ストロミンガー方程式

ヘテロティック弦理論において、ストロミンガー方程式は時空超対称性の必要十分条件となる方程式の集合である。これは、4次元時空が最大対称性を持つことを要求し、内部の6次元多様体にワープ因子を加えることで導出される。^[1]

実6次元内部多様体Y上の計量とベクトル束V上のエルミート計量hを考える。方程式は以下の通りである。 ${\displaystyle \omega }$

1. 4次元時空はミンコフスキー、すなわち、 です。${\displaystyle g=\eta }$
2. 内部多様体Yは複素数でなければなりません。つまり、Nijenhuis テンソルはゼロでなければなりません。${\displaystyle N=0}$
3. 複素三次元多様体Y上のエルミート形式 とベクトル束V上のエルミート計量hは、 ${\displaystyle \omega }$
   1. ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}\omega =i{\text{Tr}}F(h)\wedge F(h)-i{\text{Tr}}R^{-}(\omega )\wedge R^{-}(\omega ),}$
   2. ${\displaystyle d^{\dagger }\omega =i(\partial -{\bar {\partial }}){\text{ln}}||\Omega ||,}$
      ここで、 は のハル曲率2形式、Fはhの曲率、は正則n形式です。Fは物理学の文献ではヤン・ミルズ場の強度としても知られています。LiとYauは、2番目の条件が共形的に釣り合っている、すなわちであることと同等であることを示しました。^[2]${\displaystyle R^{-}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle d(||\Omega ||_{\omega }\omega ^{2})=0}$
4. ヤン・ミルズ場の強度は、
   1. ${\displaystyle \omega ^{a{\bar {b}}}F_{a{\bar {b}}}=0,}$
   2. ${\displaystyle F_{ab}=F_{{\bar {a}}{\bar {b}}}=0.}$

これらの方程式は通常の場の方程式を意味するため、解くべき唯一の方程式となります。

しかし、方程式の解を得るには位相的な障害があります。

1. 多様体の第2チャーン類とゲージ場の第2チャーン類は等しくなければならない。すなわち、${\displaystyle c_{2}(M)=c_{2}(F)}$
2. 正則n形式が 存在する必要があります。つまり、および です。${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle h^{n,0}=1}$ ${\displaystyle c_{1}=0}$

Vが接束でがケーラーの場合、と上のカラビ・ヤウ計量を取ることでこれらの方程式の解を得ることができます。 ${\displaystyle T_{Y}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T_{Y}}$

ストロミンガー方程式の解が得られれば、ワープ係数、ディラトン、背景フラックスHは次のように決定される。 ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \phi }$

1. ${\displaystyle \Delta (y)=\phi (y)+{\text{定数}}}$ 、
2. ${\displaystyle \phi (y)={\frac {1}{8}}{\text{ln}}||\Omega ||+{\text{定数}}}$ 、
3. ${\displaystyle H={\frac {i}{2}}({\bar {\partial }}-\partial )\omega .}$

参考文献

1. Strominger, Andrew (1986). 「ねじれを伴う超弦理論」 .核物理学B. 274 ( 2): 253– 284. Bibcode :1986NuPhB.274..253S. doi :10.1016/0550-3213(86)90286-5.
2. Li and Yau,ねじれを伴う超対称弦理論の存在, J. Differential Geom. 第70巻第1号 (2005), 143-181

• Cardoso, Curio, Dall'Agata, Lust, Manousselis, and Zoupanos, Non-Kähler String Backgrounds and their Five Torsion Classes , hep-th/0211118