テイトコホモロジー群

数学において、テイトコホモロジー群は、有限群の通常のコホモロジー群をわずかに修正したものであり、ホモロジー群とコホモロジー群を一つの列にまとめたものである。テイトコホモロジー群はジョン・テイト(1952, p. 297)によって導入され 、類体論で用いられる。

意味

が有限群で-加群である場合、から への自然 な写像が存在し、その代表を （ のすべての-共役群の和）へ写す。テイトコホモロジー群は次のように定義される。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle H_{0}(G,A)}$ ${\displaystyle H^{0}(G,A)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sum _{g\in G}ga}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)}$

• ${\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)=H^{n}(G,A)}$ のために、${\displaystyle n\geq 1}$
• ${\displaystyle {\hat {H}}^{0}(G,A)=\operatorname {coker} N=}$ の商を の要素のノルムで割ったもの、${\displaystyle H^{0}(G,A)}$ ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle {\hat {H}}^{-1}(G,A)=\ker N=}$ のノルム要素をの主要素で割った商、${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)=H_{-n-1}(G,A)}$ のために。${\displaystyle n\leq -2}$

プロパティ

• もし

${\displaystyle 0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0}$

がG加群の短完全列である場合、テイトコホモロジー群の通常の長完全列が得られる。

${\displaystyle \cdots \longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,A)\longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,B)\longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,C)\longrightarrow {\hat {H}}^{n+1}(G,A)\longrightarrow {\hat {H}}^{n+1}(G,B)\cdots }$

• A が誘導Gモジュール (つまり、自明なグループのモジュールから誘導される)である場合、 Aのすべての Tate コホモロジー グループは消えます。
• Aのゼロ次テイトコホモロジー群は

( GのA上の不動点)/( GのA上に作用する明らかな不動点)

ここで「自明な」不動点とは、 の形をとる不動点を指します。言い換えれば、零次コホモロジー群は、ある意味で、Aに作用するGの自明でない不動点を記述するものです。 ${\displaystyle \sum ga}$

テイトコホモロジー群は上記の 3 つの特性によって特徴付けられます。

テイトの定理

テイトの定理（Tate 1952）は、コホモロジー類による乗法がコホモロジー群間の同型となるための条件を与える。この定理には若干異なるバージョンがいくつか存在するが、類体論に特に便利なバージョンは以下の通りである。

Aが有限群G上の加群であり、aがの元であるとする。この場合、 Gの任意の部分群Eに対して${\displaystyle H^{2}(G,A)}$

• ${\displaystyle H^{1}(E,A)}$ 些細なことであり、
• ${\displaystyle H^{2}(E,A)}$ は によって生成され、その位数はEです。${\displaystyle \operatorname {Res} (a)}$

すると、 aとのカップ積は同型になる。

• ${\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,\mathbb {Z} )\longrightarrow {\hat {H}}^{n+2}(G,A)}$

すべてのnに対して、言い換えれば、Aの次数付きテイトコホモロジーは、次数が 2 だけシフトした整数係数のテイトコホモロジーと同型です。

テイト・ファレルコホモロジー

F・トーマス・ファレルは、テイト・コホモロジー群を、有限仮想コホモロジー次元を持つ すべての群Gの場合に拡張した。ファレルの理論では、 nが群Gの仮想コホモロジー次元より大きい場合、群は通常のコホモロジー群と同型となる。有限群は仮想コホモロジー次元が 0 であり、この場合、ファレルのコホモロジー群はテイトのコホモロジー群と同じになる。 ${\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)}$

参照

• エルブランド商
• 階級形成

参考文献

• MF AtiyahとCTC Wall、「群のコホモロジー」、JWS Cassels、A. Frohlich著『代数的整数論』ISBN 0-12-163251-2第4章。セクション6を参照してください。
• ブラウン、ケネス・S. (1982).群のコホモロジー. 大学院数学テキスト. 第87巻. ニューヨーク-ベルリン: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-90688-6. MR  0672956。
• ファレル、F. トーマス(1977). 「テイトコホモロジーの無限群のクラスへの拡張」.純粋・応用代数ジャーナル. 10 (2): 153– 161. doi :10.1016/0022-4049(77)90018-4. MR  0470103.
• テイト、ジョン（1952）、「類体理論の高次元コホモロジー群」、Annals of Mathematics、2、56 （ 2）：294-297、doi：10.2307/1969801、JSTOR  1969801、MR  0049950