7。
• Brocker, Th (1975)、Differentiable Germs and Catastrophes、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-20681-5。