ストークス演算子

ストークス演算子は、ジョージ・ガブリエル・ストークスにちなんで名付けられた、偏微分方程式の理論、特に流体力学と電磁気学の分野で使用される非有界線形演算子です。

意味

を発散のないベクトル場へのルレイ射影として定義すると、ストークス演算子は次のように定義される。 P σ {\displaystyle P_{\sigma}} あ {\displaystyle A}

あ := − P σ Δ 、 {\displaystyle A:=-P_{\sigma }\Delta ,}

ここで、 はラプラシアンです。は非有界なので、 の定義域も与える必要があります。これは （）として定義されます。ここで、は（通常n  = 2 または 3）における有界開集合であり、は標準的なソボレフ空間であり、 の発散は超関数の意味で取られます。 Δ ≡ ∇ 2 {\displaystyle \Delta \equiv \nabla ^{2}} あ {\displaystyle A} D （ あ ） ＝ H 2 ∩ V {\displaystyle {\mathcal {D}}(A)=H^{2}\cap V} V ＝ { あなた → ∈ （ H 0 1 （ Ω ） ） n | 分割 あなた → ＝ 0 } {\displaystyle V=\{{\vec {u}}\in (H_{0}^{1}(\Omega ))^{n}|\operatorname {div} \,{\vec {u}}=0\}} Ω {\displaystyle \オメガ} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} H 2 （ Ω ） {\displaystyle H^{2}(\オメガ )} H 0 1 （ Ω ） {\displaystyle H_{0}^{1}(\オメガ )} あなた → {\displaystyle {\vec {u}}}

プロパティ

与えられた開領域、有界領域、境界を持つ領域に対して、ストークス作用素は内積に関して自己随伴な正定値作用素である。ストークス作用素は、以下の式を満たす 固有値に対応する固有関数の直交基底を持つ。 Ω {\displaystyle \オメガ} C 2 {\displaystyle C^{2}} あ {\displaystyle A} L 2 {\displaystyle L^{2}} { わ け } け ＝ 1 ∞ {\displaystyle \{w_{k}\}_{k=1}^{\infty }} { λ け } け ＝ 1 ∞ {\displaystyle \{\lambda _{k}\}_{k=1}^{\infty }}

0 < λ 1 < λ 2 ≤ λ 3 ⋯ ≤ λ け ≤ ⋯ {\displaystyle 0<\lambda _{1}\lambda _{2}\leq \lambda _{3}\cdots \leq \lambda _{k}\leq \cdots }

および とみなす。最小の固有値は唯一かつ非零であることに注意されたい。これらの性質により、ストークス演算子の冪を定義することができる。 を実数とする。に対する作用によってを定義する。 λ け → ∞ {\displaystyle \lambda _{k}\rightarrow \infty } け → ∞ {\displaystyle k\rightarrow \infty } α > 0 {\displaystyle \alpha >0} あ α {\displaystyle A^{\alpha}} あなた → ∈ D （ あ ） {\displaystyle {\vec {u}}\in {\mathcal {D}}(A)}

あ α あなた → ＝ ∑ け ＝ 1 ∞ λ け α あなた け わ け → {\displaystyle A^{\alpha }{\vec {u}}=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}^{\alpha }u_{k}{\vec {w_{k}}}}

ここで、は内積 です。 あなた け := （ あなた → 、 わ け → ） {\displaystyle u_{k}:=({\vec {u}},{\vec {w_{k}}})} （ ⋅ 、 ⋅ ） {\displaystyle (\cdot ,\cdot )} L 2 （ Ω ） {\displaystyle L^{2}(\オメガ )}

ストークス作用素の逆作用素は空間 における有界かつコンパクトな自己随伴作用素である。ここで はトレース作用素である。さらに は単射である。 あ − 1 {\displaystyle A^{-1}} H := { あなた → ∈ （ L 2 （ Ω ） ） n | 分割 あなた → ＝ 0  そして  γ （ あなた → ） ＝ 0 } {\displaystyle H:=\{{\vec {u}}\in (L^{2}(\Omega ))^{n}|\operatorname {div} \,{\vec {u}}=0{\text{ および }}\gamma ({\vec {u}})=0\}} γ {\displaystyle \gamma} あ − 1 : H → V {\displaystyle A^{-1}:H\rightarrow V}

参考文献

  • テマム、ロジャー（2001）、ナビエ・ストークス方程式：理論と数値解析、AMSチェルシー出版、ISBN 0-8218-2737-5
  • コンスタンティン、ピーター、フォイアス、チプリアン著『ナビエ・ストークス方程式』シカゴ大学出版局（1988年）
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