波動関数

スピンレス粒子1個の量子調和振動子。振動は軌道を持たず、それぞれが波として表される。縦軸は波動関数の実部（青）と虚部（赤）を示す。図（A～D）は、シュレーディンガー方程式の4つの異なる定在波解を示す。図（E～F）は、シュレーディンガー方程式の解であるが定在波ではない2つの異なる波動関数を示す。

最初は非常に局所化された自由粒子の波動関数。

量子物理学において、波動関数（または波動関数）は、孤立した量子系の量子状態を数学的に記述するものです。波動関数を表す最も一般的な記号は、ギリシャ文字のψ（小文字）とΨ （大文字）です。

量子力学の重ね合わせ原理によれば、波動関数を加算し、複素数を乗算することで新たな波動関数を形成し、ヒルベルト空間を形成することができる。2つの波動関数の内積は、対応する物理状態間の重なりの尺度であり、量子力学の基礎的な確率的解釈であるボルンの規則において用いられ、遷移確率と内積を関連付ける。シュレーディンガー方程式は波動関数が時間とともにどのように発展するかを決定する。シュレーディンガー方程式は数学的には波動方程式の一種であるため、波動関数は水波や弦の波などの他の波と同様に定性的に振舞う。これが「波動関数」という名称の由来であり、波動粒子二重性を生み出している。しかし、量子力学における波動関数が何らかの物理現象を記述するかどうかについては、依然として様々な解釈があり、古典的な力学的波動とは根本的に異なる。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

波動関数は複素数値です。例えば、波動関数は空間領域の各点に複素数を割り当てます。ボルン則^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}は、これらの複素確率振幅を実際の確率に変換する手段を提供します。一般的な形式では、位置に依存する波動関数の二乗係数は、粒子が特定の場所にあると測定される確率密度であるとされています。波動関数の二乗係数をシステムのすべての自由度にわたって積分すると、1に等しくならなければなりません。この条件は、正規化と呼ばれます。波動関数は複素数値であるため、その相対的な位相と相対的な大きさしか測定できません。その値だけでは、測定可能な観測量の大きさや方向について何もわかりません。固有値が測定の可能な結果の集合に対応する量子演算子を波動関数ψに適用し、測定可能な量の統計分布を計算する必要があります。

波動関数は、位置以外の変数（運動量など）の関数になることもあります。位置に依存する波動関数によって表される情報は、フーリエ変換によって、運動量に依存する波動関数に変換でき、その逆も可能です。電子や光子などの一部の粒子は非ゼロのスピンを持ち、そのような粒子の波動関数には、固有の離散的自由度としてスピンが含まれます。アイソスピンなどの他の離散変数も含めることができます。システムが内部自由度を持つ場合、連続自由度内の各点（たとえば、空間内の点）での波動関数は、離散的自由度の可能な値（たとえば、スピンの z 成分）ごとに複素数を割り当てます。これらの値は、多くの場合、列行列（たとえば、スピン1 ⁄ 2を持つ非相対論的電子の2 × 1列ベクトル）で表示されます。

歴史的背景

1900年、マックス・プランクは光子の振動数とそのエネルギーが比例関係にあると仮定しました[ 11 ^{] [ 12 ] 。}また1916年には、 これに対応する光子の運動量と波長が比例関係にあると仮定しまし^た[ 13 ^{] 。} ここで、^はプランク定数です。1923年、ド・ブロイは、現在ド・ブロイの関係式と呼ばれる関係式が質量を持つ粒子に対して成り立つことを初めて示唆しました。その主な手がかりはローレンツ不変性であり、^{[ 14 ]}これは現代の量子力学の発展の出発点と見なすことができます。これらの式は、質量が0の粒子と質量のある粒子の両方について、 波動粒子二重性を表しています。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E=hf}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$

1920年代から1930年代にかけて、量子力学は微積分と線型代数学を用いて発展しました。微積分の手法を用いた研究者としては、ルイ・ド・ブロイ、エルヴィン・シュレーディンガーなどがおり、「波動力学」を開発しました。線型代数学の手法を応用した研究者としては、ヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルンなどがおり、「行列力学」を開発しました。シュレーディンガーは後に、この2つのアプローチが同等であることを示しました。^{[ 15 ]}

1926年、シュレーディンガーは現在彼の名にちなんで名付けられている有名な波動方程式、シュレーディンガー方程式を発表しました。この方程式は量子演算子とド・ブロイの関係を用いた古典的なエネルギー保存則に基づいており、方程式の解は量子系の波動関数です。^{[ 16 ]}しかし、誰もそれをどのように解釈すべきか明確ではありませんでした。^{[ 17 ]}最初、シュレーディンガーらは、波動関数は波動関数が大きい場所に粒子の大部分がある状態で広がっている粒子を表していると考えていました。^{[ 18 ]}これは、ターゲットからの波束（粒子を表す）の弾性散乱とは両立しないことが示されました。波束はすべての方向に広がっています。^{[ 8 ]散乱}された粒子はどの方向にも散乱する可能性がありますが、分解してすべての方向に 飛び散るわけではありません。 1926年、ボルンは確率振幅の観点を提供しました。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 19}これは量子力学のコペンハーゲン解釈の一部として受け入れられています。量子力学には他にも多くの解釈があります。1927年、ハートリーとフォックはN体波動関数を解くための最初の一歩を踏み出し、解を近似するための反復アルゴリズムである自己無撞着サイクルを開発しました。現在ではハートリー・フォック法としても知られています。^{[ 20 ]}スレーター行列式とパーマネント（行列の）は、ジョン・C・スレーターによって提唱されたこの方法の一部です。

シュレーディンガーは非相対論的な波動関数の方程式を発表する前に、相対論的なエネルギー保存則を満たす波動関数の方程式に遭遇したが、負の確率と負のエネルギーを予測するため却下した。1927年、クライン、ゴードン、フォックもこの方程式を発見したが、電磁相互作用を組み込んでローレンツ不変であることを証明した。ド・ブロイも1928年に同じ方程式に到達した。この相対論的波動方程式は現在、クライン・ゴードン方程式として最もよく知られている。^{[ 21 ]}

1927年、パウリは、現在パウリ方程式と呼ばれている、電磁場内のスピン 1/2 粒子を記述する非相対論的方程式を現象論的に発見しました。^{[ 22 ]}パウリは、波動関数が空間と時間の単一の複素関数では記述されず、フェルミオンのスピン +1/2 と −1/2 状態にそれぞれ対応する 2 つの複素数が必要であることを発見しました。その後まもなく、1928年にディラックは、電子に適用された特殊相対論と量子力学の最初の統一に成功した方程式を発見し、現在ディラック方程式と呼ばれています。これにおいて、波動関数は4 つの複素数値成分によって表されるスピノルです。 ^{[ 20 ]} 2 つは電子用で、2 つは電子の反粒子である陽電子用です。非相対論的極限では、ディラックの波動関数は電子のパウリの波動関数に似ています。

現代理論における波動関数と波動方程式

これらの波動方程式はすべて、永続的な重要性を持っています。シュレーディンガー方程式とパウリ方程式は、多くの場合、相対論的変種の優れた近似式です。実際的な問題においては、相対論的変種よりもかなり容易に解くことができます。

クライン・ゴルドン方程式とディラック方程式は相対論的ではあるものの、量子力学と特殊相対論の完全な調和を示すものではありません。これらの方程式をシュレーディンガー方程式と同様に研究する量子力学の分野は、しばしば相対論的量子力学と呼ばれ、非常に成功しているものの、限界（例えばラムシフトを参照）と概念上の問題（例えばディラックの海を参照）を抱えています。

相対論によれば、系内の粒子の数が一定ではないことは避けられない。これを完全に調和させるには、量子場理論が必要となる。^{[ 23 ]} この理論では、波動方程式と波動関数はそれぞれ独自の位置を占めるが、その形態はやや異なる。主な関心の対象は波動関数ではなく、ヒルベルト状態空間（次節で説明）上の演算子、いわゆる場演算子（あるいは「演算子」が理解される場合は単に場）である。ヒルベルト空間を構築するには、元の相対論的波動方程式とその解が依然として必要であることが判明している。さらに、自由場演算子、すなわち相互作用が存在しないと仮定した場合、多くの場合、場（波動関数）と同じ方程式を（形式的に）満たすことが判明している。

