伝達関数

工学において、システム、サブシステム、またはコンポーネントの伝達関数（システム関数^[1]またはネットワーク関数とも呼ばれる）は、システムの出力をそれぞれの可能な入力に対してモデル化する数学関数です。 ^{[2] [3] [4]}回路シミュレータや制御システムなどの電子工学ツールで広く使用されています。単純なケースでは、この関数は独立したスカラー入力と従属するスカラー出力の2次元グラフ（伝達曲線または特性曲線として知られる）として表すことができます。コンポーネントの伝達関数は、電子工学および制御理論において、 特にブロック線図手法を用いて、コンポーネントから組み立てられたシステムを設計および解析するために使用されます

伝達関数の次元と単位は、デバイスが取り得る入力範囲に対する出力応答をモデル化します。増幅器などの2ポート電子回路の伝達関数は、入力に印加されるスカラー電圧の関数として出力におけるスカラー電圧を表す2次元グラフとなる場合があります。電気機械アクチュエータの伝達関数は、デバイスに印加される電流の関数として可動アームの機械的変位を表す場合があります。光検出器の伝達関数は、与えられた波長の入射光の光度を表す関数として出力電圧を表す場合があります。

伝達関数という用語は、ラプラス変換などの変換手法を用いたシステムの周波数領域解析でも用いられます。伝達関数とは、入力信号の周波数の関数としての出力の振幅のことです。電子フィルタの伝達関数は、入力に印加される一定振幅の正弦波の周波数の関数としての出力の振幅のことです。光学イメージングデバイスの場合、光学伝達関数は点像分布関数（空間周波数の関数） のフーリエ変換です。

線形時不変システム

伝達関数は、信号処理、通信理論、制御理論における単入力単出力 フィルタなどのシステムの解析で一般的に使用されます。この用語は、しばしば線形時不変（LTI）システムを指すためにのみ使用されます。ほとんどの実際のシステムは非線形の入出力特性を持ちますが、公称パラメータ内で（過剰駆動されていない状態で）動作する多くのシステムは、線形に十分近い動作を示すため、LTIシステム理論はそれらの入出力動作の許容可能な表現となります

連続時間

記述は複素変数,で与えられます。多くの応用では、 （したがって）と設定するだけで十分であり、これにより複素引数を持つラプラス変換が実引数 ω を持つフーリエ変換に簡約されます。これは、LTIシステムの定常応答（信号処理や通信理論でよく見られます）に主に関心のある応用では一般的であり、一瞬のオンオフの過渡応答や安定性の問題に は関心がありません${\displaystyle s=\sigma +j\cdot \omega }$ ${\displaystyle \sigma =0}$ ${\displaystyle s=j\cdot \omega }$

連続時間入力信号と出力の場合、出力のラプラス変換 を入力のラプラス変換 で割ると、システムの伝達関数 が得られます。 ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}$ ${\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}$ ${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}{{\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}}}$

これは次のように並べ替えることができます。

${\displaystyle Y(s)=H(s)\;X(s)\,.}$

離散時間

離散時間信号は、整数 でインデックス付けされた配列として表記される場合があります（例：入力は 、出力は ）。連続時間信号に適したラプラス変換を使用する代わりに、離散時間信号はZ変換（ やのように対応する大文字で表記）を使用して処理されるため、離散時間システムの伝達関数は次のように表すことができます ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle y[n]}$ ${\displaystyle X(z)}$ ${\displaystyle Y(z)}$

$${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {{\mathcal {Z}}\{y[n]\}}{{\mathcal {Z}}\{x[n]\}}}.}$$

微分方程式からの直接導出

定数係数を持つ 線形微分方程式

${\displaystyle L[u]={\frac {d^{n}u}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}u}{dt^{n-1}}}+\dotsb +a_{n-1}{\frac {du}{dt}}+a_{n}u=r(t)}$

ここで、uとr はtの適切な滑らかな関数であり、u をrに変換する関数空間上で定義された演算子Lを持つ。この種の方程式は、出力関数u を強制関数rによって制約するために使用できる。伝達関数は、 Lの右逆関数として機能する演算子を定義するために使用できる。これは、 となることを意味する 。 ${\displaystyle F[r]=u}$ ${\displaystyle L[F[r]]=r}$

同次定数係数微分方程式 の解は、 を試して求めることができる。この置換により、特性多項式が得られる。${\displaystyle L[u]=0}$ ${\displaystyle u=e^{\lambda t}}$

