位相ベクトル格子

数学、特に関数解析と順序理論において、位相ベクトル格子はハウス ドルフ位相ベクトル空間(TVS) の一種であり、部分順序を持ち、原点に立体集合からなる近傍基を持つベクトル格子となる。^{[1]順序付きベクトル格子は}スペクトル理論 において重要な応用がある。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

意味

がベクトル格子である場合、ベクトル格子演算とは次のマップを意味します。 ${\displaystyle X}$

1. 、、、およびによって定義される3つの写像${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\mapsto |x|}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{+}}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{-}}$
2. からへの 2 つの写像は、およびによって定義されます。${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto \sup _{}\{x,y\}}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto \inf _{}\{x,y\}}$

が実数上のTVSでベクトル格子の場合、が局所的に立体であるための必要十分条件は、(1)その正錐が正規錐であり、(2)ベクトル格子演算が連続であることだ。^[1]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

がベクトル格子であり、正錐が正規錐であるようなフレシェ空間である順序付き位相ベクトル空間である場合、格子演算は連続である。^[1]${\displaystyle X}$

が位相ベクトル空間（TVS）であり順序付きベクトル空間である場合、原点に立体集合からなる近傍基底を持つとき、は局所立体と呼ばれる。^[1] 位相ベクトル格子は、ハウスドルフTVSに部分順序を持たせることで局所立体となるベクトル格子である。^[1]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

プロパティ

位相ベクトル格子はすべて閉じた正錐を持ち、したがって順序付き位相ベクトル空間となる。^[1]位相ベクトル格子のすべての有界部分集合の集合を で表し、任意の部分集合 に対して を の -飽和包とする。すると位相ベクトル格子の正錐は厳密な-錐となる。 ^[1]ここでが厳密な-錐とは の基本部分族、つまりの任意の要素のサブセットとして含まれることを意味する。^[2]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [S]_{C}:=(S+C)\cap (S-C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \left\{[B]_{C}:B\in {\mathcal {B}}\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \left\{[B]_{C}:B\in {\mathcal {B}}\right\}}$

位相ベクトル格子が順序完備であれば、すべてのバンドは閉じている。^[1]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

例

L ^p空間( ) は、その標準順序付けのもとでバナッハ格子である。これらの空間は に対して順序完備である。 ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle p<\infty }$

参照

• バナッハ格子 – 格子の適合構造を持つバナッハ空間
• 補格子 – すべての要素が補集合を持つ束縛格子
• フレシェ格子 – 位相ベクトル格子
• 局所凸ベクトル格子
• ノルム格子
• 順序付きベクトル空間 – 半順序を持つベクトル空間
• 擬似補体
• リース空間 – 格子として順序付けられた半順序ベクトル空間

参考文献

1. シェーファー＆ウォルフ 1999、234–242ページ。
2. シェーファー＆ウォルフ 1999年、215～222頁。

参考文献

• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。