混沌の同期

カオスの同期は、2 つ以上の散逸カオス システムが結合されたときに発生する可能性がある現象です。

カオス系の近傍軌道は指数関数的に発散するため、2つのカオス系が同期して進化することは意外に思えるかもしれません。しかし、結合または駆動されたカオス振動子の同期は、実験的に十分に確立され、理論的にも十分に理解されている現象です。

結合システムの同期の安定性は、マスター安定性を用いて解析することができます。カオスの同期は豊かな現象であり、幅広い応用範囲を持つ学際的な研究分野です。^{[1] [2] [3]}

同期は、相互作用するシステムの性質、結合のタイプ、およびシステム間の近接性に応じて、さまざまな形で現れます。

同一同期

このタイプの同期は完全同期とも呼ばれ、同一のカオス系で観察されます。初期条件が複数存在し、最終的にシステムが時間とともに同一に発展する場合、システムは完全同期していると言えます。最も単純な2つの拡散結合ダイナミクスのケースは、次のように記述されます。

${\displaystyle x^{\prime }=F(x)+\alpha (y-x)}$

${\displaystyle y^{\prime }=F(y)+\alpha (x-y)}$

ここで、は孤立したカオスダイナミクスをモデル化するベクトル場であり、は結合パラメータです。この領域は結合系の不変部分空間を定義し、この部分空間 が局所的に引力を持つ場合、結合系は同一の同期を示します。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x(t)=y(t)}$ ${\displaystyle x(t)=y(t)}$

結合が消失すると、振動子は分離され、カオス的な振る舞いは近傍の軌道の発散につながる。結合パラメータが十分に大きく、相互作用するシステムの軌道の発散が拡散結合によって抑制される場合、相互作用によって完全な同期が発生する。臨界結合強度を求めるために、差の振る舞いを調べる。が小さいと仮定すると、ベクトル場を級数展開し、テイラー残差を無視することで、差の振る舞いを支配する線型微分方程式を得ることができる 。${\displaystyle v=x-y}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v^{\prime }=DF(x(t))v-2\alpha v}$

ここで、 解に沿ったベクトル場のヤコビアンを表す。 ${\displaystyle DF(x(t))}$ ${\displaystyle \alpha =0}$

${\displaystyle u^{\prime }=DF(x(t))u,}$

そして、カオスの力学は であり、ここで は孤立系の最大リアプノフ指数を表す。ここで、仮定を用いて の式から の式へと 移る。したがって、次式を得る。 ${\displaystyle \|u(t)\|\leq \|u(0)\|e^{\lambda t}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle v=ue^{-2\alpha t}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \|v(t)\|\leq \|u(0)\|e^{(-2\alpha +\lambda )t}}$

全ての系が完全に同期しているため、臨界結合強度が生じる。臨界結合強度の存在は、孤立ダイナミクスのカオス的性質と関連している。 ${\displaystyle \alpha _{c}=\lambda /2}$ ${\displaystyle \alpha >\alpha _{c}}$

一般的に、この推論は同期のための正しい臨界結合値を導きます。しかし、場合によっては、臨界値よりも大きな結合強度で同期が失われることがあります。これは、臨界結合値の導出において無視された非線形項が重要な役割を果たし、差の挙動に対する指数関数的な境界を破ってしまうためです。^[4]しかし、この問題を厳密に扱い、非線形性が安定性に影響を与えない臨界値を得ることは可能です。^[5]

一般化された同期

このタイプの同期は、主に結合したカオス振動子が異なる場合に発生しますが、同一の振動子間でも発生することが報告されています。振動子の状態を決定する動的変数とを考えると、適切な初期条件からの一時的な発展の後、となるような関数 がある場合に、一般化同期が発生します。これは、振動子の 1 つの動的状態が、もう 1 つの振動子の状態によって完全に決定されることを意味します。振動子が相互に結合されている場合、この機能は可逆である必要があります。駆動-応答構成がある場合、駆動が応答の発展を決定し、Φ は可逆である必要はありません。同一同期は、が恒等関数である場合の一般化同期の特別なケースです。 ${\displaystyle (x_{1},x_{2},...x_{n})}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2},...y_{m})}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle [y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]}$ ${\displaystyle \phi }$

