時間依存ベクトル場

数学において、時間依存ベクトル場（じかんとくりょう）はベクトル計算における概念の一つであり、ベクトル場の概念を一般化したものである。これは、時間の経過と共に移動するベクトル場と考えることができる。時間の各瞬間において、ユークリッド空間または多様体内のあらゆる点にベクトルが関連付けられる。

意味

多様体M上の時間依存ベクトル場は、${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} \times M}$ ${\displaystyle TM}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X:\Omega \subset \mathbb {R} \times M&\longrightarrow TM\\(t,x)&\longmapsto X(t,x)=X_{t}(x)\in T_{x}M\end{aligned}}}$

任意の に対して はの要素となる。 ${\displaystyle (t,x)\in \Omega }$ ${\displaystyle X_{t}(x)}$ ${\displaystyle T_{x}M}$

集合​ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \Omega _{t}=\{x\in M\mid (t,x)\in \Omega \}\subset M}$

は空でない場合、開集合上で定義された通常の意味でのベクトル場です。 ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \Omega _{t}\subset M}$

関連する微分方程式

多様体M上の時間依存ベクトル場Xが与えられた場合、次の微分方程式をそれに関連付けることができます。

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=X(t,x)}$

これは定義上、非自律的と呼ばれます。

積分曲線

上の式の積分曲線（ Xの積分曲線とも呼ばれる）は写像である。

${\displaystyle \alpha :I\subset \mathbb {R} \longrightarrow M}$

はXの定義域の元であり 、${\displaystyle \forall t_{0}\in I}$ ${\displaystyle (t_{0},\alpha (t_{0}))}$

${\displaystyle {\frac {d\alpha }{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{0}}=X(t_{0},\alpha (t_{0}))}$ 。

時間独立ベクトル場との同値性

上の時間依存ベクトル場は、依存しないベクトル場であると考えられる。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times M,}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}(t,p)\in T_{(t,p)}(\mathbb {R} \times M)}$ ${\displaystyle t.}$

逆に、時間依存ベクトル場には時間非依存ベクトル場が付随する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

${\displaystyle \mathbb {R} \times M\ni (t,p)\mapsto {\dfrac {\partial }{\partial t}}{\Biggl |}_{t}+X(p)\in T_{(t,p)}(\mathbb {R} \times M)}$

座標で は、${\displaystyle \mathbb {R} \times M.}$

${\displaystyle {\tilde {X}}(t,x)=(1,X(t,x)).}$

の自律微分方程式系は、の非自律微分方程式系と等価であり、 はそれぞれと の積分曲線の集合間の一対一関係である。 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{t}\leftrightarrow (t,x_{t})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}},}$

流れ

時間依存ベクトル場Xの流れは、唯一の微分可能写像である。

${\displaystyle F:D(X)\subset \mathbb {R} \times \Omega \longrightarrow M}$

任意の に対して、 ${\displaystyle (t_{0},x)\in \Omega }$

${\displaystyle t\longrightarrow F(t,t_{0},x)}$

は、 を満たすXの積分曲線です。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha (t_{0})=x}$

プロパティ

次のように定義します${\displaystyle F_{t,s}}$ ${\displaystyle F_{t,s}(p)=F(t,s,p)}$

1. もし、そして${\displaystyle (t_{1},t_{0},p)\in D(X)}$ ${\displaystyle (t_{2},t_{1},F_{t_{1},t_{0}}(p))\in D(X)}$ ${\displaystyle F_{t_{2},t_{1}}\circ F_{t_{1},t_{0}}(p)=F_{t_{2},t_{0}}(p)}$
2. ${\displaystyle \forall t,s}$ は、逆を持つ微分同相写像です。${\displaystyle F_{t,s}}$ ${\displaystyle F_{s,t}}$

アプリケーション

XとYを滑らかな時間依存ベクトル場とし、Xの流れをxとすると、次の恒等式が証明できる。 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{1}}(F_{t,t_{0}}^{*}Y_{t})_{p}=\left(F_{t_{1},t_{0}}^{*}\left([X_{t_{1}},Y_{t_{1}}]+{\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{1}}Y_{t}\right)\right)_{p}}$

また、同様の方法で時間依存テンソル場を定義し、滑らかな時間依存テンソル場であると仮定して、この同様の恒等式を証明することもできます。 ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{1}}(F_{t,t_{0}}^{*}\eta _{t})_{p}=\left(F_{t_{1},t_{0}}^{*}\left({\mathcal {L}}_{X_{t_{1}}}\eta _{t_{1}}+{\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{t=t_{1}}\eta _{t}\right)\right)_{p}}$

この最後の恒等式は、ダルブーの定理を証明するのに役立ちます。

参考文献

• リー、ジョン・M.『滑らかな多様体入門』 Springer-Verlag、ニューヨーク（2003）ISBN 0-387-95495-3滑らかな多様体に関する大学院レベルの教科書。