したがって、この形でのクライン–ゴルドン方程式 (スピン0 ) とディラック方程式 (スピン1 ⁄ 2 ) は理論に残る。高スピンの類似物には、プロカ方程式(スピン1 )、ラリタ–シュウィンガー方程式(スピン3 ⁄ 2 )、より一般的にはバーグマン–ウィグナー方程式がある。質量のない自由場の 2 つの例は、場の演算子に対する自由場マクスウェル方程式(スピン1 ) と自由場アインシュタイン方程式(スピン2 ) である。 ^{[ 24 ]} これらはすべて、本質的にローレンツ不変性の要件の直接的な結果である。それらの解は、規定された方法、つまりローレンツ群の特定の表現の下でローレンツ変換されて変換される必要があり、その他の合理的な要求、たとえばクラスター分解特性^{[ 25 ]}と因果関係 への影響があれば、方程式を修正するのに十分である。

これは自由場方程式に当てはまり、相互作用は考慮されません。ラグランジアン密度（相互作用を含む）が利用可能な場合、ラグランジアン形式は古典レベルの運動方程式をもたらします。この方程式は非常に複雑で、解くのが難しい場合があります。どのような解も、固定数の粒子を参照することになり、これらの理論で言及される「相互作用」という用語を考慮に入れません。相互作用とは、粒子の生成と消滅を伴うものであり、通常の「第一量子化」量子理論における外部ポテンシャルとは関係ありません。

弦理論においても状況は類似している。例えば、運動量空間における波動関数は、明確に定義されていない運動量を持つ粒子（弦）の一般的な状態において、フーリエ展開係数の役割を果たす。^{[ 26 ]}

定義（1次元の1つのスピンレス粒子）

箱の中の粒子の定在波、定常状態の例。

自由粒子の進行波。

スピン0粒子1個について、x次元またはp次元における位置波動関数Ψ( x )と運動量波動関数Φ( p )の実部、および対応する確率密度|Ψ( x )| ²と|Φ( p )| ² 。粒子の色の不透明度は、粒子が位置xまたは運動量pにある確率密度（波動関数ではない）に対応する。

ここでは、スピンを持たない非相対論的な単一粒子が1次元空間に存在するという単純なケースを考えます。より一般的なケースについては後述します。

量子力学の公理によれば、ある物理系の状態は、ある固定された時刻において、可分な複素ヒルベルト空間に属する波動関数によって与えられる。^{[ 27 ] [ 28 ]}したがって、2つの波動関数Ψ1とΨ2_の内積は、_複素数（時刻t）として定義することができる^{[注1 ]。}${\displaystyle t}$

${\displaystyle (\Psi _{1},\Psi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Psi _{1}^{*}(x,t)\Psi _{2}(x,t)\,dx<\infty }$ 。

詳細は後述します。しかし、波動関数Ψとそれ自身との内積は、

${\displaystyle (\Psi ,\Psi )=\|\Psi \|^{2}}$ 、

は常に正の実数である。‖ Ψ ‖（‖ Ψ ‖ 2 ではない）は波動^関数Ψのノルムと呼ばれる。ここで論じる可分ヒルベルト空間は無限次元である^{[注 2 ]。}つまり、様々な組み合わせで加算してあらゆる可能な二乗可積分関数を生成できるような二乗可積分関数の有限集合は存在しない。

位置空間波動関数

このような粒子の状態は、その波動関数によって完全に記述されます。ここで、xは位置、tは時間です。これは、2つの実変数xとtからなる複素関数です。 $${\displaystyle \Psi (x,t)\,,}$$

一次元におけるスピンレス粒子1個について、波動関数を確率振幅（波動関数の平方係数） と解釈すると、正の実数は、 与えられた時刻tにおける粒子の位置の測定値に対する確率密度 として解釈されます。アスタリスクは複素共役を表します。粒子の位置が で測定された場合、その位置は波動関数から決定することはできませんが、確率分布によって記述されます。 $${\displaystyle \left|\Psi (x,t)\right|^{2}=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=\rho (x),}$$

正規化条件

位置xが区間a ≤ x ≤ bにある確率は、この区間における密度の積分です。 ここで、tは粒子が測定された時刻です。これは正規化条件を導きます。 なぜなら、粒子が測定された場合、どこかに ある確率は 100% だからです。 $${\displaystyle P_{a\leq x\leq b}(t)=\int _{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}dx}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}dx=1\,,}$$

与えられた系において、（任意の時点における）すべての可能な正規化可能な波動関数の集合は、抽象的な数学的ベクトル空間を形成する。これは、異なる波動関数を加算したり、波動関数に複素数を乗算したりすることが可能であることを意味する。技術的には、波動関数は通常のベクトル空間ではなく、 射影ヒルベルト空間における射影線を形成する。

ベクトルとしての量子状態

特定の瞬間において、波動関数Ψ( x , t )のすべての値はベクトルの成分である。それらの値は無限に無数に存在するため、和の代わりに積分が用いられる。ブラ・ケット記法では、このベクトルは 「量子状態ベクトル」または単に「量子状態」と表記される。波動関数を抽象的なベクトル空間の要素を表すものとして理解することには、いくつかの利点がある。 $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int \Psi (x,t)|x\rangle dx}$$

• 線形代数の強力なツールはすべて、波動関数を操作し理解するために使用できます。例えば：
  • 線型代数は、ベクトル空間に基底を与え、そのベクトル空間内の任意のベクトルをこの基底で表現できることを説明します。これは、位置空間における波動関数と運動量空間における波動関数の関係を説明し、他の可能性もあることを示唆しています。
  • ブラケット表記法は波動関数を操作するために使用できます。
• 量子状態が抽象ベクトル空間内のベクトルであるという考えは、量子力学と量子場の理論のあらゆる側面において完全に一般的ですが、量子状態が空間の複素数値「波」関数であるという考えは、特定の状況においてのみ真実です。

時間パラメータはしばしば省略され、以下でも同様です。x座標は連続的なインデックスです。| x ⟩は不適切ベクトルと呼ばれ、 1に正規化可能な適切ベクトルとは異なり、ディラックのデルタ関数にのみ正規化できます。^[注^{3 ] [注4 ] [ 29 ]} したがって 、 これはN次元ヒルベルト空間における直交基底の完全性関係に類似した 恒等演算子 を明らかにします。$${\displaystyle \langle x'|x\rangle =\delta (x'-x)}$$ $${\displaystyle \langle x'|\Psi \rangle =\int \Psi (x)\langle x'|x\rangle dx=\Psi (x')}$$ $${\displaystyle |\Psi \rangle =\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\left(\int |x\rangle \langle x|dx\right)|\Psi \rangle }$$ $${\displaystyle I=\int |x\rangle \langle x|dx\,.}$$

基底で恒等演算子を見つけることで、抽象状態を基底で明示的に表現できるようになり、さらに、2 つの状態ベクトル間の内積や、観測可能なものに対するその他の演算子を基底で表現できるようになります。

運動量空間波動関数

粒子は運動量空間に波動関数も持ちます。 ここで、pは1 次元の運動量で、 -∞から+∞までの任意の値を取ることができ、tは時間です。 $${\displaystyle \Phi (p,t)}$$

位置の場合と同様に、2つの波動関数Φ ₁ ( p , t )とΦ ₂ ( p , t )の内積は次のように定義できます。 $${\displaystyle (\Phi _{1},\Phi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Phi _{1}^{*}(p,t)\Phi _{2}(p,t)dp\,.}$$

時間に依存しないシュレーディンガー方程式の特定の解の一つは平面波であり 、これは運動量演算子の固有関数であるため、運動量がちょうどpである粒子の記述に用いることができる。これらの関数は1に正規化できない（二乗積分できない）ため、実際には物理的なヒルベルト空間の要素ではない。この集合は、 いわゆる運動量基底を形成する。この「基底」は、通常の数学的な意味での基底ではない。まず、関数は正規化できないため、代わりにデルタ関数に正規化される。^{[注4 ]}$${\displaystyle \Psi _{p}(x)=e^{ipx/\hbar },}$$ $${\displaystyle \{\Psi _{p}(x,t),-\infty \leq p\leq \infty \}}$$ $${\displaystyle (\Psi _{p},\Psi _{p'})=\delta (p-p').}$$