位相同期

位相同期は、結合したカオス振動子の位相差が一定に保たれ、振幅に相関がないときに発生します。この現象は、振動子が同一でなくても発生します。位相同期を観察するには、カオス振動子の位相を事前に定義する必要があります。多くの実際のケースでは、振動子の軌跡の投影が明確に定義された中心の周りの回転をたどる位相空間内の平面を見つけることができます。この場合、位相は、回転中心と軌跡点の平面への投影を結ぶ線分によって記述される角度 φ(t) によって定義されます。他の場合でも、ヒルベルト変換などの信号処理理論によって提供される手法を使用して位相を定義することができます。いずれの場合も、 φ ₁ (t) と φ ₂ (t) が2つの結合振動子の位相を表す場合、位相の同期は、mとnが整数で ある関係nφ ₁ (t)=mφ _{2 (t)で与えられます。}

予測同期と遅延同期

これらの場合、同期状態は時間間隔 τ によって特徴付けられ、発振器の動的変数 および は によって関連付けられます。これは、一方の発振器のダイナミクスが他方の発振器のダイナミクスに追従、または先行することを意味します。駆動応答構成で結合された遅延微分方程式によってダイナミクスが記述されるカオス発振器間では、先行同期が発生する可能性があります。この場合、応答は駆動のダイナミクスを先行します。位相同期された発振器間の結合強度が増加すると、 遅延同期が発生する可能性があります。${\displaystyle (x_{1},x_{2},...x_{n})}$ ${\displaystyle (x'_{1},x'_{2},...x'_{n})}$ ${\displaystyle x'_{i}(t)=x_{i}(t+\tau )}$

振幅エンベロープ同期

これは、弱く結合した2つのカオス振動子間に現れる可能性のある、軽度の同期現象です。この場合、位相と振幅の間に相関はなく、代わりに、2つの系の振動は、2つの系で同じ周波数を持つ周期的な包絡線を形成します。

これは、2つのカオス発振器の平均振動周波数の差と同じ桁の大きさです。振幅包絡線同期が位相同期に先行することが多く、振幅包絡線同期した2つの発振器間の結合強度が増加すると位相同期が発生します。

これらの同期形態はすべて、漸近安定性という性質を共有しています。これは、一度同期状態に達すると、同期を破壊する小さな摂動の影響が急速に減衰し、再び同期が回復することを意味します。数学的には、漸近安定性は、 2つの発振器からなるシステムのリアプノフ指数が正になることで特徴付けられ、カオス同期が達成されるとリアプノフ指数は負になります。

いくつかのカオスシステムでは、さらに強力なカオスの制御が可能であり、カオスの同期とカオスの制御はどちらも「サイバネティック物理学」と呼ばれるものを構成します。

注記

1. Arenas, Alex; Díaz-Guilera, Albert; Kurths, Jurgen; Moreno, Yamir; Zhou, Changsong (2008-12-01). 「複雑ネットワークにおける同期」. Physics Reports . 469 (3): 93– 153. arXiv : 0805.2976 . Bibcode :2008PhR...469...93A. doi :10.1016/j.physrep.2008.09.002. S2CID  14355929.
2. Wu, Chai Wah (2007).非線形動的システムの複雑ネットワークにおける同期. Bibcode :2007scnn.book.....W. doi :10.1142/6570. ISBN 978-981-270-973-8。
3. Eroglu, Deniz; Lamb, Jeroen SW; Pereira, Tiago (2017). 「カオスの同期とその応用」. Contemporary Physics . 58 (3): 207– 243. Bibcode :2017ConPh..58..207E. doi :10.1080/00107514.2017.1345844. hdl : 10044/1/53479 . ISSN  0010-7514. S2CID  126358436.
4. アシュウィン、ピーター (2006年8月9日). 「バブリング遷移」. Scholarpedia . 1 (8): 1725. Bibcode :2006SchpJ...1.1725A. doi : 10.4249/scholarpedia.1725 . ISSN  1941-6016.
5. Tiago Pereira、「複雑ネットワークにおける同期動作の安定性」、arXiv:1112.2297v1、2011年。

参考文献

• ピコフスキー, A.; ロセンブルム, M.; カース, J. (2001). 『同期：非線形科学における普遍的な概念』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-53352-2。
• ゴンザレス＝ミランダ、JM（2004）『同期とカオスの制御 科学者とエンジニアのための入門』インペリアル・カレッジ・プレス、ISBN 978-1-86094-488-8。
• Fradkov AL. 『サイバネティカル物理学：カオス制御から量子制御へ』Springer-Verlag, 2007, (ロシア語版暫定版：サンクトペテルブルク、Nauka, 2003) .

参照

• 倉本モデル