おっぱいの代替品

数学において、ジャック・ティッツにちなんで名付けられたティッツ定理は、有限生成線型群の構造に関する重要な定理です。

声明

^{ティッツ[1]}によって証明された定理は次のように述べられている。

定理—体上の 有限生成線型群をとする。このとき、以下の2つの可能性が生じる。${\displaystyle G}$

• どちらも事実上解ける（つまり有限指数の解ける部分群を持つ）${\displaystyle G}$
• または、非可換自由群が含まれます (つまり、 2 つの生成元上の自由群と同型な部分群 を持ちます)。

結果

線型群は、非可換自由群を含む場合にのみ従順ではありません (したがって、フォン・ノイマン予想は一般には正しくありませんが、線型群に対しては成り立ちます)。

ティッツ代替法は、多項式増加群に関するグロモフの定理の証明において重要な要素である^[2]。実際、この代替法は線型群の結果を本質的に確立する（つまり、初等的な手法で扱える可解群の場合に帰着する）。

一般化

幾何学的群論では、群Gがティッツ代替条件を満たすとは、 Gのすべての部分群 Hに対してHが事実上解けるか、Hに非可換自由部分群が含まれる場合をいいます (定義のいくつかのバージョンでは、この条件はGのすべての有限生成部分群に対してのみ満たされる必要があります)。

線形ではない、または少なくとも線形であるとは知られていない、Tits 代替条件を満たすグループの例は次のとおりです。

• 双曲群
• クラスグループのマッピング; ^{[3] [4]}
• アウト(Fn) ; ^[5]
• 代数曲面の双有理変換の特定のグループ。^[6]

Tits 代替条件を満たさないグループの例は次のとおりです。

• グリゴルチュクグループ;
• トンプソンのグループF。

証拠

^{元々のTitsの代替法[1]}の証明は、におけるのザリスキ閉包を見ることによって行われます。もしそれが解けるなら、群は解けます。そうでなければ、 のレヴィ成分における像を見ます。もしそれが非コンパクトであれば、ピンポン論法で証明が完了します。もしそれがコンパクトであれば、 の像の元のすべての固有値が単位根となり像が有限であるか、あるいは の埋め込みを見つけてピンポン戦略を適用することができます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$

上記のすべての一般化の証明もピンポン論証に基づいていることに注意してください。

参考文献

1. Tits, J. (1972). 「線型群の自由部分群」. Journal of Algebra . 20 (2): 250– 270. doi : 10.1016/0021-8693(72)90058-0 .
2. ティッツ、ジャック (1981). 「クロワッサン多項式のグループ」。セミネール・ブルバキ（フランス語）。 1980/1981年。
3. イワノフ、ニコライ (1984)。 「タイヒミュラーモジュラー群の代数的性質」。ドクル。アカド。ナウクSSSR。275 : 786–789 .
4. マッカーシー、ジョン (1985). 「曲面写像類群の部分群に対する「Tits代替法」」アメリカ数学会誌291 ( 2): 583– 612. doi : 10.1090/s0002-9947-1985-0800253-8 .
5. Bestvina , Mladen; Feighn, Mark; Handel, Michael (2000). 「Out( F _n ) Iの Tits 代替法：指数関数的に増加する自己同型のダイナミクス」Annals of Mathematics . 151 (2): 517– 623. arXiv : math/9712217 . doi :10.2307/121043. JSTOR  121043.
6. セルジュ・カンタット (2011). 「サーフェスの変換に関するグループ」。アン。数学。（フランス語で）。174 : 299–340。土井: 10.4007/annals.2011.174.1.8。