同義反復的帰結

命題論理において、トートロジー帰結は論理帰結の厳密な形式である^[1]。これは、命題のトートロジー性が証明のある行から次の行まで保存されるものである。すべての論理帰結がトートロジー帰結であるとは限らない。ある命題が、ある論理体系に関する証明において他の 1 つ以上の命題 ( 、、 ...、)のトートロジー帰結であるとは、その論理体系の規則に従ってその命題を証明の行に正当に導入できる場合を言う。また、( 、、 ...、 )のそれぞれが真であるすべての場合において、その命題も真である。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle Q}$

この同語反復性の保存を表現する別の方法は、真理値表を用いることです。ある命題が他の1つ以上の命題 ( , , ..., ) の同語的帰結であるとは、すべての命題 ( , , ..., ) に「T」を割り当てる結合真理値表のすべての行において、その真理値表が にも「T」を割り当てる場合に限ります。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle Q}$

例

a =「ソクラテスは人間である。」 b =「すべての人間は死ぬ。」 c =「ソクラテスは死ぬ。」

1つの

b

${\displaystyle {\therefore c}}$

この議論の結論は前提の論理的帰結です。なぜなら、結論が偽である限り、すべての前提が真であるということは不可能だからです。

a ∧ bとcの結合真理値表

1つの	b	c	a ∧ b	c
T	T	T	T	T
T	T	F	T	F
T	F	T	F	T
T	F	F	F	F
F	T	T	F	T
F	T	F	F	F
F	F	T	F	T
F	F	F	F	F

真理値表を見直すと、議論の結論は前提の同語反復的帰結ではないことがわかります。前提に T を代入するすべての行が、結論にも T を代入するわけではありません。特に、2行目では T がa ∧ bに代入されますが、 cには代入されません。

意味と特性

トートロジー的帰結は∧∧ …∧ →と定義することもでき、これはトートロジーの置換例であり、同じ効果を持つ。^[2]${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle Q}$

定義から、命題pが矛盾である場合、 pはあらゆる命題をトートロジー的に含意することがわかる。なぜなら、 pを真とする真理値は存在しないため、トートロジー的含意の定義は自明に満たされるからである。同様に、pがトートロジーである場合、あらゆる命題 からpはトートロジー的に含意される。

参照

• 論理的帰結
• トートロジー（論理）
• 真理値表

注記

1. バーワイズとエチェメンディ 1999、110ページ
2. Robert L. Causey (2006). Logic, Sets, and Recursion. Jones & Bartlett Learning. pp.  51– 52. ISBN 978-0-7637-3784-9. OCLC  62093042。

参考文献

• バーワイズ、ジョン、ジョン・エチェメンディ著『言語、証明、論理』スタンフォード大学：CSLI（言語情報研究センター）出版、1999年。印刷。
• Kleene, SC (1967) Mathematical Logic、2002年再版、Dover Publications、ISBN 0-486-42533-9。