もう一つの理由は、これらの関数は線型独立ではあるものの、物理的なヒルベルト空間の基底として用いるには数が多すぎる（無数集合を形成する）からです。しかし、次に述べるように、フーリエ変換を用いることで、これらの関数を用いてヒルベルト空間内のすべての関数を表現することは可能です。

位置と運動量の表現の関係

xとpの表現は $${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\int \Psi (x)|x\rangle dx,\\|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |p\rangle \langle p|\Psi \rangle dp=\int \Phi (p)|p\rangle dp.\end{aligned}}}$$

ここで、2つの方程式の最後の式を使って、 状態Ψを運動量の固有関数に投影します。$${\displaystyle \int \Psi (x)\langle p|x\rangle dx=\int \Phi (p')\langle p|p'\rangle dp'=\int \Phi (p')\delta (p-p')dp'=\Phi (p).}$$

次に、自由シュレーディンガー方程式 の位置表現解における、適切に正規化された運動量固有状態に対する既知の表現を用いると、 次式が得られる。 $${\displaystyle \langle x|p\rangle =p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{{\frac {i}{\hbar }}px}\Rightarrow \langle p|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}px},}$$ $${\displaystyle \Phi (p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Psi (x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}px}dx\,.}$$

同様に、位置の固有関数を用いると、 $${\displaystyle \Psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Phi (p)e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp\,.}$$

このように、位置空間波動関数と運動量空間波動関数は互いのフーリエ変換であることが分かる。 ^{[ 30 ]}これらは同じ状態の2つの表現であり、同じ情報を含んでおり、どちらを使っても粒子のあらゆる特性を計算するのに十分である。

実際には、位置空間波動関数は運動量空間波動関数よりもはるかに頻繁に用いられる。関係する方程式（シュレーディンガー方程式、ディラック方程式など）に入力されるポテンシャルによって、どの基底で記述するのが最も容易かが決まる。調和振動子の場合、xとpは対称的に入力されるため、どちらの記述を用いても問題ない。結果として得られる方程式（定数を法として）は同じである。このことから、少し後付けで考えると、調和振動子の波動方程式の解はL ²におけるフーリエ変換の固有関数であることが分かる。^{[注5 ]}

定義（その他のケース）

以下は、位置座標や運動量成分以外の自由度も含めた、より高次元でより多くの粒子を含むシステムの波動関数の一般的な形式です。

有限次元ヒルベルト空間

ヒルベルト空間は本来無限次元完全内積空間を指すが、定義により有限次元完全内積空間も含む。^{[ 31 ]}物理学では有限次元ヒルベルト空間 と呼ばれることが多い。^{[ 32 ]}すべての有限次元ヒルベルト空間に対して、ヒルベルト空間全体 を張る直交基底ケットが存在する。

N次元集合が直交している場合、これらの状態が張る空間の射影演算子は次のように与えられます。 ${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$

$${\displaystyle P=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=I}$$ ここで、射影は恒等作用素と等価である。なぜなら、はヒルベルト空間全体を張るため、ヒルベルト空間からの任意のベクトルは変化しないからである。これは有限次元ヒルベルト空間の完全性関係としても知られる。 ${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$

波動関数は次のように表されます。

$${\displaystyle |\psi \rangle =I|\psi \rangle =\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|\psi \rangle }$$ ここで、は上記の式を使用して波動関数を構築するために使用できる複素数の集合です。 ${\textstyle \{\langle \phi _{i}|\psi \rangle \}}$

内積の確率解釈

もし、その集合が固有値を持つ非退化観測量の固有ケットである場合、量子力学の公理により、観測量が であると測定される確率はボルンの規則に従って次のように与えられる: ^{[ 33 ]}${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ ${\textstyle \lambda _{i}}$ ${\textstyle \lambda _{i}}$

$${\displaystyle P_{\psi }(\lambda _{i})=|\langle \phi _{i}|\psi \rangle |^{2}}$$

ある観測量が非退化である場合、固有値がとラベル付けされた固有ベクトルのサブセットを持つとすると、量子力学の公理により、観測量が であると測定される確率は次のように与えられます。 ${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \{|\lambda ^{(j)}\rangle \}}$ ${\textstyle \lambda }$

$${\displaystyle P_{\psi }(\lambda )=\sum _{j}|\langle \lambda ^{(j)}|\psi \rangle |^{2}=|{\widehat {P}}_{\lambda }|\psi \rangle |^{2}}$$ ここで、 は によって張られる部分空間への状態の射影演算子である。 の直交性により、等式が成り立つ。 ${\textstyle {\widehat {P}}_{\lambda }=\sum _{j}|\lambda ^{(j)}\rangle \langle \lambda ^{(j)}|}$ ${\textstyle \{|\lambda ^{(j)}\rangle \}}$ ${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$

したがって、量子力学システムの状態を指定するものは、その二乗がそれぞれの状態を測定する確率を与える大きさを持ちます。 ${\textstyle \{\langle \phi _{i}|\psi \rangle \}}$ ${\textstyle |\phi _{i}\rangle }$

相対位相の物理的意味

相対位相は実験において観測可能な効果を持つ一方、システムの全体位相は実験的に区別できません。例えば、2つの状態の重ね合わせ状態にある粒子の場合、観測量の期待値や異なる状態を観測する確率を求めることで粒子の全体位相を区別することはできませんが、相対位相は観測量の期待値に影響を与える可能性があります。

系全体の位相は任意であると考えられるが、重ね合わせにおける準備状態の各状態の相対的な位相は、準備状態の物理的意味とその対称性に基づいて決定することができる。例えば、x方向のスピン状態をz方向のスピン状態の重ね合わせとして構築するには、z方向のスピン状態に適切な回転変換を適用することで、各状態の相対的な位相を適切に制御することができる。 ${\textstyle |\phi _{i}\rangle }$

スピンを含むアプリケーション

有限次元ヒルベルト空間の例としては、-スピン粒子のスピン固有値を用いて構成することができ、これは次元ヒルベルト空間を形成する。しかし、粒子の状態を完全に記述する粒子の一般波動関数は、粒子の位置または運動量に関連するヒルベルト空間とのテンソル積を含むため、常に無限次元ヒルベルト空間から得られる。それでもなお、有限次元ヒルベルト空間用に開発された手法は、独立して扱うことも、テンソル積の線形性を考慮して扱うこともできるため有用である。 ${\textstyle s}$ ${\textstyle 2s+1}$

与えられた - スピン粒子のスピン演算子は、独立したスピンベクトル成分に作用する有限行列として表すことができるため、通常は、必要に応じて行列/列/行表記を使用してスピン成分を表すことが好ましいです。 ${\textstyle s}$ ${\textstyle (2s+1)^{2}}$ ${\textstyle 2s+1}$

例えば、各| s _z ⟩は通常、列ベクトルとして識別されます。$${\displaystyle |s\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}\,,\quad |s-1\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}\,,\ldots \,,\quad |-(s-1)\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\\0\\\end{bmatrix}}\,,\quad |-s\rangle \leftrightarrow {\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{bmatrix}}}$$

しかし、これはよくある表記法の乱用です。なぜなら、ケット| s _z ⟩は列ベクトルと同義でも等しくもないからです。列ベクトルは単にスピン成分を表現するための便利な方法を提供しているだけです。

この表記法に対応して、Z 成分スピン演算子は次のように記述できます。$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}{\hat {S}}_{z}={\begin{bmatrix}s&0&\cdots &0&0\\0&s-1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &-(s-1)&0\\0&0&\cdots &0&-s\end{bmatrix}}}$$

z成分スピン演算子の 固有ベクトルは上記の列ベクトルであり、固有値は対応するスピン量子数であるためです。

表記法に対応して、そのような有限次元ヒルベルト空間からのベクトルは次のように表されます。

$${\displaystyle |\phi \rangle ={\begin{bmatrix}\langle s|\phi \rangle \\\langle s-1|\phi \rangle \\\vdots \\\langle -(s-1)|\phi \rangle \\\langle -s|\phi \rangle \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{s}\\\varepsilon _{s-1}\\\vdots \\\varepsilon _{-s+1}\\\varepsilon _{-s}\\\end{bmatrix}}}$$ ここで、は対応する複素数です。 ${\textstyle \{\varepsilon _{i}\}}$