${\displaystyle p_{L}(\lambda )=\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\dotsb +a_{n-1}\lambda +a_{n}\,}$

非同次なケースは、入力関数rも の形であれば簡単に解くことができます。 を代入して、次のように定義すると 、${\displaystyle r(t)=e^{st}}$ ${\displaystyle u=H(s)e^{st}}$ ${\displaystyle L[H(s)e^{st}]=e^{st}}$

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{p_{L}(s)}}\qquad {\text{wherever }}\quad p_{L}(s)\neq 0.}$

伝達関数の他の定義も使用される。例えば^[5]${\displaystyle 1/p_{L}(ik).}$

ゲイン、過渡挙動、安定性

周波数 のシステムへの一般的な正弦波入力はと表記される。時刻 から始まる正弦波入力に対するシステムの応答は、定常応答と過渡応答の和から構成される。定常応答は無限時間におけるシステムの出力であり、過渡応答は応答と定常応答の差である。これは微分方程式の同次解に対応する。LTIシステムの伝達関数は、次の積として表される。 ${\displaystyle \omega _{0}/(2\pi )}$ ${\displaystyle \exp(j\omega _{0}t)}$ ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle H(s)=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{s-s_{P_{i}}}}}$

ここで、s _{P i は}特性多項式のN個の根であり、伝達関数の極となる。となる単極伝達関数において、単位振幅の一般正弦波のラプラス変換は となる。出力のラプラス変換は となり、時間出力はその関数の逆ラプラス変換となる。 ${\displaystyle H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}}$ ${\displaystyle s_{P}=\sigma _{P}+j\omega _{P}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{s-j\omega _{0}}}}$ ${\displaystyle {\frac {H(s)}{s-j\omega _{0}}}}$

${\displaystyle g(t)={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}-e^{(\sigma _{P}+j\,\omega _{P})t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}}$

分子の2番目の項は過渡応答であり、 σ _Pが正の場合、無限時間という極限において無限大に発散します。システムが安定であるためには、その伝達関数には実部が正である極が存在しない必要があります。伝達関数が厳密に安定している場合、すべての極の実部は負になり、過渡挙動は無限時間という極限においてゼロに近づきます。定常状態の出力は次のようになります。

${\displaystyle g(\infty )={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}}$

システムの周波数応答（または「ゲイン」）Gは、出力振幅と定常入力振幅の比の絶対値として定義されます。

${\displaystyle G(\omega _{i})=\left|{\frac {1}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}\right|={\frac {1}{\sqrt {\sigma _{P}^{2}+(\omega _{P}-\omega _{0})^{2}}}},}$

これは、で評価された伝達関数の絶対値です。この結果は、伝達関数の極の数が任意であっても有効です。 ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle j\omega _{i}}$

正弦波励起の定常状態挙動

線形システムの定常状態挙動

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}y^{(i)}+\sum _{j=0}^{m}b_{j}u^{(j)}=0}$

正弦波励起の場合、伝達関数で表される。 ${\displaystyle u(t)=\sin(\omega t)}$

${\displaystyle g(s)={\frac {b_{m}s^{m}+...+b_{0}}{a_{n}s^{n}+...+a_{0}}},}$

で評価されます。つまり、実部は です。 ${\displaystyle s=j\omega }$ ${\displaystyle \sigma =0}$

${\displaystyle y(t)=|g(j\omega )|\sin(\omega t+\arg(g(j\omega ))).}$

これを示すには、仮定関数を使用する。

${\displaystyle y(t)=ce^{j\omega t},}$

これを上記の微分方程式に代入し、 を解きます。となることに注意してください。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c=g(j\omega )}$

複素恒等式から、議論は次のようになる。 ${\displaystyle z=|z|e^{j\arg(z)}}$

信号処理

が一般線形時不変システムへの入力、が出力であり、の両側ラプラス変換 は${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt,\\Y(s)&={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-st}\,dt.\end{aligned}}}$

出力は伝達関数によって入力と関係している。 ${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle Y(s)=H(s)X(s)}$

そして伝達関数自体は

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}.}$

振幅、角周波数、位相を持つ正弦波成分を持つ複素高調 波 信号（argは引数）の場合、 ${\displaystyle |X|}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \arg(X)}$

${\displaystyle x(t)=Xe^{j\omega t}=|X|e^{j(\omega t+\arg(X))}}$

ここで${\displaystyle X=|X|e^{j\arg(X)}}$

は線形時不変システムへの入力であり、出力の対応する成分は次のようになります

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=Ye^{j\omega t}=|Y|e^{j(\omega t+\arg(Y))},\\Y&=|Y|e^{j\arg(Y)}.\end{aligned}}}$

