フォルケンボルン積分

数学において、 p 進解析の分野におけるフォルケンボルン積分は、p 進関数の 積分手法です。

意味

をp進整数から成り、p進数に値を取る 関数とする。フォルケンボルン積分は、もし存在するならば、その極限によって定義される。 f : Z p → C p {\displaystyle f:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {C} _{p}}

∫ Z p f （ × ） d × ＝ リム n → ∞ 1 p n ∑ × ＝ 0 p n − 1 f （ × ） 。 \displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p^{n}}}\sum _{x=0}^{p^{n}-1}f(x).}

より一般的に言えば、

R n ＝ { × ＝ ∑ 私 ＝ r n − 1 b 私 × 私 | b 私 ＝ 0 、 … 、 p − 1  のために  r < n } {\displaystyle R_{n}=\left\{\left.x=\sum _{i=r}^{n-1}b_{i}x^{i}\right|b_{i}=0,\ldots ,p-1{\text{ }}r<n\right\}}

それから

∫ K f （ × ） d × ＝ リム n → ∞ 1 p n ∑ × ∈ R n ∩ K f （ × ） 。 \displaystyle \int _{K}f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p^{n}}}\sum _{x\in R_{n}\cap K}f(x).}

この積分は Arnt Volkenborn によって定義されました。

例

∫ Z p 1 d × ＝ 1 {\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}1\,{\rm {d}}x=1}
∫ Z p × d × ＝ − 1 2 {\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}x\,{\rm {d}}x=-{\frac {1}{2}}}
∫ Z p × 2 d × ＝ 1 6 {\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}x^{2}\,{\rm {d}}x={\frac {1}{6}}}
∫ Z p × け d × ＝ B け {\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}x^{k}\,{\rm {d}}x=B_{k}}

ここで、 は k 番目のベルヌーイ数です。 B け {\displaystyle B_{k}}

上記の 4 つの例は、定義とFaulhaber の公式を直接使用することで簡単に確認できます。

∫ Z p （ × け ） d × ＝ （ − 1 ） け け + 1 {\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}{x \choose k}\,{\rm {d}}x={\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}
∫ Z p （ 1 + 1つの ） × d × ＝ ログ ⁡ （ 1 + 1つの ） 1つの {\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}(1+a)^{x}\,{\rm {d}}x={\frac {\log(1+a)}{a}}}
∫ Z p e 1つの × d × ＝ 1つの e 1つの − 1 {\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}e^{ax}\,{\rm {d}}x={\frac {a}{e^{a}-1}}}

最後の 2 つの例は、テイラー級数で展開し、項ごとに積分することで正式に確認できます。

∫ Z p ログ p ⁡ （ × + あなた ） d あなた ＝ ψ p （ × ） {\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}\log _{p}(x+u)\,{\rm {d}}u=\psi _{p}(x)}

p進対数関数とp進ディガンマ関数を使用します。 ログ p {\displaystyle \log_{p}} ψ p {\displaystyle \psi_{p}}

プロパティ

∫ Z p f （ × + メートル ） d × ＝ ∫ Z p f （ × ） d × + ∑ × ＝ 0 メートル − 1 f ′ （ × ） {\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x+m)\,{\rm {d}}x=\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,{\rm {d}}x+\sum _{x=0}^{m-1}f'(x)}

このことから、フォルケンボルン積分は並進不変ではないことがわかります。

もしそうなら P t ＝ p t Z p {\displaystyle P^{t}=p^{t}\mathbb {Z} _{p}}

∫ P t f （ × ） d × ＝ 1 p t ∫ Z p f （ p t × ） d × {\displaystyle \int _{P^{t}}f(x)\,{\rm {d}}x={\frac {1}{p^{t}}}\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(p^{t}x)\,{\rm {d}}x}

起源

p進関数の積分というアイデアは、もともとF. ThomasとFrançois Bruhatによって提案された。しかし、彼らの並進不変p進積分の定義は、解析的および数論的目的にはあまりにも制限的であることが判明した。Arnt Volkenbornは、1971年にケルン大学で発表した博士論文の中で、後に彼の名にちなんで命名された一般化p進積分を開発した。Volkenborn積分を用いると、ローラン級数などのすべての局所解析関数の積分が可能になる。これは、一般化p進ベルヌーイ数（上記の例のような）やその他のp進関数の計算に用いられる。

参照

参考文献

  • Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen I. In: Manuscripta Mathematica。 Bd. 7、Nr. 1972 年 4 日、[1]
  • Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen II.で: Manuscripta Mathematica。 Bd. 12、Nr. 1974 年 1 日、[2]
  • アンリ・コーエン「数論」第2巻、276ページ
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