以下のスピンに関する議論では、完全な波動関数は有限次元ヒルベルト空間のスピン状態と、以前に構築された波動関数とのテンソル積として考えられます。したがって、このヒルベルト空間の基底は次のように考えられます。 ${\displaystyle |\mathbf {r} ,s_{z}\rangle =|\mathbf {r} \rangle |s_{z}\rangle }$

3次元位置空間における1粒子状態

3次元空間におけるスピンを持たない単一粒子の位置空間波動関数は、上記の1次元空間の場合と同様である。ここで、rは3次元空間における位置ベクトル、 tは時間である。いつものように、Ψ( r , t )は実変数の複素数値関数である。ディラック記法では、単一のベクトルとして$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$$ $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,t)\,|\mathbf {r} \rangle }$$

内積、運動量空間の波動関数、フーリエ変換などに関するこれまでの説明はすべて、高次元にまで拡張されます。

スピンを持つ粒子の場合、位置の自由度を無視すると、波動関数はスピンのみの関数になります（時間はパラメータです）。 ここで、s _zはz軸に沿ったスピン射影量子数です。（z軸は任意の選択です。波動関数が適切に変換されていれば、他の軸を使用することもできます。以下を参照してください。）s _zパラメータは、rやtとは異なり、離散変数です。たとえば、スピン 1/2 の粒子の場合、s _{z は}+1/2または−1/2のみを取り、他の値は取りません。（一般に、スピンsの場合、s _{z は}s、s − 1、...、− s + 1、− sを取ります）。各量子数を挿入すると、空間と時間の複素数値関数が得られ、その数は2 s + 1個あります。これらは列ベクトルに配置できます。$${\displaystyle \xi (s_{z},t)}$$

$${\displaystyle \xi ={\begin{bmatrix}\xi (s,t)\\\xi (s-1,t)\\\vdots \\\xi (-(s-1),t)\\\xi (-s,t)\\\end{bmatrix}}=\xi (s,t){\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (s-1,t){\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\cdots +\xi (-(s-1),t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (-s,t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{bmatrix}}}$$

ブラケット表記では、これらはベクトルの要素に簡単に配置できます。 $${\displaystyle |\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}=-s}^{s}\xi (s_{z},t)\,|s_{z}\rangle }$$

ベクトルξ全体は、シュレーディンガー方程式（適切なハミルトニアンを持つ）の解であり、これはξ ( s , t )、ξ ( s − 1, t )、...、ξ (− s , t )という解を持つ2 s + 1 個の常微分方程式の連立系に展開されます。一部の著者は、「波動関数」ではなく「スピン関数」という用語を使用しています。これは、位置座標が連続的な自由度である位置空間波動関数の解と対照的です。なぜなら、その場合、シュレーディンガー方程式は波動方程式の形をとるからです。

より一般的には、任意のスピンを持つ 3D の粒子の場合、波動関数は「位置 - スピン空間」で次のように記述できます。 また、これらは、 スピン依存性がエントリのインデックスに配置される列ベクトルに配置することもでき、波動関数は空間と時間のみの 複雑なベクトル値関数です。$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)}$$ $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\Psi (\mathbf {r} ,s,t)\\\Psi (\mathbf {r} ,s-1,t)\\\vdots \\\Psi (\mathbf {r} ,-(s-1),t)\\\Psi (\mathbf {r} ,-s,t)\\\end{bmatrix}}}$$

離散変数だけでなく連続変数の波動関数のすべての値は、単一のベクトルに集まる。 $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)\,|\mathbf {r} ,s_{z}\rangle }$$

単一粒子の場合、その位置状態ベクトル| ψ ⟩とスピン状態ベクトル| ξ ⟩のテンソル積⊗ は 、次の同定を持つ 合成位置・スピン状態ベクトルを与える。 $${\displaystyle |\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)\,|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$$ $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =|\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle }$$ $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)=\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)}$$ $${\displaystyle |\mathbf {r} ,s_{z}\rangle =|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$$

エネルギー固有状態のテンソル積因数分解は、粒子の軌道角運動量とスピン角運動量がシステムのダイナミクスの基礎となるハミルトニアン演算子で分離可能であれば、常に可能です（言い換えると、ハミルトニアンは軌道項とスピン項の和に分割できます^{[ 34 ]}）。時間依存性はどちらの因子にも置くことができ、それぞれの時間発展は別々に研究できます。このようなハミルトニアンでは、任意のテンソル積状態が別のテンソル積状態に発展します。これは基本的に、エンタングルされていない状態は時間発展の下でもエンタングルされていないままであることを意味します。これは、テンソル積の状態間に物理的な相互作用がない場合に起こると言われています。分離不可能なハミルトニアンの場合、エネルギー固有状態はそのような状態の何らかの線形結合であると言われ、因数分解可能である必要はありません。例として、磁場内の粒子やスピン軌道結合などがあります。

これまでの議論は離散変数としてのスピンに限定されず、全角運動量Jも使用できる。^{[ 35 ]}アイソスピンのような他の離散自由度も、上記のスピンの場合と同様に表現できる。

3次元位置空間における多粒子状態

2つの自由粒子の進行波。3次元のうち2次元は抑制されている。上は位置空間波動関数、下は運動量空間波動関数、および対応する確率密度。

粒子が多数存在する場合、一般に波動関数は1つしか存在せず、粒子ごとに別々の波動関数が存在するわけではない。1つの波動関数が複数の粒子を記述するという事実こそが、量子もつれとEPRパラドックスを可能にする。N個の粒子の位置空間波動関数は次のように表される。^{[ 20 ]} ここで、r _iは3次元空間におけるi番目の粒子の位置、 tは時間である。全体として、これは3 N + 1個の実変数を持つ複素数値関数である。 $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)}$$

量子力学では、同一粒子と区別可能な粒子の間に根本的な区別があります。例えば、任意の2つの電子は同一であり、根本的に互いに区別できません。物理法則により、特定の電子に「識別番号を刻印」して追跡することは不可能です。^{[ 30 ]}これは、同一粒子系の波動関数に対する要件に相当します。 ここで、粒子がすべてボソンである場合は+符号、すべてフェルミオンである場合は-符号となります。言い換えれば、波動関数はボソンの位置に関して完全に対称であるか、フェルミオンの位置に関して完全に反対称であるかのいずれかです。^{[ 36 ]}粒子の物理的な交換は、波動関数における引数の数学的な切り替えに対応します。フェルミオン波動関数の反対称性は、パウリ原理につながります。一般的に、ボソン対称性とフェルミオン対称性の要件は粒子統計の現れであり、他の量子状態形式論にも存在します。 $${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots \right)}$$

N 個の区別可能な粒子（2 つが同一ではない、つまり 2 つが同じ量子数セットを持たない） の場合、波動関数が対称または反対称である必要はありません。

座標r ₁、r ₂、...と同一の粒子と、 x ₁、x ₂、...で区別可能な粒子の集合（互いに同一ではなく、前述の同一粒子と同一ではない粒子）の場合、波動関数は同一粒子座標r _iでのみ対称または反対称になります。 $${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)}$$

ここでも、区別可能な粒子の座標x _iには対称性の要件はありません。

スピンを持つN個の粒子の波動関数は複素数値関数である。 $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1},s_{z\,2}\cdots s_{z\,N},t)}$$

これらのすべての要素を単一のベクトルに蓄積すると、

$${\displaystyle |\Psi \rangle =\overbrace {\sum _{s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}}} ^{\text{discrete labels}}\overbrace {\int _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\cdots \int _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}} ^{\text{continuous labels}}\;\underbrace {{\Psi }(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N})} _{\begin{array}{c}{\text{wave function (component of }}\\{\text{ state vector along basis state)}}\end{array}}\;\underbrace {|\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}\rangle } _{\text{basis state (basis ket)}}\,.}$$

同一の粒子の場合、対称性の要件は波動関数の位置とスピン引数の両方に適用され、全体的に正しい対称性を持ちます。

内積の公式は、すべての座標または運動量にわたる積分と、すべてのスピン量子数にわたる和です。3次元スピンを持つ N個の粒子の一般的なケースでは、 これは合計N個の3次元体積積分とN個のスピンにわたる和です。微分体積要素d ³ r _iは、「 dV _i」または「dx _i dy _i dz _i 」とも表記されます。 $${\displaystyle (\Psi _{1},\Psi _{2})=\sum _{s_{z\,N}}\cdots \sum _{s_{z\,2}}\sum _{s_{z\,1}}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{1}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{N}\Psi _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\Psi _{2}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)}$$