線形時不変システムでは、入力周波数は変化せず、正弦波の振幅と位相角のみがシステムによって変化します。周波数応答は、この変化をゲインの観点から 周波数ごとに表します。${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle H(j\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle G(\omega )={\frac {|Y|}{|X|}}=|H(j\omega )|}$

位相シフト

${\displaystyle \phi (\omega )=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(j\omega )).}$

位相遅延（伝達関数によって正弦波に導入される周波数依存の遅延量）は

${\displaystyle \tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}.}$

群遅延（伝達関数によって正弦波の包絡線に導入される周波数依存の遅延量）は、角周波数に対する位相シフトの導関数を計算することによって求められる。 ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}.}$

伝達関数は、 となる双対ラプラス変換の特殊なケースであるフーリエ変換を使用して表示することもできます。 ${\displaystyle s=j\omega }$

一般的な伝達関数族

あらゆるLTIシステムは何らかの伝達関数で記述できますが、特殊な伝達関数の「族」が一般的に使用されます

• バターワースフィルタ - 与えられた次数において通過帯域と阻止帯域で最大限平坦
• チェビシェフフィルタ（タイプI）  - 阻止帯域で最大限平坦、同次バターワースフィルタよりも鋭い遮断特性
• チェビシェフフィルタ（タイプII） - 通過帯域で最大限平坦、同次バターワースフィルタよりも鋭い遮断特性
• ベッセルフィルタ –与えられた次数に対して最大限に一定の群遅延
• 楕円フィルタ – 指定された次数における最も急峻なカットオフ（通過帯域と阻止帯域の間の遷移が最も狭い）
• 最適な「L」フィルタ
• ガウスフィルタ - 最小群遅延。ステップ関数にオーバーシュートを与えない
• レイズドコサインフィルタ

制御工学

制御工学および制御理論において、伝達関数はラプラス変換によって導出されます。伝達関数は、古典的な制御工学において主要なツールでした。伝達行列は、あらゆる線形システムのダイナミクスやその他の特性を解析するために使用できます。伝達行列の各要素は、特定の入力変数と出力変数を関連付ける伝達関数です。状態空間法と伝達関数法を橋渡しする表現法は、ハワード・H・ローゼンブロックによって提案され、ローゼンブロックシステム行列として知られています。

イメージング

イメージングでは、伝達関数はシーンの光、画像信号、および表示される光の関係を記述するために使用されます。

非線形システム

緩和振動子などの多くの非線形システムには伝達関数が存在しません。^[6]しかし、記述関数は、そのような非線形時不変システムを近似するために使用できる場合があります

関連項目

• アナログコンピュータ
• ブラックボックス
• ボード線図
• 畳み込み
• デュアメルの原理
• 周波数応答
• インパルス応答
• ラプラス変換
• LTIシステム理論
• ナイキスト線図
• オペアンプ
• 光伝達関数
• 固有伝達関数
• ローゼンブロックシステム行列
• 片対数プロット
• シグナルフローグラフ
• 信号伝達関数

参考文献

1. Bernd Girod、Rudolf Rabenstein、Alexander Stenger、信号とシステム、第 2 版、Wiley、2001、 ISBN 0-471-98800-650ページ
2. MA Laughton; DF Warne (2002年9月27日).電気技術者のための参考書(第16版). Newnes. pp. 14/9–14/10. ISBN 978-0-08-052354-5。
3. EA Parr (1993).ロジック設計者ハンドブック：回路とシステム（第2版）. 新しさ.  65～ 66ページ. ISBN 978-1-4832-9280-9。
4. イアン・シンクレア、ジョン・ダントン（2007年）。『電子・電気サービス：民生用・業務用電子機器』ラウトレッジ、172ページ。ISBN 978-0-7506-6988-7。
5. バーコフ、ギャレット、ロータ、ジャン＝カルロ (1978).常微分方程式. ニューヨーク: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 978-0-471-05224-1。^{[必要ページ]}
6. Valentijn De Smedt、Georges Gielen、Wim Dehaene (2015).無線センサーネットワークのための温度および電源電圧に依存しない時刻基準。Springer. p. 47. ISBN 978-3-319-09003-0。

外部リンク

• ECE 209：LTIシステムとしての回路の復習 — （電気）LTIシステムの数学的解析に関する簡潔な入門書