BIBO安定性

信号処理、特に制御理論において、有界入力有界出力（BIBO）安定性は、入力を受ける信号およびシステムの安定性の一形態です。システムがBIBO安定である場合、システムへの有界な入力ごとに 出力は有界になります。

信号の大きさが を決して超えない有限値がある場合、信号は有界です。つまり、 ${\displaystyle B>0}$ ${\displaystyle B}$

離散時間信号の場合：${\displaystyle \exists B\forall n(\ |y[n]|\leq B)\quad n\in \mathbb {Z} }$

連続時間信号の場合：${\displaystyle \exists B\forall t(\ |y(t)|\leq B)\quad t\in \mathbb {R} }$

線形時不変システムの時間領域条件

連続時間の必要十分条件

連続時間 線形時不変（LTI）システムの場合、BIBO安定性の条件は、インパルス応答 、 が絶対積分可能、つまりそのL 1 ノルムが存在することです。${\displaystyle h(t)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

離散時間の十分条件

時間LTIシステムの場合、BIBO安定性の条件は、インパルス応答 が絶対加算可能、つまりそのノルムが存在することです。 ${\displaystyle \ell ^{1}}$

${\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

十分性の証明

インパルス応答を持つ離散時間LTIシステムが与えられた場合、入力と出力の関係は ${\displaystyle \ h[n]}$ ${\displaystyle \ x[n]}$ ${\displaystyle \ y[n]}$

${\displaystyle \ y[n]=h[n]*x[n]}$

ここで は畳み込みを表します。すると、畳み込みの定義から ${\displaystyle *}$

${\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]x[n-k]}$

を の最大値、つまり-ノルムとします。 ${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$ ${\displaystyle \ |x[n]|}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$

${\displaystyle \left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[n-k]x[k]\right|}$

${\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|}$ （三角不等式により）

${\displaystyle {\begin{aligned}&\leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }\\&=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\\&=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[k]\right|\end{aligned}}}$

が絶対加算可能であれば、 であり ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[k]\right|=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}}$

したがって、 が絶対加算可能で が有界であれば、も有界です。なぜなら です。 ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle \left|x[n]\right|}$ ${\displaystyle \left|y[n]\right|}$ ${\displaystyle \|x\|_{\infty }\|h\|_{1}\in \mathbb {R} }$

連続時間の証明も同じ議論に従います

線形時不変システムの周波数領域条件

連続時間信号

有理連続時間システムの場合、安定性の条件は、ラプラス変換の収束領域（ROC）が虚軸を含むことです。システムが因果関係にある場合、ROCは、横軸が「最大極」の実部、つまりシステム内の任意の極の中で最大の実部を持つ極である垂直線の右側の開いた領域です。ROCを定義する最大極の実部は収束横軸と呼ばれます。したがって、BIBO安定性のためには、システムのすべての極がs平面の厳密に左半分にある必要があります。

この安定性条件は、上記の時間領域条件から次のように導出できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,dt&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)(e^{\sigma +j\omega })^{-t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)e^{-st}\right|\,dt\end{aligned}}}$

ここで、および${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=\sigma =0.}$

したがって、収束領域には虚軸が含まれていなければなりません。

離散時間信号

有理離散時間システムの場合、安定性の条件は、Z変換の収束領域（ROC）に単位円が含まれることです。システムが因果的である場合、ROCは、半径が最大振幅の極の振幅である円の外側の開いた領域です。したがって、 BIBO安定性のためには、システムのすべての極がZ平面の単位円内になければなりません。

この安定性条件は、連続時間の微分と同様の方法で導出できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n](re^{j\omega })^{-n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]z^{-n}\right|\end{aligned}}}$

ここで、およびです。 ${\displaystyle z=re^{j\omega }}$ ${\displaystyle r=|z|=1}$

したがって、収束領域には単位円が含まれていなければなりません。

参照

• LTIシステム理論
• 有限インパルス応答（FIR）フィルタ
• 無限インパルス応答（IIR）フィルタ
• ナイキスト線図
• ラウス・フルヴィッツ安定判定基準
• ボード線図
• 位相余裕
• 根軌跡法
• 入力状態安定性

参考文献

• Gordon E. Carlson著『Signal and Linear Systems Analysis with Matlab』第2版、Wiley、1998年、ISBN 0-471-12465-6
• ジョン・G・プロアキス、ディミトリス・G・マノラキス著『デジタル信号処理の原理、アルゴリズム、およびアプリケーション』第3版、プレンティス・ホール、1996年、ISBN 0-13-373762-4
• D・ロナルド・ファニン、ウィリアム・H・トランター、ロジャー・E・ジーマー著『信号とシステム 連続および離散』第4版、プレンティス・ホール、1998年、ISBN 0-13-496456-X
• BIBO安定性の必要条件の証明
• クリストフ・バッソ著『リニアおよびスイッチング電源の制御ループの設計：チュートリアルガイド』第1版、アーテック・ハウス、2012年、978-1608075577
• Michael Unser (2020). 「BIBO安定性に関する注記」. IEEE Transactions on Signal Processing . 68 : 5904–5913 . arXiv : 2005.14428 . Bibcode : 2020ITSP ...68.5904U. doi :10.1109/TSP.2020.3025029.

参考文献