位置または位置-スピン空間波動関数の多次元フーリエ変換により、運動量または運動量-スピン空間波動関数が生成されます。

確率の解釈

3次元スピンを持つN粒子の一般的なケースでは、 Ψを確率振幅と解釈すると、確率密度は $${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)=\left|\Psi \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\right|^{2}}$$

そして、時刻tにおける粒子 1 がスピンs _{z 1} = m ₁の領域R ₁にあり、粒子 2 がスピンs _{z 2} = m _2の領域R ₂にある確率は、これらの領域にわたる確率密度の積分であり、これらのスピン数で評価されます。

${\displaystyle P_{\mathbf {r} _{1}\in R_{1},s_{z\,1}=m_{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}\in R_{N},s_{z\,N}=m_{N}}(t)=\int _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}\int _{R_{2}}d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\left|\Psi \left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},m_{1}\cdots m_{N},t\right)\right|^{2}}$

位相の物理的意味

非相対論的量子力学では、シュレーディンガーの時間依存波動方程式を使用して次の式が示されます。

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}$$ が満たされます。ここで、は確率密度であり、 は上記の式の連続の式形式に従って 確率フラックスとして知られています。${\textstyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}}$ ${\textstyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\hbar }{2im}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}{\text{Im}}(\psi ^{*}\nabla \psi )}$

波動関数の次の式を使用します。ここでは確率密度、 は波動関数の位相であり、次のことが示されます。 $${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)={\sqrt {\rho (\mathbf {x} ,t)}}\exp {\frac {iS(\mathbf {x} ,t)}{\hbar }}}$$ ${\textstyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}}$ ${\textstyle S(\mathbf {x} ,t)}$

$${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\rho \nabla S}{m}}}$$

したがって、位相の空間的変化は確率流束を特徴づけます。

古典的な類推では、 の場合、この量は速度と類似しています。ただし、不確定性原理によれば、速度と位置は同時に決定できないため、これは を速度として文字通り解釈することを意味するわけではないことに注意してください。シュレーディンガーの時間依存波動方程式に波動関数の形を代入し、古典的な極限をとると、次のようになります。 ${\textstyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} }$ ${\textstyle {\frac {\nabla S}{m}}}$ ${\textstyle {\frac {\nabla S}{m}}}$ ${\textstyle \hbar |\nabla ^{2}S|\ll |\nabla S|^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2m}}|\nabla S(\mathbf {x} ,t)|^{2}+V(\mathbf {x} )+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$$

これは古典力学のハミルトン・ヤコビ方程式に類似している。この解釈はハミルトン・ヤコビ理論に適合し、ここでSはハミルトンの主関数である。^{[ 37 ]}${\textstyle \mathbf {P} _{\text{class.}}=\nabla S}$

時間依存性

時間に依存しないポテンシャルを持つ系の場合、波動関数は常に自由度に時間依存位相因子を乗じた関数として表すことができ、その形はシュレーディンガー方程式で与えられる。N個の粒子の場合、それらの位置のみを考慮し、他の自由度は無視する。 ここで、Eは固有状態Ψに対応する系のエネルギー固有値である。この形の波動関数は定常状態と呼ばれる。 $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=e^{-iEt/\hbar }\,\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\,,}$$

量子状態と演算子の時間依存性は、演算子と状態に対するユニタリ変換に従って配置できる。任意の量子状態|Ψ⟩と演算子Oに対して、シュレーディンガー描像では|Ψ( t )⟩ はシュレーディンガー方程式に従って時間とともに変化し、Oは定数である。ハイゼンベルク描像ではその逆で、|Ψ⟩は定数であるが、 O ( t )はハイゼンベルクの運動方程式に従って時間とともに変化する。ディラック（または相互作用）描像はその中間であり、時間依存性は運動方程式に従って発展する演算子と状態の両方に配置される。これは主にS行列要素の計算に役立つ。^{[ 38 ]}

非相対論的な例

以下は、1 つの非相対論的スピンレス粒子に対するシュレーディンガー方程式の解です。

有限ポテンシャル障壁

高さV ₀の有限なポテンシャル障壁における散乱。左右に移動する波の振幅と方向が示されている。赤線で示されているのは、反射振幅と透過振幅の導出に用いられる波である。この図ではE > V _{0 である。}

波動力学の最も顕著な特徴の一つは、粒子が（古典力学では）禁止的な力のポテンシャルを持つ場所に到達する可能性があることである。一般的なモデルは「ポテンシャル障壁」であり、1次元の場合、ポテンシャルは 、波動方程式の定常解は（ある定数k、κに対して） の形をとる。$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&|x|\geq a\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }e^{ikx}+A_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x<-a,\\B_{\mathrm {r} }e^{\kappa x}+B_{\mathrm {l} }e^{-\kappa x}&|x|\leq a,\\C_{\mathrm {r} }e^{ikx}+C_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x>a.\end{cases}}}$$

これらの波動関数は正規化されていないことに注意してください。詳細については散乱理論を参照してください。

これを一般的に解釈すると、粒子の流れが左（負のx方向）からステップに発射されるということになります。A r = 1 と設定すると、粒子_{が単独で発射されます。A} rとC _rを含む項は右方向への運動を意味し、A _lとC _l – は左方向への運動を意味します。このビーム解釈では、右から粒子が来ないので、 C _l = 0とします。境界における波動関数とその導関数の連続性を適用することで、上記の定数を決定することができます。

量子ドット内に閉じ込められた3次元電子波動関数。ここでは長方形と三角形の量子ドットが示されている。長方形ドットのエネルギー状態は、よりs型とp型に近くなる。しかし、三角形ドットでは閉じ込め対称性により、波動関数は混合される。（アニメーションを見るにはクリック）

半導体微結晶の半径が励起子ボーア半径よりも小さい場合、励起子は圧縮され、量子閉じ込め状態が生じる。エネルギー準位は、箱の中の粒子モデルを用いてモデル化することができ、このモデルでは、異なる状態のエネルギーは箱の長さに依存する。

量子調和振動子

量子調和振動子の波動関数は、エルミート多項式H _nで表すことができます。 ここで、 n = 0, 1, 2, ...です 。 $${\displaystyle \Psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}{\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)}}$$

水素原子の最初の数個の電子軌道の電子確率密度を断面積で示した図。これらの軌道は電子の波動関数の直交基底を形成している。異なる軌道は異なるスケールで示されている。

水素原子

水素原子内の電子の波動関数は、球面調和関数と一般化ラゲール多項式で表現されます(これらは著者によって定義が異なります。これらと水素原子に関するメイン記事を参照してください)。

球座標系を使うと便利で、波動関数は各座標の関数に分離できる。^{[ 39 ]} ここでRはラジアル関数、Yは$${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R(r)\,\,Y_{\ell }^{m}\!(\theta ,\phi )}$$ ^m _ℓ( θ , φ )は次数ℓ、位数mの球面調和関数である。これはシュレーディンガー方程式が厳密に解かれた唯一の原子である。多電子原子では近似解法が必要となる。解の族は^{[ 40 ]}である。 ここでa ₀ = 4 πε ₀ ħ ² / m _e e ²はボーア半径、 L$${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )}$$ ^{2 ℓ + 1} _{n − ℓ − 1}は、 n − ℓ − 1次一般化ラゲール多項式で、n = 1, 2, ...は主量子数、ℓ = 0, 1, ..., n − 1は方位量子数、m = − ℓ , − ℓ + 1, ..., ℓ − 1, ℓは磁気量子数です。水素のような原子にも非常によく似た解があります。

この解法では電子のスピンは考慮されません。

水素軌道の図において、19個のサブイメージは、位置空間における波動関数のイメージ（ノルムの2乗）です。波動関数は、各イメージの右下にある3つの量子数（n、ℓ、m）で特徴付けられる抽象的な状態を表します。これらは、主量子数、軌道角運動量量子数、磁気量子数です。電子のスピン射影量子数1つと合わせて、観測可能な量の完全なセットとなります。

