バー複合施設

数学において、バー複素数は、バー分解、バー構成、標準分解、標準複素数とも呼ばれ、ホモロジー代数における分解を構築する方法です。これは、サミュエル・アイレンバーグとサンダース・マクレーン^[1] 、およびアンリ・カルタンとアイレンバーグ^{[2]によって、}可換環上の代数の特殊なケースに対して初めて導入され、その後、様々な方法で一般化されてきました。「バー複素数」という名前は、アイレンバーグとマクレーン^[1]が複素数の表記において、 テンソル積の短縮形として縦棒|を使用したことに由来しています${\displaystyle \otimes }$

定義

を体上の代数、を右加群、を左加群とする。すると、次式で与えられる 棒状複体を形成することができる${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Bar} _{R}(M_{1},M_{2})}$

${\displaystyle \cdots \rightarrow M_{1}\otimes _{k}R\otimes _{k}R\otimes _{k}M_{2}\rightarrow M_{1}\otimes _{k}R\otimes _{k}M_{2}\rightarrow M_{1}\otimes _{k}M_{2}\rightarrow 0\,,}$

微分を用いて

${\displaystyle {\begin{aligned}d(m_{1}\otimes r_{1}\otimes \cdots \otimes r_{n}\otimes m_{2})&=m_{1}r_{1}\otimes \cdots \otimes r_{n}\otimes m_{2}\\&+\sum _{i=1}^{n-1}(-1)^{i}m_{1}\otimes r_{1}\otimes \cdots \otimes r_{i}r_{i+1}\otimes \cdots \otimes r_{n}\otimes m_{2}+(-1)^{n}m_{1}\otimes r_{1}\otimes \cdots \otimes r_{n}m_{2}\end{aligned}}}$

分解

バー複体は、環上の加群の（自由な）分解を生成する標準的な方法を提供するため有用です。しかし、これらの分解はしばしば非常に大きく、実際の計算を行うのに非常に困難な場合があります

モジュールの自由解決

を左-加群とし、単位-代数をもったものとしよう。すると、棒状複体は自由左 -加群によるの分解を与える。具体的には、複体は^{[3]で示される。}${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {Bar} _{R}(R,M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \cdots \rightarrow R\otimes _{k}R\otimes _{k}R\otimes _{k}M\rightarrow R\otimes _{k}R\otimes _{k}M\rightarrow R\otimes _{k}M\rightarrow 0\,,}$

この複体は自由左- 加群で構成されます。これは、後続の各項が、前の項の基礎となるベクトル空間上の自由左 - 加群を取ることによって得られるためです。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

これが の解像度を与えることを確認するために、修正された複素数を考える。 ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \cdots \rightarrow R\otimes _{k}R\otimes _{k}R\otimes _{k}M\rightarrow R\otimes _{k}R\otimes _{k}M\rightarrow R\otimes _{k}M\rightarrow M\rightarrow 0\,,}$

すると、上記の棒状複体が の分解であることは、この拡張複体が自明なホモロジーを持つことと同値である。これは、恒等複体と 0 の間に明示的なホモトピーを構築することで証明できる。このホモトピーは次のように与えられる。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle h_{n}:R^{\otimes _{k}n}\otimes _{k}M\to R^{\otimes _{k}(n+1)}\otimes _{k}M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}(r_{1}\otimes \cdots \otimes r_{n}\otimes m)&=\sum _{i=1}^{n-1}(-1)^{i+1}r_{1}\otimes \cdots \otimes r_{i-1}\otimes 1\otimes r_{i}\otimes \cdots \otimes r_{n}\otimes m\end{aligned}}}$

同様に、複素数を持つ自由右加群による右 -加群の分解を構築することもできます。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \operatorname {Bar} _{R}(N,R)}$

加群をそれ自身の加群として分解したい場合、上記の2つの複体は同じであり、実際には- -bimodulesによるの分解を与えることに注意してください。これにより、単純なオプション よりも自由- -bimodules による の分解がわずかに小さくなります。ここでは- -bimodules と-modulesの同値性を使用しています。ただし、については bimodules を参照してください。${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Bar} _{R^{e}}(R^{e},M)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{e}}$ ${\displaystyle R^{e}=R\otimes R^{\operatorname {op} }}$

正規化されたバーコンプレックス

正規化された（または簡約された）標準複素数は に置き換えられます。 ${\displaystyle A\otimes A\otimes \cdots \otimes A\otimes A}$ ${\displaystyle A\otimes (A/K)\otimes \cdots \otimes (A/K)\otimes A}$

参照

• コズル複合施設

注釈

1. Eilenberg, Samuel; Lane, Saunders Mac (1953年7月). 「群H(Π, n), Iについて」 . The Annals of Mathematics . 58 (1): 55. doi :10.2307/1969820
2. カルタン、ヘンリー、アイレンバーグ、サミュエル (2016).ホモロジー代数 (PMS-19) . プリンストン数学シリーズ. プリンストン、ニュージャージー州: プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-04991-5。
3. ヴァイベル 1994, p. 283

参考文献

• ギンズバーグ、ヴィクター(2005). 「非可換幾何学講義」. arXiv : math.AG/0506603
• ワイベル、チャールズ（1994）『ホモロジー代数入門』、ケンブリッジ高等数学研究第38巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-43500-5