この図は、波動関数の関数空間のさらなる特性を説明するのに役立ちます。

• この場合、波動関数は2乗積分可能である。関数空間を2乗積分可能な関数の空間（通常はL ²と表記）として捉えることができる。
• 表示されている関数はシュレーディンガー方程式の解です。明らかに、L ²のすべての関数が水素原子のシュレーディンガー方程式を満たすわけではありません。したがって、関数空間はL ²の部分空間となります。
• 表示されている関数は、関数空間の基底の一部を形成します。各組( n , ℓ , m )には、基底波動関数が対応します。スピンを考慮すると、各組に対して2つの基底関数が存在します。したがって、関数空間は可算な基底を持ちます。
• 基底関数は相互に直交します。

波動関数と関数空間

関数空間の概念は、波動関数の議論に自然と登場する。関数空間とは関数の集合であり、通常は関数に何らかの定義要件（今の場合は平方積分可能）を持ち、時にはその集合に代数構造（今の場合は内積を持つベクトル空間構造）を持ち、集合に位相を持つ。後者はここではあまり使用しないが、関数空間のサブセットが閉じている とはどういう意味かを正確に定義するためにのみ必要である。以下では、波動関数の関数空間はヒルベルト空間であると結論付ける。この観察は、量子力学の主要な数学的定式化の基礎となっている。

ベクトル空間構造

波動関数は、以下の具体的記述と抽象的記述によって部分的に特徴付けられる関数空間の要素です。

• シュレーディンガー方程式は線形です。つまり、その解である波動関数は、加算したりスカラー値を乗算したりすることで新しい解を形成できます。シュレーディンガー方程式の解の集合はベクトル空間です。
• 量子力学の重ね合わせ原理。ΨとΦが量子力学系の抽象状態空間における二つの状態であり、 aとbが任意の二つの複素数である場合、a Ψ + b Φも有効な状態である。（ヌルベクトルが有効な状態（「系が存在しない」）として数えられるかどうかは定義の問題である。いずれにせよ、ヌルベクトルは量子場理論における真空状態を記述するものではない。）許容される状態の集合はベクトル空間である。

この類似性は、もちろん偶然ではありません。それぞれの空間には、留意すべき違いもあります。

表現

基本状態は量子数の集合によって特徴付けられる。これは、可換な観測量の最大集合の固有値の集合である。物理的観測量は、ベクトル空間上の線形作用素（観測量とも呼ばれる）によって表される。最大性とは、既存の観測量と可換な代数的に独立な観測量をこれ以上その集合に追加できないことを意味する。このような集合の選択は、表現の選択と呼ばれることがある。

• 量子力学の公理の一つは、位置、運動量、スピンといったシステムの物理的に観測可能な量は、状態空間上の線形エルミート作用素によって表されるというものである。この量の測定によって得られる結果は、この作用素の固有値である。 ^{[ 18 ]}より深いレベルでは、観測可能な量のほとんど、おそらく全てが、対称性の生成元として生じる。^{[ 18 ] [ 41 ] [注6 ]}
• 物理的な解釈としては、そのような集合は、理論上は任意の精度で同時に測定できるものを表すということになる。ハイゼンベルクの不確定性関係は、 2つの非可換な観測量を同時に正確に測定することを禁じている。
• この集合は一意ではない。例えば、一粒子系では、位置とスピンz射影( x , S _z )となる場合もあれば、運動量とスピンy射影( p , S _y )となる場合もある。この場合、位置に対応する演算子（位置表現における乗算演算子）と運動量に対応する演算子（位置表現における微分演算子）は交換しない。
• 表現形式が一旦選択された後も、依然として任意性は残る。残るは座標系の選択である。これは例えば、 x軸、y軸、z軸の選択、あるいは水素原子の波動関数に用いられる球面座標に代表される曲線座標の選択に相当する。この最終的な選択は、抽象ヒルベルト空間における基底も決定する。基本状態は、可換観測量の最大集合と適切な座標系に対応する量子数によってラベル付けされる。^{[注 7 ]}

抽象状態が「抽象的」であるのは、特定の明示的な記述に必要な任意の選択が与えられていないという点においてのみである。これは、可換観測量の最大集合の選択が与えられていないということと同じである。これは、特定の基底を持たないベクトル空間に類似している。したがって、状態に対応する波動関数は一意ではない。この一意でないことは、可換観測量の最大集合の選択が一意でないことを反映している。ある次元における1つのスピン粒子に対して、ある特定の状態には、同じ状態を記述する2つの波動関数Ψ( x , S _z )とΨ( p , S _y )が対応する。

• 抽象状態空間の観測可能な最大可換集合の各選択に対して、波動関数の関数空間に関連付けられた対応する表現が存在します。
• これらすべての異なる関数空間と抽象状態空間の間には、一対一の対応関係（ここでは正規化と観測不可能な位相因子は考慮しない）があり、ここでの共通分母は特定の抽象状態である。例えば、運動量空間波動関数と位置空間波動関数の関係は、同じ状態を記述するフーリエ変換である。

それぞれの表現の選択は、その表現の選択に対応する波動関数が存在する唯一の関数空間を指定するものと考えるべきです。この区別は、たとえそのような関数空間が2つ、例えば平方可積分関数の集合のように数学的に等しいと主張できるとしても、最もよく維持されます。その場合、関数空間は、その集合の2つの異なるコピーと考えることができます。

内積

波動関数のベクトル空間と抽象状態空間には追加の代数構造があります。

• 物理的には、異なる波動関数はある程度重なり合うと解釈されます。状態Ψにある系が状態Φと重なり合わない場合、測定結果から状態Φにあることが確認されることはありません。しかし、Φ ₁、 Φ ₂、…がΨとある程度重なる場合、 Ψで記述される系の測定結果が状態Φ ₁、 Φ ₂、…にある可能性があります。また、選択則も適用されます。これらは通常、いくつかの量子数の保存則に基づいて定式化されます。これは、初期および最終の全波動関数が重なり合わないため、ある観点から許容される特定のプロセス（例えば、エネルギー保存則や運動量保存則）が発生しないことを意味します。
• 数学的には、特定のポテンシャルに対するシュレーディンガー方程式の解は、何らかの形で直交することが分かっています。これは通常、積分によって記述されます。ここで、 m、nは異なる解を表す添え字（量子数）（の集合）、厳密に正の関数wは重み関数、δ _mnはクロネッカーのデルタです。この積分は、関連する空間全体にわたって行われます。$${\displaystyle \int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}w\,dV=\delta _{nm},}$$

このため、抽象量子状態のベクトル空間に内積を導入することになります。これは、表現に移すときに上記の数学的な観察と互換性があります。これは(Ψ, Φ)、またはBra–ket 記法⟨Ψ|Φ⟩で表されます。これは複素数を生成します。内積により、関数空間は内積空間になります。内積 (通常は積分または積分の和) の明示的な出現は表現の選択に依存しますが、複素数(Ψ, Φ) は依存しません。量子力学の物理的解釈の多くは、ボルンの規則に由来します。ボルンの規則では、システムが状態Ψにある場合に、測定時に状態Φが見つかる確率pは、 ΦとΨが正規化されていると仮定します。散乱実験を考えてみ ましょう。量子場理論において、Φ _{out が}散乱粒子間の相互作用が停止した後の「遠い未来」（「出状態」）の状態を記述し、Ψ _{in が}「遠い過去」の「入状態」を記述する場合、 Φ _outとΨ inがそれぞれ入状態と出状態の完全な集合にわたって変化する量（Φ out 、Ψ in ）はS行列または散乱行列と呼ばれる_。これを_知ること_は、少なくとも予測の範囲においては、事実上、手元の理論を解いたことになる。減衰率や散乱断面積などの測定可能な量は、S行列から計算できる。^{[ 42 ]}$${\displaystyle p=|(\Phi ,\Psi )|^{2},}$$

ヒルベルト空間

上の観察は、波動関数を要素とする関数空間の本質を要約している。しかし、記述はまだ完全ではない。関数空間には、完全性というさらなる技術的要件があり、これにより、関数空間内のシーケンスの極限をとり、その極限が存在する場合には、それが関数空間の要素であることが保証される。完全な内積空間はヒルベルト空間と呼ばれる。完全性という性質は、量子力学の高度な処理と応用において極めて重要である。例えば、射影演算子や直交射影の存在は、空間の完全性に依存している。^{[ 43 ]}これらの射影演算子は、次に、スペクトル定理など、多くの有用な定理の記述と証明に不可欠である。これは量子力学の入門レベルではそれほど重要ではなく、技術的な詳細とリンクは次のもののような脚注に記載されている。^{[注 8 ]} 空間L ²はヒルベルト空間であり、内積は後で提示される。図の例の関数空間はL ²の部分空間である。ヒルベルト空間の部分空間は、それが閉じている場合にヒルベルト空間となる。

要約すると、特定の基底選択を持つシステムのすべての可能な正規化可能な波動関数の集合は、ヌルベクトルとともにヒルベルト空間を構成します。

対象となる関数のすべてが、たとえばL ²などのヒルベルト空間の要素であるとは限らない。最も顕著な例は、関数の集合e ^{2 πi p · x ⁄ h}である。これらは、正規化できない、したがってL ²に含まれない、自由粒子に対するシュレーディンガー方程式の平面波解である。しかし、それでもなお記述の基本となる。これらを用いることで、波束を用いて正規化できる関数を表現することができる。これらは、ある意味では、対象となる波動関数を表現できる基底（ヒルベルト空間基底でもハメル基底でもない）である。また、表記上の便宜上頻繁に用いられる「デルタ関数への正規化」という人工物もある。これについては後述。デルタ関数自体も平方積分可能ではない。

波動関数を含む関数空間の上記の記述は、主に数学的な動機に基づいています。関数空間は、完全性のために、ある意味で非常に広大です。すべての関数が、あらゆる物理系の現実的な記述となるわけではありません。例えば、関数空間L ²には、区間[0, 1]において、すべての有理数に対して0 を、無理数に対して- i をとる関数が存在します。これは平方積分可能ですが^{[注 9 ]} 、物理的状態を表現することはほとんど不可能です。

共通ヒルベルト空間

解の空間全体はヒルベルト空間ですが、その構成要素として一般的に現れる他のヒルベルト空間も数多くあります。

• 区間[0, 2 π ]上の平方可積分複素数値関数。集合{ e ^int /2 π , n ∈ Z }はヒルベルト空間基底、すなわち最大直交集合である。
• フーリエ変換は、上記の空間内の関数を、平方和分関数の空間Z → Cであるl ² ( Z )の元に変換します。後者の空間はヒルベルト空間であり、フーリエ変換はヒルベルト空間の同型です。^{[注 10 ]}その基底は{ e _i , i ∈ Z }であり、e _i ( j ) = δ _ij , i , j ∈ Zです。
• 全域多項式の最も基本的な例は、区間[–1, 1]上の平方積分可能関数の空間にあり、この区間ではルジャンドル多項式はヒルベルト空間基底 (完全直交集合) となります。
• 単位球面S ²上の平方可積分関数はヒルベルト空間である。この場合の基底関数は球面調和関数である。ルジャンドル多項式は球面調和関数の構成要素である。回転対称性に関するほとんどの問題は、その対称性に関して「同じ」（既知の）解を持つため、元の問題はより低次元の問題に帰着する。
• 関連するラゲール多項式は、球面調和関数を因数分解した後に水素波動関数問題に現れる。これらは、半無限区間[0, ∞)上の二乗可積分関数のヒルベルト空間を張る。

より一般的には、ヒルベルト空間におけるシュトゥルム・リウヴィル方程式のすべての2階多項式解を統一的に扱うことが考えられる。これには、ルジャンドル多項式、ラゲール多項式、チェビシェフ多項式、ヤコビ多項式、エルミート多項式が含まれる。これらはすべて実際に物理問題に現れ、特に後者は調和振動子に現れる。これにより、特殊関数の性質に関する混乱を招く迷路が、体系化された事実の集合体となる。この点については、 Byron & Fuller (1992、第5章) を参照のこと。

有限次元ヒルベルト空間も存在します。空間C ⁿはn次元のヒルベルト空間です。内積はこれらの空間における標準的な内積です。そこには、単一粒子の波動関数の「スピン部分」が存在します。

• 電子の非相対論的記述ではn = 2となり、全体の波動関数はパウリ方程式の解になります。
• 対応する相対論的処理では、n = 4となり、波動関数はディラック方程式を解きます。

粒子の数が増えると、状況はより複雑になる。テンソル積を採用し、関係する対称群（それぞれ回転群とローレンツ群）の表現論を使用して、テンソル積から（全体の）スピン波動関数が存在する空間を抽出する必要がある。（相対論的なケースでは、粒子が自由でない限り、さらなる問題が生じる。^{[ 44 ]}ベーテ・サルペーター方程式を参照。）対応する注釈は、対称群がSU(2)であるアイソスピンの概念にも当てはまる。60年代の核力のモデル（今日でも有用。核力を参照）では、対称群SU(3)を使用した。この場合も、内部対称性に対応する波動関数の部分は、いくつかのC ⁿまたはそのような空間のテンソル積の部分空間に存在します。

• 量子場の理論において、基礎となるヒルベルト空間はフォック空間である。これは自由な一粒子状態、すなわち表現を選択した際の波動関数から構成され、時間的に必ずしも一定ではない有限個の粒子を収容することができる。興味深い（あるいはむしろ扱いやすい）ダイナミクスは、波動関数ではなく、フォック空間に作用する作用素である場の作用素にある。したがって、ハイゼンベルク描像（状態は一定、作用素は時間とともに変化する）が最も一般的に選択される。

システムの無限次元の性質により、適切な数学的ツールが関数解析の研究対象となります。

簡略化された説明

ある時刻tにおける波動関数の連続性と、その最初の空間微分 ( x方向、yおよびz座標は示されていません) 。

入門書のすべてがヒルベルト空間の仕組みを余すところなく紹介しているわけではないが、特定の標準ポテンシャルにおける位置表現における非相対論的シュレーディンガー方程式に焦点が当てられている。計算と物理的解釈を意味のあるものにするために、波動関数に対する以下の制約が明示的に定式化されることがある。^{[ 45 ] [ 46 ]}

• 波動関数は二乗積分可能でなければならない。これは、波動関数を確率振幅として解釈するコペンハーゲン解釈に基づく。
• それは至る所連続かつ至る所連続微分可能でなければならない。これは、物理的に妥当なポテンシャルのほとんどに対してシュレーディンガー方程式が現れることに由来する。

特別な目的のために、これらの条件を多少緩和することも可能です。^{[注 11 ]} これらの要件が満たされない場合、波動関数を確率振幅として解釈することはできません。^{[ 47 ]}ポテンシャル場の無限不連続点では、導関数の連続性則に例外が生じる可能性があることに注意してください。例えば、箱の中にある粒子の場合、ポテンシャル場が無限不連続であることが分かっている箱の境界で、波動関数の導関数が不連続になることがあります。

これは、これらの特定の波動関数が存在するヒルベルト空間の構造を変更するものではありませんが、2番目の要件を満たすヒルベルト空間である平方積分関数L ^{2の部分空間は}L ²内で閉じられておらず、したがってそれ自体はヒルベルト空間ではありません。^{[注12 ]} 要件を満たさない関数は、技術的および実用的な理由から依然として必要です。^{[注13 ] [注14 ]}

波動関数と抽象状態空間についてさらに詳しく

既に実証されているように、あるシステムに対する何らかの表現におけるすべての可能な波動関数の集合は、一般に無限次元ヒルベルト空間を構成する。表現基底の複数の選択肢があるため、これらのヒルベルト空間は一意ではない。そこで、表現と基底の選択が未決定のままである抽象的なヒルベルト空間、状態空間について議論する。具体的には、各状態は状態空間において抽象的なベクトルとして表現される。 ^{[ 48 ]}任意の表現における量子状態|Ψ⟩は、一般にベクトルとして表現され 、 $${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\boldsymbol {\alpha }}\int d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}\,\,\Psi _{t}({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }})\,|{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }}\rangle }$$

• | α , ω ⟩選択された表現の基底ベクトル
• d ^m ω = dω ₁ dω ₂ ... dω _m連続自由度における微分体積要素
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}_{t}({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }})}$ ベクトルの成分、システムの波動関数と呼ばれる${\displaystyle |\Psi \rangle }$
• α = ( α ₁ , α ₂ , ..., α _n )無次元離散量子数
• ω = ( ω ₁ , ω ₂ , ..., ω _m )連続変数（必ずしも無次元ではない）

これらの量子数は状態ベクトルの成分をインデックスします。さらに、すべてのαはn次元集合A = A ₁ × A ₂ × ... × A _nに含まれます。ここで、各A _iはα _iの許容値の集合です。すべてのωはm次元「体積」Ω ⊆ ℝ ^mに含まれます。ここで、Ω = Ω ₁ × Ω ₂ × ... × Ω _mであり、各Ω _i ⊆ Rは実数Rの部分集合であるω _iの許容値の集合です。一般性のために、nとmは必ずしも等しくありません。

例：

1. スピンsを持つ3次元の単一粒子について、他の自由度を無視し、直交座標系を用いて、粒子のz方向のスピン量子数をα = ( s _z ) 、粒子の位置座標をω = ( x , y , z )とすることができる。ここで、A = {− s , − s + 1, ..., s − 1, s }は許容されるスピン量子数の集合であり、Ω = R ³は3次元位置空間全体にわたるすべての粒子の位置の集合である。
2. 別の選択肢として、y方向のスピン量子数をα = ( s _y ) 、粒子の運動量成分をω = ( p _x , p _y , p _z )とする方法があります。この場合、AとΩは前述と同じです。

時刻tにおける状態| α , ω⟩でのシステムの確率密度は ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \rho _{\alpha ,\omega }(t)=|\Psi ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\omega }},t)|^{2}}$$

離散変数構成D⊆Aにおいてαが成り立ち、連続変数構成C⊆Ωにおいてωが成り立つシステムを見つける確率は、密度の和と積分である。^{[注15 ]}$${\displaystyle P(t)=\sum _{{\boldsymbol {\alpha }}\in D}\int _{C}d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}\,\,\rho _{\alpha ,\omega }(t)}$$

すべての確率の合計は 1 でなければならないため、正規化条件は システムの進化の間常に満たされなければなりません。 $${\displaystyle 1=\sum _{{\boldsymbol {\alpha }}\in A}\int _{\Omega }d^{m}\!{\boldsymbol {\omega }}\,\,\rho _{\alpha ,\omega }(t)}$$

正規化条件ではρ d ^m ω が無次元であることが必要であり、次元解析によりΨは( ω ₁ ω ₂ ... ω _m ) ^−1/2と同じ単位を持つ必要があります。

オントロジー

波動関数が現実に存在するかどうか、そしてそれが何を表しているのかは、量子力学の解釈における主要な問題である。エルヴィン・シュレーディンガー、アルベルト・アインシュタイン、ニールス・ボーアなど、前世代の多くの有名な物理学者がこの問題に頭を悩ませた。コペンハーゲン解釈の定式化や変形を主張する者もいれば（ボーア、オイゲン・ウィグナー、ジョン・フォン・ノイマンなど）、ジョン・アーチボルド・ホイーラーやエドウィン・トンプソン・ジェインズなど、より古典的なアプローチ^{[ 49 ]}をとり、波動関数は観察者の心の中にある情報、すなわち現実に対する我々の知識の尺度を表すと考える者もいる。シュレーディンガー、デイヴィッド・ボーム、ヒュー・エヴェレット3世など一部の者は、波動関数は客観的で物理的に存在しなければならないと主張した。アインシュタインは、物理的現実の完全な記述は抽象的な数学的空間を指す波動関数とは異なり、物理的空間と時間に直接言及するべきだと考え^{た[ 50}

参照

• ボソン
• ド・ブロイ＝ボーム理論
• 二重スリット実験
• ファラデー波
• フェルミオン
• 位相空間定式化
• シュレーディンガー方程式
• 波動関数の崩壊
• 波束

注記

備考

1. ここで、関数は二乗可積分関数の空間L ²の元であると仮定する。この空間の元は、より正確には二乗可積分関数の同値類であり、ルベーグ測度0の集合上で異なる2つの関数は同値であると宣言される。これは、半内積ではなく内積（すなわち、 (Ψ, Ψ) = 0 ⇒ Ψ ≡ 0 ）を得るために必要である。積分はルベーグ積分とされる。これは空間の完全性にとって不可欠であり、完全な内積空間 = ヒルベルト空間をもたらす。
2. 量子力学では可分なヒルベルト空間のみが考慮され、ツォルンの補題を用いると、線型代数の意味での直交基底（ハメル基底）ではなく可算無限シャウダー基底を許容することを意味する。
3. 技術的には、それらはヒルベルト空間に存在しない。詳細はスペクトル定理を参照。
4. グリフィス、デイビッド・J. 『量子力学入門』（第3版）によれば、「ディラック直交性」とも呼ばれる。
5. フーリエ変換を空間L ²上のユニタリ作用素として見ると、固有値は±1, ± iである。固有ベクトルは「エルミート関数」、すなわちエルミート多項式にガウス関数を乗じたものである。ユニタリ変換としてのフーリエ変換の説明については、Byron & Fuller (1992)を参照のこと。固有値と固有値については、問題27、第9章を参照のこと。
6. この記述が意味を成すためには、観測可能なものが最大可換集合の要素でなければならない。これを理解するには、例えばn粒子系におけるi番目の粒子の運動量演算子は、本質的にいかなる対称性も生成しないということに気づくだけで十分である。一方、全運動量は、本質的にある対称性、すなわち並進対称性を生成する。
7. 結果として得られる基底は、数学的な意味でのヒルベルト空間の基底であるかどうかは、技術的には不明確である。例えば、明確な位置と運動量を持つ状態は平方積分可能ではない。これは、波束を用いるか、系を「箱」で囲むことで克服できる可能性がある。詳細は後述する。
8. 技術的には、これは次のように定式化されます。内積はノルムをもたらします。このノルムは、次に計量を誘導します。この計量が完全であれば、前述の極限は関数空間 内にあります。この場合、内積空間は完全であると呼ばれます。完全な内積空間はヒルベルト空間です。抽象状態空間は常にヒルベルト空間として取られます。関数空間の対応要件は自然なものです。抽象状態空間のヒルベルト空間特性は、もともとシュレーディンガー方程式の正規化可能な解を形成する関数空間がヒルベルト空間であるという観察から抽出されました。
9. 後の脚注で説明されているように、積分はルベーグ積分でなければならないため、リーマン積分だけでは不十分です。
10. Conway 1990。これは、内積、すなわちノルムが保存され、写像が有界、すなわち連続な線型一対一写像であることを意味する。また、完全性も保存される。したがって、これはヒルベルト空間の圏における同型性の正しい概念である。
11. そのような緩和の一つは、波動関数がソボレフ空間W ^{1,2に属さなければならないというものである。これは、}波動関数が超関数の意味で微分可能であり、その勾配が二乗積分可能であることを意味する。この緩和は、ディラックのデルタ関数のように、関数ではなく超関数であるポテンシャルに対して必要である。
12. 不連続関数に収束するという要件を満たす関数列を視覚化するのは簡単です。そのためには、内積空間#いくつかの例に示されている例を修正します。ただし、この元はL ²の元です。
13. 例えば、摂動論では、真の波動関数を近似する関数列を構築することができる。この関数列はより広い空間では収束することが保証されるが、本格的なヒルベルト空間を仮定しなければ、収束が当該空間内の関数に収束し、したがって元の問題を解くことが保証されない。
14. 平面波自由粒子解のような二乗積分可能でないいくつかの関数は、前の注記および下記で概説されているように、説明に必要です。
15. ここでは、倍数の合計です。$${\displaystyle \sum _{\boldsymbol {\alpha }}\equiv \sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}\equiv \sum _{\alpha _{1}}\sum _{\alpha _{2}}\cdots \sum _{\alpha _{n}}}$$

引用

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24. Weinberg (2002)特に、これらの結果の一部が導き出されている第 5 章を参照してください。
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さらに読む

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外部リンク

• エンジニアのための量子力学
• スピン波動関数 NYU
• 同一粒子再考、マイケル・ファウラー
• 多電子波動関数の性質
• BerkeleyXにおける量子力学と量子計算 2013年5月13日アーカイブWayback Machine
• アインシュタイン、放射線の量子論